高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題(共12小題).

1.若實(shí)數(shù)工，滿足(x+i)(2+i)=l+M，貝h)

A.x=l,y=2B.x=\,y=3c.x=3,y=\D.x=3?y=2

2.已知集合小{Hr2—4＞0},心{M-6＜x＜5},則"CW中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

3.己知平面向量a=（3,4）,B=（l—42+2）,且￡/力，則2=（）

2?

A.2B.-2C.----D,—

77

4.已知函數(shù)/（%）=」,則（）

Igx

A.,/（（）.5）＞./（2）＞./（3.1）B./（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C/（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

3x+2y+2>0

5.若變量x,>滿足約束條件（x-yWO，則z=x+2y最大值為（）

x-2y+2>0

A.2B.4C.6D.8

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方，得二塹堵.邪解空

堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉嚅“，“塹堵”其實(shí)就是底面為直角三角形的直棱柱.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,

則該“塹堵”的側(cè)面積為()

-4

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8+80B.8+6加C.6+80D.16

7.在等差數(shù)列｛〃“｝中，若。6+〃10=數(shù)，。3+痣+。13=12,則使斯＞100成立的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.24B.25C.26D.27

8.小雁塔，位于唐長(zhǎng)安城安仁坊（今陜西省西安市南郊）薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大

雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小雁塔是密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔，塔身為四方形，底邊長(zhǎng)1L38米.若

某游客在距離塔底中心11.38米的圓周上任取?點(diǎn)，從該點(diǎn)處觀察小雁塔，則他可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面

（即看到圖2中的正方形的兩邊）的概率為（）

圖1圖2

1

A.—C

4I

9.已知函數(shù)段）為R上的奇函數(shù)，且/（r）=/（2+x）,當(dāng)xgOJ時(shí)，/（力=2"+/，則川01）+川05）

的值為（）

A.3B.2C.1D.0

10.已知。＞0,函數(shù)/（x）sin3X+工在區(qū)間上有零點(diǎn),則。的取值范圍為（）

I3J一

322523

A.—,+ooB.-,+coC.D.

233,3

11.已知雙曲線?！暌?=1（。＞0/＞0）的右焦點(diǎn)為*c,（））,點(diǎn)A在。的一條漸近線上，且A在第一象

限，|OA|=c,若A尸的中點(diǎn)在。上，則。的離心率為（）

A.V5-1B.75+1

C.76-1D.V6+1

12.若f+f對(duì)工式。,?。┖愠闪?，則。的取值范圍是（）

A.（0,-Kt＞）B?O

49

C.N,+8D.—,+oo

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.

13.fs+l)展開(kāi)式中1的系數(shù)為_(kāi)________.

IX)x

14.己知數(shù)列｛4｝滿足q=1,4川=54，則數(shù)列｛4%+1｝的前n項(xiàng)和為.

15.若一個(gè)圓柱的底面直徑為2,高為4,且該圓柱的圓周都在球。的球面上，則球。的表面積為

16.關(guān)于圓A7:(工一3攵『十()，—必一2f=1+公有如下四個(gè)命題:

①若圓M與)，軸相切，則％=±衛(wèi)；

②圓M的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為5：

③若直線)'=工平分圓M的周長(zhǎng)，則％=2；

④圓歷與圓(.r—32)2+y~=4左2可能外切.

其中所有真命題的序號(hào)是.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

道試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.如圖，在直三棱柱ABC—44G中，ABLAC,AB=4C=AA=4,。、。分別為線段、4。

的中點(diǎn).

B

(1)證明：平面gBCG；

(2)求。c與平面4出。所成角的正弦值.

