幾何圖形初步（知識梳理+34個考點講練+中考真題演練+難度分層練共85題）TOC\o"1-2"\h\u知識梳理技巧點撥 2知識點梳理1：幾何圖形 2知識點梳理2：直線、射線、線段 3知識點梳理3：角 4優(yōu)選題型考點講練 5考點1幾何體中的點、棱、面 5考點2從不同方向看幾何體 7考點3由展開圖計算幾何體的表面積 8考點4由展開圖計算幾何體的體積 9考點5正方體相對兩面上的字 10考點6求展開圖上兩點折疊后的距離 11考點7補一個面使圖形圍成正方體 11考點8點、線面、體四者之間的關(guān)系 12考點9平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形 13考點10截一個幾何體 14考點11直線、線段、射線的數(shù)量問題 15考點12直線相交的交點個數(shù)問題 16考點13作線段（尺規(guī)作圖） 16考點14線段的和與差 17考點15線段中點的有關(guān)計算 18考點16線段n等分點的有關(guān)計算 19考點17線段之間的數(shù)量關(guān)系 19考點18與線段有關(guān)的動點問題 20考點19兩點之間線段最短 20考點20兩點間的距離 21考點21最短路徑問題 22考點22畫特殊角 23考點23鐘面角 24考點24與方向角有關(guān)的計算題 24考點25角的單位與角度制 25考點26角的度數(shù)大小比較 25考點27三角板中角度計算問題 25考點28幾何圖形中角度計算問題 27考點29角度的四則運算 28考點30實際問題中角度計算問題 29考點31角平分線的有關(guān)計算 30考點32角n等分線的有關(guān)計算 31考點33與余角、補角有關(guān)的計算 32考點34同(等）角的余(補)角相等的應(yīng)用 34中考真題實戰(zhàn)演練 35難度分層拔尖沖刺 36基礎(chǔ)夯實 36培優(yōu)拔高 37知識點梳理1：幾何圖形幾何圖形的分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結(jié)合起來．（2）從不同方向看：主（正）視圖從正面看幾何體的三視圖左視圖從左邊看俯視圖從上面看（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.知識點梳理2：直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：知識點梳理3：角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．余角和補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.4．方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.考點1幾何體中的點、棱、面【典例精講】（25-26七年級上·廣東佛山·期中）將一個正方體木塊涂成紅色，然后如圖把它的棱四等分，再沿等分線把正方體切開，可以得到64個小正方體．觀察并回答下列問題：(1)其中三面涂色的小正方體有________個，兩面涂色的小正方體有________個，各面都沒有涂色的小正方體有________個；(2)如果將這個正方體的棱五等分，所得的小正方體中三面涂色的有________個，各面都沒有涂色的有________個；(3)如果要得到各面都沒有涂色的小正方體64個，那么應(yīng)該將此正方體的棱________等分．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學(xué)的知識，回答下列問題：(1)小明總共剪開了______條棱．(直接寫出答案(2)現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認(rèn)為他應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中有______種情況．(3)據(jù)小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的6倍，現(xiàn)在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是104cm，求這個長方體紙盒的體積．考點2從不同方向看幾何體【典例精講】（25-26七年級上·廣東·期中）如圖，在平整的地面上，9個完全相同的棱長為1dm(1)請在網(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖；(2)該幾何體的表面積為__________dm2(3)如果在這個幾何體上再添加一些小立方體，并保持從正面看和從左面看到的形狀圖不變，那么最多可以再添加__________個小立方體．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·陜西咸陽·期中）如圖，用幾個大小相同的小立方塊搭成一個幾何體．畫出從正面、左面、上面看到的這個幾何體的形狀圖．

