2026復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)成果測試試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)成果測試試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級數(shù)展開式的收斂域一定是圓環(huán)。3.所有解析函數(shù)的實部都可表示為調(diào)和函數(shù)。4.如果函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)解析。5.留數(shù)定理只適用于閉曲線積分。6.所有整函數(shù)都是解析函數(shù)。7.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點，則它在z?的鄰域內(nèi)可展開為洛朗級數(shù)。8.解析函數(shù)的虛部也可表示為調(diào)和函數(shù)。9.所有解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。10.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域上連續(xù)，則它在邊界上連續(xù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級數(shù)展開式中，z3項的系數(shù)為（）A.1B.0C.1/6D.1/33.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.-1B.1C.-1/2D.1/24.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.-1/2B.1/2C.-iD.i5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值為（）A.0B.1C.-1D.i6.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級數(shù)展開式中，z2項的系數(shù)為（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)f(z)=1/(z2-1)在z=1處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.1D.-18.函數(shù)f(z)=z3在z=0處的洛朗級數(shù)展開式中，z2項的系數(shù)為（）A.0B.1C.2D.39.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級數(shù)展開式中，z?項的系數(shù)為（）A.1B.1/24C.1/4D.1/610.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=3處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.1D.-1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）A.f(z)=z2B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=e^z2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)2C.f(z)=1/(z2-1)D.f(z)=z2/(z-1)3.下列關(guān)于調(diào)和函數(shù)的描述正確的有（）A.調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)唯一B.調(diào)和函數(shù)的拉普拉斯算子為0C.調(diào)和函數(shù)可表示為解析函數(shù)的實部D.調(diào)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為調(diào)和函數(shù)4.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用正確的有（）A.可用于計算實積分B.可用于計算復(fù)積分C.只適用于閉曲線積分D.只適用于單連通區(qū)域5.下列關(guān)于泰勒級數(shù)的描述正確的有（）A.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂B.泰勒級數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點決定C.泰勒級數(shù)的系數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)決定D.泰勒級數(shù)只適用于整函數(shù)6.下列關(guān)于洛朗級數(shù)的描述正確的有（）A.洛朗級數(shù)適用于圓環(huán)區(qū)域B.洛朗級數(shù)可表示為泰勒級數(shù)和負(fù)冪級數(shù)的和C.洛朗級數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)D.洛朗級數(shù)只適用于解析函數(shù)7.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)B.解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)C.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開唯一D.解析函數(shù)的洛朗級數(shù)展開唯一8.下列關(guān)于留數(shù)的描述正確的有（）A.留數(shù)只適用于極點B.留數(shù)可用來計算閉曲線積分C.留數(shù)的計算與路徑無關(guān)D.留數(shù)的計算只適用于單極點9.下列關(guān)于柯西積分定理的描述正確的有（）A.柯西積分定理適用于單連通區(qū)域B.柯西積分定理適用于閉曲線積分C.柯西積分定理的結(jié)論與路徑無關(guān)D.