在工軸上方），橢圓。的右焦點(diǎn)在直線MV上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,E分別為橢圓。的左、右、上頂點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)。橢圓C上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線DE與％軸交于點(diǎn)P,直線上有一點(diǎn)。滿足而?麗=4,

證明：直線屬經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

m-\—

7If）l

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為《/、"（"?為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x

\1、

m----

tn

軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線/的極坐標(biāo)方程為夕cose+fS

（i）求曲線。的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

⑵已知點(diǎn)P（2,0）,若直線/與曲線C交于A,4兩點(diǎn)，求幟41Tp訓(xùn)的值.

［選修4-5；不等式選講］

23.已知函數(shù)/。）二|工一2|一+

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，求不等式的解集;

⑵當(dāng)。=2時(shí)，若關(guān)于/的不等式,八外＞m+1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

答案與解析

一、選擇題(共12小題).

1.若實(shí)數(shù)X,y滿足(x+i)(2+i)=l+M，則()

A.x=l,y=2B.x=l,y=3c.x=3,y=1D.x=3,y=2

【答案】B

【解析】

【分析1根據(jù)復(fù)數(shù)乘法公式計(jì)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等，求X，)'的值.

【詳解】因?yàn)?x+i)(2+i)=2x—l+(2+xN=l+)K所以2x—l=l,2+x=yt解得x=l,>'=3.

故選：B

2.已知集合MddvJ>。},N={M-6<x<5},則MDN中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合"，求出MCN,再判斷其中的整數(shù)元素，即得結(jié)果.

【詳解】解：『?4>0的解為1<-2或x>2,故知={小<-2或心>2],又N={M-6<x<5},

A/n/V={.v|-6<x<-2或2<x<5},

???MCIN中整數(shù)元素為：-5,-4,-3,3,4,

??.MnN中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：C.

3.已知平面向量7=(3,4),坂=。一九2+2)，且￡/而，則4=()

A.2B.-2C.----D.—

77

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，求得見(jiàn)的值.

【詳解】解：?.?向量M=(3,4),〃=(l—42+4)，且不/區(qū).

/.3(2+2)-4(1-2)=0,

2

則2=—?

7

故選：C.

4.已知函數(shù)=則（）

4/（0.5）＞/（2）＞/（3.1）B./（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C./（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

【答案】D

【解析】

【分析】比較/（0.5）、/（2）、/（3.1）與。的大小，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】?,-lgO.5＜lgl=O,lg3.1＞lg2＞lgl=O,則〃0.5）＜0,〃2）〉0,/（3.1）＞0,

由不等式的基本性質(zhì)可得^^高〉。，因此，/（2）＞/（3.1）＞/（0.5）.

故選：D.

3x+2y+2＞0

5.若變量x,丁滿足約束條件,則z=x+2），的最大值為（）

x-2y+2＞0

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】作出不等式組的可行域，即可判斷目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值.

【詳解】作出不等式組的可行域，如圖所示：

由圖知，目標(biāo)函數(shù)z32），在二二工0的交點(diǎn)Q⑵處取得最大值，

故選：c

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的兒何體：“邪解立方，得二塹堵.邪解塹

堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉嚅“，“塹堵''其實(shí)就是底面為直角三角形的直棱柱.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,

則該“塹堵”的側(cè)面積為（）

4

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8+8夜B.8+6收C.6+8aD.16

【1A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖得到直三棱柱的高和底面三角形的三邊長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】該直三棱柱的直觀圖如圖:

由三視圖知該直三棱柱的高為4,底面是等腰三角形，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2,高為1，所以其腰長(zhǎng)為

J『+i2=&,

所以其側(cè)面積S=（2+拒+虛）：＜4=8+8拒.

故選:A

7.在等差數(shù)列｛m｝中，若恁+00=18,。3+的+小3=12,則使?。?00成立的正整數(shù)”的最小值為（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】D

【解析】

【分析】由已知建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解之可求得數(shù)列的通項(xiàng)，由此可得選項(xiàng).

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬閐,

,在等差數(shù)列｛?！ǎ校?6+00=18,。3+。5+。13=12,

q+5d+4+9d=18

r,一s,ic，解得s=-26,d=5,

a｝+2d+q+4d+4+12d=12

:.Gn=-26+5(/?-1)=5/7-31,

131

由5n-31>100,得">---,

???使%>100成立的正整數(shù)〃的最小值為27.

