第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題給出的選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意，請(qǐng)將符合題意的選項(xiàng)序號(hào)，在答題卡的對(duì)應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）1．（3分）（2024?赤峰）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2024?赤峰）央視新聞2024年5月31日?qǐng)?bào)道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計(jì)發(fā)電超52000000000度，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)綠色發(fā)展提供了強(qiáng)勁動(dòng)能．將數(shù)據(jù)52000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×10103．（3分）（2024?赤峰）將一副三角尺（厚度不計(jì)）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°4．（3分）（2024?赤峰）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a65．（3分）（2024?赤峰）在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進(jìn)行檢測(cè)，此次抽樣的樣本容量是50 B．了解某校一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查 C．了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性 D．甲、乙二人10次測(cè)試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲6．（3分）（2024?赤峰）解不等式組時(shí)，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）（2024?赤峰）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為60°，則n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．108．（3分）（2024?赤峰）某市為了解初中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取200名初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如表．根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該市16000名初中學(xué)生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（）視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A．120 B．200 C．6960 D．96009．（3分）（2024?赤峰）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣10x+21＝0的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．1310．（3分）（2024?赤峰）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°11．（3分）（2024?赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問(wèn)恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）A． B． C． D．12．（3分）（2024?赤峰）如圖，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)C′恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④13．（3分）（2024?赤峰）數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，那么下列運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．|a|﹣b14．（3分）（2024?赤峰）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0），下列結(jié)論正確的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1二、填空題（請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．每小題3分，共12分）15．（3分）（2024?赤峰）寫(xiě)出一個(gè)比小的整數(shù)．16．（3分）（2024?赤峰）因式分解：3ax2﹣3a＝．17．（3分）（2024?赤峰）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)AB的高度．如圖，點(diǎn)C處與古樹(shù)底部A處在同一水平面上，且AC＝10米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測(cè)得古樹(shù)頂部B的俯角為45°，古樹(shù)底部A的俯角為65°，則古樹(shù)AB的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．18．（3分）（2024?赤峰）編號(hào)為A，B，C，D，E的五臺(tái)收割機(jī)，若同時(shí)啟動(dòng)其中兩臺(tái)收割機(jī)，收割面積相同的田地所需時(shí)間如表：收割機(jī)編號(hào)A，BB，CC，DD，EA，E所需時(shí)間（小時(shí)）2319202218則收割最快的一臺(tái)收割機(jī)編號(hào)是．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無(wú)效，解答時(shí)要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．共8題，滿分96分）19．（12分）（2024?赤峰）（1）計(jì)算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．20．（10分）（2024?赤峰）如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)．（1）求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交AC于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF＝2DE，連接BE，CF．補(bǔ)全圖形，并證明四邊形BCFE是平行四邊形．21．（10分）（2024?赤峰）某校田徑隊(duì)為了調(diào)動(dòng)隊(duì)員體育訓(xùn)練的積極性，計(jì)劃根據(jù)成績(jī)情況對(duì)隊(duì)員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．為確定一個(gè)適當(dāng)?shù)某煽?jī)目標(biāo)，進(jìn)行了體育成績(jī)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)隊(duì)員的成績(jī)，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績(jī)/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問(wèn)題：（1）表格中的a＝；b＝；c＝；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個(gè)數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)，你認(rèn)為成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為分，如果想確定一個(gè)較高的成績(jī)目標(biāo)，這個(gè)成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為分；（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊(duì)員中，隨機(jī)抽取兩名隊(duì)員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率．22．