柯西積分定理只適用于解析函數(shù)10.下列關(guān)于柯西積分公式的描述正確的有（）A.柯西積分公式適用于解析函數(shù)B.柯西積分公式可用來計算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)C.柯西積分公式的結(jié)論與路徑無關(guān)D.柯西積分公式只適用于單連通區(qū)域四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。2.簡述柯西積分定理的內(nèi)容及其意義。3.簡述留數(shù)定理的應(yīng)用場景。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計算函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在|z|=2的閉曲線積分，其中積分方向為逆時針。2.計算函數(shù)f(z)=z/(z-1)在|z|=1的閉曲線積分，其中積分方向為逆時針。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.√洛朗級數(shù)展開式的收斂域一定是圓環(huán)。3.√解析函數(shù)的實部都可表示為調(diào)和函數(shù)。4.√解析函數(shù)在z?的鄰域內(nèi)解析。5.√留數(shù)定理只適用于閉曲線積分。6.√整函數(shù)是解析函數(shù)。7.√極點處可展開為洛朗級數(shù)。8.√解析函數(shù)的虛部也可表示為調(diào)和函數(shù)。9.√解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。10.×閉區(qū)域上連續(xù)不一定在邊界上連續(xù)。二、單選題1.B.5導(dǎo)數(shù)為2z+2，z=1時為4+2=6。2.C.1/6e^z的泰勒級數(shù)為1+z+z2/2!+z3/3!+...，z3項系數(shù)為1/6。3.A.-11/(z-1)在z=2處的留數(shù)為-1。4.B.1/2z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為1/2。5.A.0sin(z)在z=π處的值為0。6.B.2z2的泰勒級數(shù)為z2，z2項系數(shù)為2。7.A.1/21/(z2-1)在z=1處的留數(shù)為1/2。8.A.0z3的洛朗級數(shù)展開式中，z2項系數(shù)為0。9.B.1/24e^z的泰勒級數(shù)為1+z+z2/2!+z3/3!+...，z?項系數(shù)為1/24。10.B.-1/21/(z-2)在z=3處的留數(shù)為-1/2。三、多選題1.A,C,Dz2,sin(z),e^z在z=0處解析。2.A,B,C1/(z-1),z/(z-1)2,1/(z2-1)在z=1處有極點。3.A,B,C調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)唯一，拉普拉斯算子為0，可表示為解析函數(shù)的實部。4.A,B,C留數(shù)定理可用于計算實積分、復(fù)積分，只適用于閉曲線積分。5.A,B,C泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，收斂半徑由奇點決定，系數(shù)由導(dǎo)數(shù)決定。6.A,B,C洛朗級數(shù)適用于圓環(huán)區(qū)域，可表示為泰勒級數(shù)和負(fù)冪級數(shù)的和，收斂域一定是圓環(huán)。7.A,B,C解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，泰勒級數(shù)展開唯一。8.A,B,C留數(shù)只適用于極點，可用來計算閉曲線積分，計算與路徑無關(guān)。9.A,B,C,D柯西積分定理適用于單連通區(qū)域、閉曲線積分，結(jié)論與路徑無關(guān)，只適用于解析函數(shù)。10.A,B,C,D柯西積分公式適用于解析函數(shù)，可用來計算高階導(dǎo)數(shù)，結(jié)論與路徑無關(guān)，只適用于單連通區(qū)域。四、簡答題1.解析函數(shù)的實部（u(x,y)）和虛部（v(x,y)）都是調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程?u/?x=?v/?y，?u/?y=-?v/?x。反之，如果u(x,y)和v(x,y)是調(diào)和函數(shù)且滿足柯西-黎曼方程，則f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析。2.柯西積分定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任意閉曲線C，有∮_Cf(z)dz=0。其意義在于表明解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān)，是復(fù)變函數(shù)論的核心定理之一。3.留數(shù)定理的應(yīng)用場景包括：計算復(fù)積分、計算實積分（如三角函數(shù)積分）、計算傅里葉變換等。通過留數(shù)定理，可以將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)的計算，簡化問題。五、應(yīng)用題1.計算f(z)=1/(z2+1)在|z|=2的閉曲線積分。令f(z)=1/(z2+1)，在|z|=2內(nèi)，極點為z=±i。留數(shù)定理：∮_{|z|=2}f(z)dz=2πi(Res(f,i)+Res(f,-i))。Res(f,i)=lim_{z→i}(z-i)f(z)=lim_{z→i}(z-i)/(z2+1)=lim_{z→i}(z-i)/(z-i)(z+i)=1/(2i)=-1/2i。Res(f,-i)=lim_{z→-i}(z+i)f(z)=lim_{z→-i}(z+i)/(z2+1)=lim_{z→-i}(z+i)/(z+i)(z-i)=-1/(2i)=1/2i?！觃{|z|=2}f(z)dz=2πi(-1/2i+1/2i)=2πi(0)=0。