故選：D.

8.小雁塔，位于唐長(zhǎng)安城安仁坊（今陜西省西安市南郊）薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大

雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小雁塔是密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔，塔身為四方形，底邊長(zhǎng)11.38米.若

某游客在距離塔底中心11.38米的圓周上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)處觀察小雁塔，則他可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面

（即看到圖2中的正方形的兩邊）的概率為（）

【答案】B

【解析】

【分析】這是一個(gè)幾何概型,由題意知圓的半徑，=11.38,作出圖形，只有在劣弧AH,CD,上時(shí),

可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面,然后根據(jù)條件求得A3+CD+EF+G”，與圓周長(zhǎng)比即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為O,半徑為匕7-11.38,

如圖：

只有在劣弧AB,CD,EF,GH上時(shí)，可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面,

BC=AH=GF=ED=r,

元jrr

則AAO”為等邊三角形，AOH=-AH=—,

3i3

同理：GF=DE=BC=—，

3

則4H+G"+力E+"「二把

3

而圓的周長(zhǎng)/=24，則A8+CQ+EF+G〃=*,

3

2兀r

所以可以同時(shí)看到塔兩個(gè)側(cè)面的概率是"T1，

p=-^―=-

?7ir3

故選:B.

9.已知函數(shù)於)為R上的奇函數(shù)，且/(—x)=/(2+x),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/("=2"+棄則火101)+川05)

的值為()

A.3〃.2C.1I).0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可求得函數(shù)的解析式，再由/(一尢)=/(2十X)求得函數(shù)人笛是周期為4的冏期

函數(shù)，由此可計(jì)算得選項(xiàng).

【詳解】解：根據(jù)題意,函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則次0)=0,

又由4￡[0,1]時(shí)，f(x)=T+-^,則有10)=1+。=0,解可得：-1,則有/(x)=2v-5,

又由-x)」2+x),即./U+2)=-fix),則有,仆+4)=-fix+2)=fix),即函數(shù)段)是周期為4的周期函數(shù),

1313

則/(1()1)=/⑴=2_5=/J(1()5)=/(1)=2_H，

故有?101）欣105）=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的周期性有關(guān)問(wèn)題的求解策略：

1、求解與函數(shù)的周期性有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義.求出函數(shù)的周期；

2、解決函數(shù)周期性、奇偶性和單調(diào)性結(jié)合問(wèn)題，通常先利用周期性中為自變最所在區(qū)間，再利用奇偶性和

單調(diào)性求解.

10.已知◎>（）,函數(shù)/（x）=sin?x+g在區(qū)間g,乃上有零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

32-23

A.-,+coB.—,+ooD.

233,2

【答案】B

【解析】

33

【分析】分別討論①2—，（）<。<二兩種情況，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出。的取值范圍.

22

2乃TTT247C3

【詳解】設(shè)/（"的最小正周期為7,則7二—.若乃一；2不即:-2一，解得切之二則“X）在

co323co2

區(qū)間g,萬(wàn)上至少有一個(gè)零點(diǎn).若0<0<?,則g++g|,故只需

LJJJVJ>

ct)7rn1d4，3zm23,..、2

----1--W7TWCD71+—,結(jié)合0<0<一,得一Wo<一.綜上，(t)N一.

3332323

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：當(dāng)0<3<=時(shí)，關(guān)鍵是由W■吟,①冗吟旦三111、

,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得

L.303\1

出”+工或萬(wàn)忘。乃+工，進(jìn)而得出。的取值范圍.