（12分）（2024?赤峰）一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等．（1）求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？23．（12分）（2024?赤峰）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)M（x1，y1），給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)N（x2，y2），滿足x1+x2＝y(tǒng)1+y2時(shí)，稱點(diǎn)N是點(diǎn)M的等和點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是點(diǎn)M等和點(diǎn)的有；（2）若點(diǎn)M（3，﹣2）的等和點(diǎn)N在直線y＝x+b上，求b的值；（3）已知，雙曲線y1＝和直線y2＝x﹣2，滿足y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0．若點(diǎn)P在雙曲線y1＝上，點(diǎn)P的等和點(diǎn)Q在直線y2＝x﹣2上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（12分）（2024?赤峰）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的長(zhǎng)．25．（14分）（2024?赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．（1）如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為；（2）如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱．①請(qǐng)直接寫(xiě)出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；（3）為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．26．（14分）（2024?赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題：（1）求證：AD＝AF；（2）探究與的關(guān)系；某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)你繼續(xù)探究：①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AC，垂足為點(diǎn)P，連接CF，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使∠ACF＝∠ACB時(shí)，若，直接寫(xiě)出的值（用含m，n的式子表示）．

2024年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題給出的選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意，請(qǐng)將符合題意的選項(xiàng)序號(hào)，在答題卡的對(duì)應(yīng)位置上按要求涂黑．每小題3分，共42分）1．（3分）（2024?赤峰）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：A．2．（3分）（2024?赤峰）央視新聞2024年5月31日?qǐng)?bào)道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計(jì)發(fā)電超52000000000度，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)綠色發(fā)展提供了強(qiáng)勁動(dòng)能．將數(shù)據(jù)52000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×1010【答案】D【解答】解：52000000000＝5.2×1010．故選：D．3．（3分）（2024?赤峰）將一副三角尺（厚度不計(jì)）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：由題意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，∴∠BCD＝∠EDF＝30°，∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°，∴30°+45°+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝105°，∴∠1＝105°，故選：B．4．（3分）（2024?赤峰）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A、a2與a3不能合并，故A不符合題意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合題意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合題意；D、（a3）2＝a6，故D符合題意；故選：D．5．（3分）（2024?赤峰）在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進(jìn)行檢測(cè)，此次抽樣的樣本容量是50 B．了解某校一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查 C．了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性 D．甲、乙二人10次測(cè)試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲【答案】D【解答】解：A、為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進(jìn)行檢測(cè)，此次抽樣的樣本容量是50，故A不符合題意；B、了解某校一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查，故B不符合題意；C、了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性，故C不符合題意；D、甲、乙二人10次測(cè)試的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，因?yàn)?.3＜2.5，所以發(fā)揮穩(wěn)定的是乙，故D符合題意；故選：D．6．（3分）（2024?赤峰）解不等式組時(shí)，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣3，將兩個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：故選：C．7．（3分）（2024?赤峰）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為60°，則n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：如圖，直線l、m相交于點(diǎn)A，則∠A＝60°，∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，∴正多邊形的每個(gè)外角也相等，∠1＝∠2＝＝60°，∴n＝＝6．故選：B．8．（3分）（2024?赤峰）某市為了解初中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取200名初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如表．根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該市16000名初中學(xué)生中，視力不低于4.8的人數(shù)是（）視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A．120 B．200 C．6960 D．9600【答案】D【解答】解：估計(jì)該市16000名初中學(xué)生視力不低于4.8的人數(shù)為16000×＝9600（名），故選：D．9．（3分）（2024?赤峰）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣10x+21＝0的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【解答】解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得x1＝3，x2＝7，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)是3、3、7時(shí)，3+3＜7，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)是7、7、3時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是7+7+3＝17．