考點3由展開圖計算幾何體的表面積【典例精講】（25-26七年級上·河南鄭州·期中）用若干大小相同棱長為1的小正方體搭一個幾何體，使得從正面和上面看到的這個幾何體的形狀如圖所示．完成下列問題：(1)搭成滿足如圖所示的幾何體最多需要個小正方體，最少需要個小正方體；(2)請在如圖網(wǎng)格中畫出用最少小正方體搭成的幾何體的左視圖．（畫出兩種即可）(3)如圖幾何體的表面積為：．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·山東·階段練習(xí)）（1）如圖為一張邊長為30cm①畫出紙盒展開示意圖；②若四角各剪去一個邊長為4cm（2）如圖為一塊長30cm、寬24cm的長方形紙板，將其四角各剪去一個正方形，折成高為（3）小明用剪刀展開了一個長方體紙盒，不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分．①小明總共剪開了______條棱．②他剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．已知紙盒的底面是一個正方形，且所有棱長之和為88cm考點4由展開圖計算幾何體的體積【典例精講】（25-26七年級上·廣東河源·階段練習(xí)）【問題情境】某綜合實踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．(1)【拓展探究】如圖所示的圖形中，是無蓋正方體表面的展開圖的是________（填序號）(2)綜合實踐小組利用邊長為acm

①圖①方式制作一個無蓋的長方體盒子的方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為bcm的小正方形，再沿虛線折合起來．若a=10cm，②圖②方式制作一個有蓋的長方體紙盒的方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為bcm的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．如果a=30cm，b=5cm(3)【問題進階】若一個無蓋長方體的長、寬、高分別為6，4，3，它缺一個長為6，寬為4的長方形底面，將它的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為多少？通過比較長方體表面展開圖取得最大外圍周長和最小外圍周長的兩個圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·全國·單元測試）如圖是某長方體包裝盒的展開圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示，且長方體盒子的長是高的2倍．(1)展開圖的6個面分別標(biāo)有如圖所示的序號，則原包裝盒與①相對的面是___________（填序號）；(2)求長方體包裝盒的體積．考點5正方體相對兩面上的字【典例精講】（25-26七年級上·山西太原·階段練習(xí)）在學(xué)校組織的“傳統(tǒng)文化進校園”活動中，禮堂的電子屏上，以古典民樂為背景音，滾動播放由一個立方體與其平面展開圖相互轉(zhuǎn)化形成的視頻．這個立方體的六個面上分別有：梅、蘭、竹、菊、松、柏，同學(xué)們能看到的一個展開圖是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·陜西咸陽·期中）一個正方體的六個面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從三個不同的方向看到的情形如圖所示，則數(shù)字6的對面是．考點6求展開圖上兩點折疊后的距離【典例精講】．（2025·河南焦作·二模）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點P最遠(yuǎn)的點是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，一只蜘蛛在長方體木塊的頂點A處，一只蒼蠅在頂點B處，蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著A→D→B爬行，請你確定蜘蛛爬行路線最短時點

考點7補一個面使圖形圍成正方體【典例精講】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖①，正方形網(wǎng)格中是一個正方體的部分展開圖．(1)請你在圖②、圖③中各畫1個正方形，使這6個正方形能折疊成一個正方體；(2)若這個正方體相對面上的兩個數(shù)相等，求x、y的值．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）周末，小明同學(xué)準(zhǔn)備了一份禮物送給自己的好朋友．他設(shè)計了一個正方體盒子進行包裝，如圖，由于粗心少設(shè)計了其中一個頂蓋，請你把它補上，使其成為一個兩面均有蓋的正方體盒子．(1)共有___________種彌補方法；(2)任意畫出一種成功的設(shè)計圖（在圖中補充），并將-2考點8點、線面、體四者之間的關(guān)系【典例精講】（25-26七年級上·貴州·階段練習(xí)）下圖所示的是由直角三角形和長方形拼成的四邊形．(1)將這個四邊形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個立體圖形，這能說明的事實是________（填序號）．①點動成線；

②線動成面；

③面動成體．(2)求得到的立體圖形的體積（結(jié)果保留π）．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為1.8m、高為3(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是_____；用數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象是______；(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留π）考點9平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形【典例精講】（25-26七年級上·四川成都·階段練習(xí)）同一個圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)時，得到的幾何體一般不同．如圖是一個直角三角形．(1)當(dāng)該三角形繞著長為3cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，請求出這個幾何體的體積（結(jié)果保留π(2)當(dāng)該三角形繞著長為5cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，請求出這個幾何體的體積（結(jié)果保留π【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·四川成都·階段練習(xí)）將一個長為6?cm，寬為5?cm的長方形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則得到的幾何體的體積為考點10截一個幾何體【典例精講】（25-26七年級上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，用一平面切截正方體，截面圖形一定是（