333

11.已知雙曲線。：，-卷=1（〃>0,〃>0）的右焦點(diǎn)為尸（G。），點(diǎn)A在。的一條漸近線上，且A在第一象

限，|。4卜c,若Ab的中點(diǎn)在C上，則。的離心率為（）

A.75-1B.JJ+1

c.>/6-lI).V6+1

【等案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先設(shè)A的坐標(biāo)為（〃⑺），機(jī)>0,〃>0；利用題中條件，求出A（a,〃），進(jìn)而求&AF

的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求出離心率.

【詳解】由題意，設(shè)A的坐標(biāo)為（〃?,〃），m>0,〃>0,

由儂=c,可得/+丁=。2①

又點(diǎn)A在。的一條漸近線上，可得〃=2加②

a

由①②可得〃2=。，〃=6，即有A（4,〃），

又H（a。），可得AF的中點(diǎn)坐標(biāo)為

由Ab的中點(diǎn)在C上，可得「2112,

11

化為L(zhǎng)^L

(22eJ4

解得e二6一1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件，確定c之間的等量關(guān)系；求解本題時(shí)，先根據(jù)題中條件，求出

A（a,〃），得出Ab中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由4b的中點(diǎn)在。上，列出方程，即可得出。，力，。之間等量關(guān)系.

12.若f+f＜碇、+/e3》對(duì)x?0,+00)恒成立，則。的取值范圍是()

(?

A.(O,+8)B.一,+oo

Ie

(4)191

C.r，+8D.—,+^

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)/(X)=X+J,結(jié)合=x+V的單調(diào)性得到"恒成立，然

2

后采用分離參數(shù)的方法并構(gòu)造新函數(shù)/(戈)=:，分析出/(工)的單調(diào)性確定出其最大值，由此可求解出。

的取值范圍.

【詳解】解：將原不等式變形可得，花+(花)'>%2+12丫(*)對(duì)任意的工?0,”)恒成立，

其中爐之0,產(chǎn)之1,由此可得上式只有在。>0時(shí)成立，

此時(shí)，設(shè)尸(x)=x+d,則(*)式即可表示為產(chǎn)(?2)>/⑺,

???9(x)=l+3d>0恒成立,即F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；

2

故有4,>Y恒成立<=>6/>二恒成立，

ex

令"、)=「,貝味/(*)=亨=^1，

令f(x)=()=x=2或工=0；

則有,f'(x)>0=0<x<2；f'(x)<0=>x>2或x<0,

根據(jù)題意可得，函數(shù)〃力在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,行)上單調(diào)遞減；

44

故有了。)…="2)=0,即心W■恒成立.

e,

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)犍點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題設(shè)所給的不等式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出合適函數(shù)/卜)，將不等式

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，注意其中分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)求解參數(shù)范圍的方法.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.

13.(3+，丫的展開(kāi)式中1的系數(shù)為_(kāi)__________.

\X)x

【答案】21

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)可求得答案.

【詳解】解?：(3+'］的展開(kāi)式中《的系數(shù)為C；x3=21.

故答案為：21.

14.已知數(shù)列｛qj滿足4=1,6川=5%，貝ij數(shù)到J｛4%+1｝的前〃項(xiàng)和為

【答案】5〃-1+〃

【脩析】

【分析】分析出數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求出明，然后利用分組求和可求得結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,%=54，故也=5,所以數(shù)列｛凡｝為等比數(shù)列，

%

所以為=4?5小=5-，所以4afl+l=4x5M+1,

所以｛4?！?1｝的前〃項(xiàng)和＜=4X(1+5+...+5”T)+〃=4-；)+〃=5"一1+〃.

故答案為：5”一1+〃.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

⑵對(duì)于｛〃/〃｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，｛"｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

⑶對(duì)于｛《,+〃｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

rZX

⑷對(duì)于，-----1結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為d(dwO),則一!一二'-!——-,利用裂項(xiàng)

〔44+J為4川八%"

相消法求和.

15.若一個(gè)圓柱的底面直徑為2,高為4,且該圓柱的圓周都在球。的球面上，則球。的表面積為

【答案】20萬(wàn)

【解析】

【分析】記球。的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為一，圓柱的高為人，根據(jù)題中條件，利用勾股定理求出

球的半徑，進(jìn)而可得出球的表面積.