故選：C．10．（3分）（2024?赤峰）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC＝42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【解答】解：∵半徑OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝42°，∴∠D＝∠AOC＝21°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝21°，∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．故選：B．11．（3分）（2024?赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問(wèn)恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板，用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板，且現(xiàn)在需要58塊C型鋼板，∴3x+5y＝58；∵用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板，用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板，且現(xiàn)在需要40塊D型鋼板，∴4x+2y＝40．∴根據(jù)題意可列方程組．故選：C．12．（3分）（2024?赤峰）如圖，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)C′恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C＝72°，∴∠CAC'＝36°，∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB′＝AB，∴，①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是，①說(shuō)法正確；②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②說(shuō)法正確；③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，∴BD＝C′D，③說(shuō)法正確；④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，∴△B′BD∽△BAC，∴，④說(shuō)法正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A．13．（3分）（2024?赤峰）數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，那么下列運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．|a|﹣b【答案】A【解答】解：數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原點(diǎn)在A，M之間，由它們的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，則a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，故運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是a+b．故選：A．14．（3分）（2024?赤峰）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0），下列結(jié)論正確的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1【答案】B【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足分別為M和N，將A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，﹣m2+4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（n，﹣n2+4），所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD＝CD，∠ADC＝90°，所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，所以∠CDN＝∠DAM．在△CDN和△DAM中，，所以△CDN≌△DAM（AAS），所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，所以MN＝DM+DN＝m+n，又因?yàn)镸N＝NO﹣MO＝m2﹣n2，所以m2﹣n2＝m+n，即（m+n）（m﹣n）＝m+n，因?yàn)閙＞n＞0，所以m+n≠0，所以m﹣n＝1．故選：B．二、填空題（請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．每小題3分，共12分）15．（3分）（2024?赤峰）寫(xiě)出一個(gè)比小的整數(shù)2（答案不唯一）．【答案】2（答案不唯一）．【解答】解：由于＜＜，即2＜＜3，∴比小的整數(shù)可以是2，1，0，﹣1，﹣2……故答案為：2（答案不唯一）．16．（3分）（2024?赤峰）因式分解：3ax2﹣3a＝3a（x+1）（x﹣1）．【答案】3a（x+1）（x﹣1）．【解答】解：3ax2﹣3a＝3a（x2﹣1）＝3a（x+1）（x﹣1），故答案為：3a（x+1）（x﹣1）．17．（3分）（2024?赤峰）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)AB的高度．如圖，點(diǎn)C處與古樹(shù)底部A處在同一水平面上，且AC＝10米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測(cè)得古樹(shù)頂部B的俯角為45°，古樹(shù)底部A的俯角為65°，則古樹(shù)AB的高度約為11.5米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．【答案】11.5．【解答】解：由題意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC，垂足為E．∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°．∴四邊形CABE是矩形．∴BE＝AC＝10米，CE＝AB．∵DM∥AC∥BE，∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC＝，∴DC＝tan∠DAC?AC＝tan65°×10≈2.145×10＝21.45（米）．在Rt△DBE中，∵tan∠DBE＝，∴DE＝tan∠DBE?AC＝tan45°×10＝1×10＝10（米）．∴AB＝DC﹣DE＝21.45﹣10＝11.45≈11.5（米）．故答案為：11.5．18．（3分）（2024?赤峰）編號(hào)為A，B，C，D，E的五臺(tái)收割機(jī)，若同時(shí)啟動(dòng)其中兩臺(tái)收割機(jī)，收割面積相同的田地所需時(shí)間如表：收割機(jī)編號(hào)A，BB，CC，DD，EA，E所需時(shí)間（小時(shí)）2319202218則收割最快的一臺(tái)收割機(jī)編號(hào)是C．【答案】C．【解答】解：∵A，B所需時(shí)間為23小時(shí)，B，C所需時(shí)間為19小時(shí)，∴C比A快4小時(shí)；∵B，C所需時(shí)間為19小時(shí)，C，D所需時(shí)間為20小時(shí)，∴B比D快1小時(shí)；∵C，D所需時(shí)間為20小時(shí)，D，E所需時(shí)間為22小時(shí)，∴C比E快2小時(shí)；∵D，E所需時(shí)間為22小時(shí)，A，E所需時(shí)間為18小時(shí)，∴A比D快4小時(shí)；如圖所示：∴C＞E＞A＞B＞D，∴收割最快的一臺(tái)收割機(jī)編號(hào)是C．故選：C．三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無(wú)效，解答時(shí)要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．共8題，滿分96分）19．（12分）（2024?赤峰）（1）計(jì)算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．