）A．正方形 B．長方形 C．梯形 D．平行四邊形．【變式訓(xùn)練】25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖①，從大正方體上截去一個小正方體之后，可以得到如圖②所示的立體圖形．(1)設(shè)原大正方體的表面積為S，圖②中立體圖形的表面積為S1，則S1與S的大小關(guān)系是（A．S1>SB．S1=S(2)小明說：“設(shè)圖①中大正方體的棱長之和為l，圖②中立體圖形各棱的長度之和為l1，則l1比(3)圖③是圖②中立體圖形的表面展開圖嗎？如果不是，請在圖③中予以修正．考點11直線、線段、射線的數(shù)量問題【典例精講】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）如下圖．(1)【試驗觀察】如果每2個點畫1條直線，那么第1組最多可以畫________條直線；第2組最多可以畫________條直線；第3組最多可以畫________條直線；……(2)【探索歸納】如果平面上有nn≥3個點，且任意3個點均不在1條直線上，那么經(jīng)過n(3)【解決問題】（3）某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，如果每兩人握一次手問好，那么一共需要握多少次手？【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個點C，D，則圖中共有________條線段．（2）【模型構(gòu)建】如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），那么該線段上共有多少條線段？（3）【拓展應(yīng)用】某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，如果每兩人握1次手問好，那么共握多少次手？考點12直線相交的交點個數(shù)問題【典例精講】（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，同一平面內(nèi)2條直線相交，只有1個交點；3條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有個交點；5條直線兩兩相交，最多有個交點．請你猜想：10條直線兩兩相交，最多有個交點；n條直線兩兩相交，最多有個交點．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·山東濟寧·期末）在同一平面內(nèi)，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線兩兩相交，最多有3個交點；四條直線兩兩相交，最多有6個交點．．．按照此規(guī)律，n條直線兩兩相交，最多交點個數(shù)是（）A．12nn-1 B．考點13作線段（尺規(guī)作圖）【典例精講】（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知線段a，b，c，用圓規(guī)和直尺作線段AB，使AB=a+b-【變式訓(xùn)練】（23-24七年級上·廣東·期末）如圖，O點是數(shù)軸的原點，數(shù)軸正半軸上有一點A，已知OA=2．(1)在原點O的左側(cè)畫點B，使OB=3OA；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)點M，點N同時從原點O出發(fā)，點M以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，到達(dá)點B后立即返回向右運動，點N以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動．當(dāng)點M到達(dá)點O時，兩個點都停止運動．若BM=ON時，求t的值；(3)在以上的條件下，若點M到達(dá)點O后繼續(xù)沿數(shù)軸向右運動，點N的運動速度和方向保持不變．在整個運動過程中，若點A，點B，點M，點N到原點O的距離之和是15，求t的值．考點14線段的和與差【典例精講】（25-26七年級上·全國·單元測試）如圖，C，D為線段AB上兩點，AC+BD=12，且AD+BC=107AB，則【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）已知線段AB=a，延長AB至點C，使BC=2AB．(1)請補全圖形，并求AC的長．(2)若點D為線段AC上一點，且BD=13AB考點15線段中點的有關(guān)計算【典例精講】（25-26七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，數(shù)軸上O，A兩點的距離為12，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6…【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)軸上兩個點A、B對應(yīng)的數(shù)為-8、2，若M、N兩點分別從A、B兩點出發(fā)，各自以一定速度在數(shù)軸上運動，且M點的運動速度為2(1)若M、N兩點均向數(shù)軸正方向同時運動，當(dāng)N點運動到6時，M點恰好到達(dá)原點，求N點的運動速度．(2)若M、N兩點以（1）中的速度向右運動，運動多少時間時，MO=2NO？(3)若C點在A、B之間，N點從B點出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運動．當(dāng)N點走到B、C兩點的中點D處時，它到A、C兩點的距離和為多少？(4)若點M沿數(shù)軸向右運動，記AM的中點為P，記BM的中點為Q，假設(shè)運動t秒，此時：點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，點P與點Q的距離PQ=．