【詳解】記球。的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為廣，圓柱的高為〃，

根據(jù)題意，畫(huà)圖如下：

故在用△OO'A中，04=Jr+22=石，

因此，球。的表面積為5=4不/?2=4萬(wàn)?(石)2=20乃.

故答案為：20乃.

16.關(guān)于圓M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=l+k2有如下四個(gè)命題:

①若圓M與)，軸相切，則2=±e；

4

②圓M的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為9；

5

③若直線>=1平分圓M的周長(zhǎng)，則攵=2；

④圓M與圓(x-32)2+),2=4左2可能外切.

其中所有真命題的序號(hào)是.

［答案］?@?

【解析】

【分析】根據(jù)圓切線的性質(zhì)列出方程求解，可判斷①正確；利用點(diǎn)到直線距離公式，由配方法可判斷②

正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得直線，'二工過(guò)圓心，判斷③錯(cuò)；根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)存在原理，即可判

斷④正確.

【詳解】圓M:(x-3幻2+(),一軟―2y=1+公的圓心坐標(biāo)為：(34,以+2),半徑為4=，1+42.

①若圓M與)軸相切，則|32|=，1+/，解得女=士也，所以①為真命題.

,0)8-73636

②因?yàn)?3女尸+(4k+2)2=25k24-16^+4=(5^+-)2+—>—,

52525

所以|OA7住g,所以②為真命題.

5

③若直線y=x平分圓M的周長(zhǎng)，則圓心在直線上，即3攵=4上+2,解得攵=一2,所以③為假命題.

④若圓M與圓(1-3k)2+y2=4k2外切，則14女+21=J1+回+J4k?，

設(shè)函數(shù)/伏)=|4%+2|-川+公一顯然/(幻=|4左+2|-"7%?-“^"為連線函數(shù)，又因?yàn)?/p>

/(0)=1>0,/(-1)=->/2<0,所以/(&)在(T,0)內(nèi)必有零點(diǎn)，則方程|4?+2|=Jl+I+"F有

解，所以④為真命題.

故答案為：①?@.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：

求解本題的關(guān)鍵在于利用圓的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，要熟記直線與圓位置關(guān)系、圓的方程、圓與圓位置關(guān)系

等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

道試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.如圖，在直三棱柱A8C-A禺G中，AB1AC,AB=AC=AA}=4,。、0分別為線段與6、A。

的中點(diǎn).

⑴證明：平面gBCG；

(2)求OC與平面A8C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

39

【解析】

【分析】⑴由叫_L平面AB?可得出叫,再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出A。，,

結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC.AA所在直線分別為X、)，、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法可求得0C與平面A所成角的正弦值.

【詳解】(1)證明：在直三棱柱ABC-A用G中，平面A4G,

因?yàn)?。匚平面4片6，所以

?.?朋〃34且懼=34，所以，四邊形田為平行四邊形，可得=

同理可得AC=4G，

?.?AB=AC,二4四二AG，因?yàn)?。為B|G的中點(diǎn),所以，a。J.ec，

???叫nBG=B］，.二A。_L平面B}BCCi；

(2),.?AAJ?平面ABC,ABLAC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC,4弓所在直線分別為工、V、z軸

則A(0,0,4)、8(4,0,0)、C(0,4,0)、。(2,2,4)、0(1,1,4),

*=((),4,-4),4月=(4,0T),Od=(-1,3T),

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(x,v,z),則有〈工八，即匕，八,

'")［萬(wàn)48=04x-4z=0

令z=l,可得〃=(1,U),

nOCV78

?/cos<n,OC>=

I斗四-x/3xV26-39，

因此，0C與平面A13C所成角的正弦值為嚕

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法:

（I）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)犍;

②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念;

③求，利用解三角形的知識(shí)求角;

公卜照（其中AB為平面。的斜線，G為平面。的法向量，，為斜線

(2)向量法，sin6=cos<AB,n

網(wǎng)M

A8與平面a所成的角）.

18.為了測(cè)出圖中草坪邊緣A,B兩點(diǎn)間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個(gè)點(diǎn)。與。（A,B,C,。四

點(diǎn)共面)，測(cè)得AC=1.6m,CD=2m,BO=1.8m,已知cos/BQC=-且，tanZ.ACD=3>/7.

（I）求八48面積；

⑵求A,8兩點(diǎn)間的距離.

【答案】⑴邁m2；（2）3m.

5

【解析】

【分析】（1）由已知1211/4。。=3，7,可得sin/ACO的值，然后利用三角形面積公式即可求解.

⑵由已知tanNACO=3，7，可得cosNACD,利用余弦定理可求4。，cosNAOC的值，進(jìn)而求sinNAQC,

然后由勾股定理可得A3的值.

【詳解】解：（1）因?yàn)閠an/4CQ=3j7，可得sin/4CO=上包,

8

1a/y

所以SAAC/J=-AC^CD^sinZACD=m

5

⑵因?yàn)閠anNACO=3療，所以，osNAC￡>=-,

8

所以人h=1.62+22—2xl.6x2x—=5.76,則AD=2.4,

8

因?yàn)椤?鳥(niǎo)黑所以Mg#,

BTT

又co$NBDC=-J,所以NA08=一,

42

所以AR=JAD21BD2=J24?I1§2=4〃九

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考杳了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，弄清三角形的近角關(guān)系，利

用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、勾股定理求解.

19.2021年，“十四五”開(kāi)局全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程由此開(kāi)啟，這一年，中國(guó)共產(chǎn)黨將迎來(lái)

建黨100周年.某企業(yè)開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，該企業(yè)收集了參與此次知識(shí)問(wèn)

答活動(dòng)的員工得分情況，得到如下頻率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90J00)

頻率0.040.10ah0.200.12

其中樣本的平均數(shù)是73.6.(假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

(1)求4，6的值；

(2)根據(jù)此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的得分，評(píng)出四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)給予如下的獎(jiǎng)勵(lì)：

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

評(píng)定等級(jí)不合格合格良好優(yōu)秀

抽獎(jiǎng)次數(shù)0124

每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為;，每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為100元，求參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的

數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)。=0.26,〃=0.28；(2)數(shù)學(xué)期望為105元.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)每一組中的中點(diǎn)乘以頻率之和等于平均數(shù)可得65。+75匕=37.9,再由頻率之和等于1可

得。+人=0.54,兩式聯(lián)立即可求解.

(2)首先求出評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀、良好、合格、不合格時(shí)所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望，再利用期望的計(jì)算公式即可求

解.

【詳解】解：(1)因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)是73.6,

所以45x0.04+55x0.10+65a+75〃+85x0.20+95x0.12=73.6

即65。+756=37.9,①

又〃+〃=0.54,②

由①②解得4=0.26，8=0.28.

(2)當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為,x4x100=200,

2

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為良好時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為,x2xl()0=100

2

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為，xlx100=50,

2

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為不合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為,x0xl00=0,

2

E(X)=0x0.14+50x0.26+100x0.28+200x0.32=105

故參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的數(shù)學(xué)期望為105元.

20.已知函數(shù)/(%)=x-冽吧.

x

⑴當(dāng)4=1時(shí)，求曲線產(chǎn)/㈤在點(diǎn)(1,1)處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(工尸.嗔幻有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】(l)x+y-2=0；(2)(e,-HO).

【解析】

【分析】(1)求得/=-T',得出曲線V狀幻在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方

x~

程可求得切線的方程；

(2)原問(wèn)題等價(jià)于r=2“l(fā)ru有兩個(gè)不等的正數(shù)解.設(shè)/Z(X)=F，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所令函數(shù)

,1

的單調(diào)性和最值，由此可求得。的取值范圍.