考點16線段n等分點的有關(guān)計算【典例精講】24-25七年級上·山西呂梁·期末）如圖，點C為線段AB上一點，點D為線段CB的中點，且AB=18cm，AC=8(1)求線段BD的長度．(2)若點E在線段AB上，且點E是線段AB的三等分點，求線段ED的長度．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·湖北武漢·期末）已知線段AB長為12，點D是線段AB的三等分點，點C是線段AB上一點，且滿足AC+CD=BC，則AC=．考點17線段之間的數(shù)量關(guān)系【典例精講】（24-25七年級上·湖北武漢·月考）如圖，點B在線段AC上，且BC=2AB，D,E分別是AB，BC的中點．則下列結(jié)論：①AB=13AC；②B是AE的中點；③EC=2BD；④DE=32A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式訓(xùn)練】（24-25七年級下·湖南郴州·開學(xué)考試）如圖，線段AC上依次有D，B，E三點，AD=12DB，E是BC(1)求證：AD=BE；(2)求線段AC的長．考點18與線段有關(guān)的動點問題【典例精講】（24-25七年級上·云南臨滄·期末）在數(shù)軸上，點O為原點，點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，且a、b滿足a+32(1)求線段AB的長；(2)若A、B兩點分別以每秒2個單位長度和每秒3個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動，經(jīng)過多少秒，點B在點A的右側(cè)且兩點之間的距離為10？(3)點P為射線BA上的一個點，且不與A、B兩點重合，M為線段的PA的中點，N為線段的PB的中點，當(dāng)點P在射線BA上運動時，線段MN的長度是否會發(fā)生改變？若不變，求出MN的長度，若改變，請說明理由．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，已知線段AB=27cm，AO=5cm，半徑OM=3cm，當(dāng)點M在AB的上方，且∠MOB=60°時，點M繞著點O以每秒30°的速度在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時點N從點B沿線段BA向點A運動，若點M、N考點19兩點之間線段最短【典例精講】（24-25七年級上·浙江臺州·期末）如圖，已知平面內(nèi)有線段AB，BC和點D，且AB≤(1)作射線AB，并在射線AB上取點E，使得BE=BC（請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并保留作圖痕跡，不寫作法）：(2)在BC上取一點F，使得AF+DF最短，并說明理由．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·湖北武漢·期末）如圖，在同一平面內(nèi)有四個點A、B、C、D，請按要求完成下列問題．（注此題作圖不要求寫出畫法和結(jié)論）(1)畫直線AC，畫射線AB；(2)我們?nèi)菀着袛喑鼍€段AB+AD與BD的大小關(guān)系是___________：(3)在平面內(nèi)找一點P，使得P點到A、B、C、D四個點的距離之和最小，畫出點P．(4)在下圖中，經(jīng)過A、B、C、D四個點能夠作出___________條直線，若平面內(nèi)有n個點，最多能夠作出___________條直線．考點20兩點間的距離【典例精講】（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）下列說法：①一個四次多項式與一個五次多項式的和一定是一個五次整式；②連接兩點的線段叫兩點間的距離；③若AP=BP，則點P是線段AB的中點；④三條直線兩兩相交，有三個交點；⑤若有理數(shù)a和b互為相反數(shù)，則一定有a=-A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·福建莆田·期末）如圖，已知C為線段AD上的一點，(1)在線段AD延長線上求作點B，使得CD=1(2)在（1）條件下，點M是線段AC的中點，N為BD的中點若MN=6，請求出線段AB的長．考點21最短路徑問題【典例精講】（24-25七年級上·湖北隨州·期末）如圖，已知四點A、B、C、D，請按要求完成下列問題：(1)畫直線AB；(2)畫射線AD，連接CD；(3)連接BC并延長BC到E，使CE=BC；(4)若AC=2，BD=3，畫點P，使PA+PB+PC+PD的值最小，則這個最小值為_________．【變式訓(xùn)練】24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A，B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．(1)如圖②，作出點A關(guān)于l的對稱點A'，線段A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C'，連接AC(2)如果在A，B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)（正方形區(qū)域），其位置如圖③所示，并規(guī)定燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域，請給出這時鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）．考點22畫特殊角【典例精講】（23-24七年級上·江蘇常州·期末）觀察下列圖形，利用格點畫圖（每個方格邊長為一個單位）：

(1)畫線段AB；(2)在線段AB上方畫∠EAB=90°，在射線AE上取三個單位長的(3)取AB的中點O，連接CO并延長CO到點D，使OD=OC；(4)連接AD、(5)請你寫出在你所畫圖中相等的線段（除OD=OC外）【變式訓(xùn)練】（2021七年級上·全國·專題練習(xí)）（2019·山東青島市·七年級期中）作圖題：已知：∠α、∠β、

求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β考點23鐘面角【典例精講】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）鐘表盤上指示的時間是11時20分，此刻時針與分針之間的較小夾角的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】（2023七年級上·全國·競賽）小明晚上7:00開始做數(shù)學(xué)作業(yè)，做完時還不到7:30，他測量發(fā)現(xiàn)，此時時鐘的時針和分針之間的夾角為78°，這時的時間是7時考點24與方向角有關(guān)的計算題【典例精講】（23-24七年級上·黑龍江綏化·期中）如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B(1)仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫作法）；(2)若有一艘漁船D，且∠AOD是它補角的13，則漁船D在貨輪【變式訓(xùn)練】（24-25八年級下·河北石家莊·期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？(2)商場、學(xué)校、公園、停車場分別在小明家的什么方位？哪兩個地方的方位是相同的？(3)若學(xué)校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？考點25角的單位與角度制【典例精講】（24-25七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）計算：-20--8-【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期末）計算：-14+考點26角的度數(shù)大小比較【典例精講】（24-25七年級上·山東日照·期末）下列說法正確的是（