【詳解】解：⑴當(dāng)斫1時(shí)，/(x)=x-21吧，則r(x)=i一生？2,

所以曲線產(chǎn)/U)在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為1-2=-1,

則切線的方程為y-l=-(x-1),即x+y?2=0；

⑵函數(shù)g(x)=MU)有兩個(gè)零點(diǎn)，即/=2〃吐有兩個(gè)不等的正數(shù)解.顯然4工0

由；=當(dāng)，可設(shè)〃(幻=電工則g)J-21nx,

2arx-x

當(dāng)五時(shí)，/f(x)<0,h(x)遞減;當(dāng)0vx<五時(shí)，似力X),恤)遞增,

所以人。)在x二五處取得極大值，且為最大值

且X—>+oo,/?(x)—>0,所以。,

2a2e

解得a>e,即。的取值范圍是(e,+oo).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為

不等式恒成立問(wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

21.已知橢圓。：鳥(niǎo)+￡=1(。>人>0)的離心率為手，橢圓C與拋物線)，2=理式交于M,N兩點(diǎn)(M

在工釉上方)，橢圓。的右焦點(diǎn)在直線MN上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,E分別為橢圓C的左、右、上頂點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

⑵設(shè)。為橢圓。上一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線OE與1軸交于點(diǎn)尸，直線40上有一點(diǎn)Q滿足麗?詼=4,

證明：直線的經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

2

【答案】(D工+)尸=1；(2)證明見(jiàn)解析.

4-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中條件，先設(shè)M(c,小)，結(jié)合題意列出方程組，求出。，b,c,即可得出橢圓方程;

(2)先設(shè)直線OE的直線丁二履+1,聯(lián)立直線與橢圓方程，得到D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線A。的方程，設(shè)

2k+l

點(diǎn)。卜。廠而立（%+2）,再由前?方一4得出。（4幺2AI1）,推出程E-怎Q,即可證明結(jié)論成立.

【詳解】（I）由題意，設(shè)M（c"

26

m=——c

12

)

C-/2獷，

,41-C———1

由條件可知，，a2b2解得。=2,b=l,c=,

cr=b^+u

C_y/3

a2

2

橢圓。的方程為三十），2=1.

4-

⑵設(shè)直線DE的直線y=去+1,則。.1o

y=kx+\

消去）'，整理得（找2+1卜2+8履=0,

8k

所以X=。,&=

4公+1

以1-4F

即。

4k2+1'4及2+"

1-4公

4—十]=22+1

因?yàn)锳（-2,0）,

所以直線AO的斜率為-4+2-E

4二+1

2k+1

所以直線八。的方程為=小。+2）,

設(shè)點(diǎn)Q1%,一表；（工。+2））

由。戶?0心=4=一,%，可得％=-4攵，所以Q（-4左2Z+1）,

k

因?yàn)橹本€BE的斜率為kKE=二一!,

0-22

2攵+1

直線的斜率為即。

-4k-22

所以直線班經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:

求解橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般需要根據(jù)題中條件，表示出直線的方程，由直線方程確定直線所過(guò)定

點(diǎn)；有時(shí)需借助其它直線與橢圓聯(lián)立，得出直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式，驗(yàn)證某定點(diǎn)在直線」，

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

[選修I；坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

x=m+—

,九

22.在直角坐標(biāo)系x。），中，曲線C的參數(shù)方程為〈、,（，〃為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X

TH￡

軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為pccs[e+?）=J5.

（I）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

⑵已知點(diǎn)夕（2,0）,若直線/與曲線。交于A,3兩點(diǎn)，求歸山一歸引的值.

【答案】⑴C的普通方程為=/直角坐標(biāo)方程為工-），-2=0；（2）272.

【蟀析】

11丫2

【分析】（1）注意到〃?+一與機(jī)--的平方