）A．單項式32πB．近似數(shù)3.70與3.7的精確度相同C．35.5D．鐘面上3點30分，時針與分針的夾角為80【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·天津和平·期末）（1）比較大?。?0.24°20°24'（填“>（2）鐘表在8:20時，時針與分針的夾角是．考點27三角板中角度計算問題【典例精講】24-25七年級上·廣東汕頭·期末）（1）如圖，線段AB=20cm，C為AB的中點，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段AB向右運動，到點B停止；點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向左運動，到點A停止．若P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止運動時，另一點也隨之停止．設(shè)點P的運動時間為x①AC=cm．②是否存在某一時刻，使得C，P，Q這三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．（2）一副三角板按圖（1）中的方式拼接在一起，其中邊OA、OC與直線EF上，∠AOB=45°，①∠BOD=②如圖（2），三角板COD固定不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（即∠AOE=α），在轉(zhuǎn)動過程中兩個三角板一直處于直線EF的上方．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻滿足∠BOC=2∠【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·貴州銅仁·期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師以直線AB上一點O為端點作射線OC，OD，OM，ON，使OM平分(1)如圖1，“興趣小組”將一個三角尺的直角頂點放在點O處，即∠COD=90°，則(2)受“興趣小組”的啟發(fā)，如圖2，“智慧小組”將三角尺60°角的頂點放在點O處，即∠COD=60°(3)如圖3，已知∠COD=α，求∠MOC+∠考點28幾何圖形中角度計算問題【典例精講】（23-24七年級下·山東德州·開學(xué)考試）如圖，點A，O，B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖1放置，使直角頂點重合于點O，∠COD是直角，OE平分∠(1)若∠AOC=32°，求(2)若∠AOC=α，則直接寫出∠(3)如圖2放置，其他條件不變，直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系___________；如圖3放置，其他條件不變，直接寫出∠AOC【變式訓(xùn)練】（2023九年級下·浙江·競賽）如圖，點O在直線AB上，從O點引一條射線OC，OD平分∠AOC，∠(1)如圖1，若∠AOD=27°，n=3，求(2)如圖2，若∠DOE為直角，求n(3)如圖3，若n=5，設(shè)∠AOD=m（用含m的代數(shù)式表示∠考點29角度的四則運算【典例精講】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）計算（用度、分、秒表示）：153°2110°362°2102°4【變式訓(xùn)練】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)33°15'(3)119°57'考點30實際問題中角度計算問題【典例精講】（24-25七年級下·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，點B，C在直線l上，直線l外有一點A，連接AB，AC，∠BAC=45°，則∠ACB是鈍角，將三角形ABC沿著直線l向右平移得到三角形A1B1C【變式訓(xùn)練】（21-22七年級上·河北廊坊·期末）如圖，小明從A處沿南偏西65°30'方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西72°A．114°30' B．108考點31角平分線的有關(guān)計算【典例精講】（25-26七年級上·全國·單元測試）已知：O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠(1)如圖1．若∠AOC=30°．求(2)在圖1中，若∠AOC=a，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含(3)將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，探究∠AOC和【變式訓(xùn)練】．（24-25七年級上·陜西渭南·期末）【特例感知】（1）如圖1，已知線段MN=45cm,AB=3cm，點A、B在線段MN上，點C和點D分別是AM和BN的中點，則CD=【知識遷移】（2）我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部（OA在OB的上方），射線OC和射線OD分別平分∠AOM①若∠MON=150°,②若∠MON=α,∠AOB=β，用含α、β考點32角n等分線的有關(guān)計算【典例精講】（24-25七年級上·陜西西安·開學(xué)考試）（分類討論思想）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°,∠AOC=∠COD=(1)如圖2，∠AOB=120°，若射線OM是射線OA的伴隨線，則∠(2)如圖3，若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒2°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針轉(zhuǎn)動，射線OC與射線OD同時開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OD與射線①當(dāng)t的值為時，∠COD的度數(shù)是20②當(dāng)t的值為時，射線OC,OD,OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·四川廣安·期末）如圖，已知∠AOB=120°，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，射線OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是(1)若OC平分∠AOB，求∠(2)小明說：“不論射線OC在∠AOB的內(nèi)部哪個位置，∠考點33與余角、補角有關(guān)的計算【典例精講】（24-25七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處；（1）①∠AOD與∠②∠AOC與∠【問題探究】（2）若將這副三角尺按圖②擺放，三角尺的直角頂點重合在點O處；①∠AOD和∠②∠AOC和∠【變式訓(xùn)練】（22-23七年級上·廣西河池·期末）已知，O為直線AB上的一點，∠MON=90°，射線OC在∠MON(1)如圖1，當(dāng)OM，ON在直線AB上方時，若∠AOM=40°，求∠BON(2)圖1中，若∠AOM=a，直接寫出∠CON的度數(shù)（用含(3)如圖2，當(dāng)OM，ON在直線AB的上方和下方時，經(jīng)探究，小王得到的結(jié)論是：∠AOM=2考點34同(等）角的余(補)角相等的應(yīng)用【典例精講】（23-24七年級下·湖南株洲·期末）如圖，已知O為直線AD上一點，OC是∠AOB內(nèi)部一條射線且滿足∠AOB與∠AOC互補，OM，ON分別為∠

(1)∠COD與∠(2)若∠AOB=150°，試求∠AON(3)若∠MON=52°，試求【變式訓(xùn)練】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，AB、CD交于點O．(1)可得到結(jié)論：∠AOC=(2)若∠AOE=4∠DOE，∠AOE的余角是(3)在（2）的條件下，從點O引出一條射線OP，當(dāng)∠COP=∠AOE+1．（2024·江西·中考真題）如圖是4×3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2．（2024·江蘇鹽城·中考真題）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（

）A．濕 B．地 C．之 D．都3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠

4．（2024·吉林長春·中考真題）下列圖形中是正方體表面展開圖的是（

）A． B．C． D．5．（2023·山東青島·中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字