【答案】（1）6；（2）2a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（1）+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|＝3+1+2×+2﹣＝3+1++2﹣＝6；（2）（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）＝a2﹣4a+4+a2+3a﹣a﹣3＝2a2﹣2a+1，∵a2﹣a﹣3＝0，∴a2﹣a＝3，當(dāng)a2﹣a＝3時(shí)，原式＝2（a2﹣a）+1＝2×3+1＝6+1＝7．20．（10分）（2024?赤峰）如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)．（1）求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交AC于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF＝2DE，連接BE，CF．補(bǔ)全圖形，并證明四邊形BCFE是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：由作圖可知AE＝EC，∵AD＝DB，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF＝BC，∵EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．21．（10分）（2024?赤峰）某校田徑隊(duì)為了調(diào)動(dòng)隊(duì)員體育訓(xùn)練的積極性，計(jì)劃根據(jù)成績(jī)情況對(duì)隊(duì)員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．為確定一個(gè)適當(dāng)?shù)某煽?jī)目標(biāo)，進(jìn)行了體育成績(jī)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)隊(duì)員的成績(jī)，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績(jī)/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問(wèn)題：（1）表格中的a＝5；b＝2；c＝75；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個(gè)數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)，你認(rèn)為成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為78分，如果想確定一個(gè)較高的成績(jī)目標(biāo)，這個(gè)成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為80分；（3）學(xué)校要從91分的A，B，C，D四名隊(duì)員中，隨機(jī)抽取兩名隊(duì)員去市里參加系統(tǒng)培訓(xùn)．請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率．【答案】（1）5；2；75．（2）78；80．（3）．【解答】解：（1）由題意得，a＝5，b＝2，c＝75．故答案為：5；2；75．（2）∵樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為78，∴如果想讓一半左右的隊(duì)員都能達(dá)到成績(jī)目標(biāo)，成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為78分．∵平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個(gè)數(shù)據(jù)中，平均數(shù)最大，為80，∴如果想確定一個(gè)較高的成績(jī)目標(biāo)，這個(gè)成績(jī)目標(biāo)應(yīng)定為80分．故答案為：78；80．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結(jié)果，其中A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的結(jié)果有：（A，B），（B，A），共2種，∴A，B兩名隊(duì)員恰好同時(shí)被選中的概率為＝．22．（12分）（2024?赤峰）一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等．（1）求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？【答案】（1）甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；（2）15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路105千米．【解答】解：（1）由題意，設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路x千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路（x+3）千米，則＝，∴x＝6．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解．∴x+3＝9．答：甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米．（2）設(shè)甲隊(duì)工作時(shí)間為m天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為（15﹣m）天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路w千米，由題意得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135．又m≥2（15﹣m），∴m≥10．又﹣3＜0，∴w隨x的增大而減?。喈?dāng)m＝10時(shí)，w有最大值，最大值為w＝﹣3×10+135＝105．答：15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路105千米．23．（12分）（2024?赤峰）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)M（x1，y1），給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)N（x2，y2），滿足x1+x2＝y(tǒng)1+y2時(shí)，稱點(diǎn)N是點(diǎn)M的等和點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是點(diǎn)M等和點(diǎn)的有N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）若點(diǎn)M（3，﹣2）的等和點(diǎn)N在直線y＝x+b上，求b的值；（3）已知，雙曲線y1＝和直線y2＝x﹣2，滿足y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0．若點(diǎn)P在雙曲線y1＝上，點(diǎn)P的等和點(diǎn)Q在直線y2＝x﹣2上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）b＝5；（3）（﹣4，﹣2）或（2，4）．【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，∴x1+x2＝y(tǒng)1+y2＝5．∴點(diǎn)N1（4，2）是點(diǎn)M的等和點(diǎn)．由M（1，3），N2（3，﹣1）得，x1+x2＝4，y1+y2＝2，∴x1+x2≠y1+y2．∴N2（3，﹣1）不是點(diǎn)M的等和點(diǎn)．由M（1，3），N3（0，﹣2）得，∴x1+x2＝y(tǒng)1+y2＝1．∴點(diǎn)N3（0，﹣2）是點(diǎn)M的等和點(diǎn)．故答案為：N1（4，2），N3（0，﹣2）．（2）由題意，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為a，∵點(diǎn)N是點(diǎn)M（3，﹣2）的等和點(diǎn)，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為3+a﹣（﹣2）＝a+5．∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，a+5）．又∵點(diǎn)N在直線y＝x+b上，∴a+5＝a+b．∴b＝5．（3）由題意得，k＞0，雙曲線分布在第一、第三象限．設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，如圖，由y1＜y2的x取值范圍是x＞4或﹣2＜x＜0，∴A的橫坐標(biāo)為4，B的橫坐標(biāo)為﹣2．把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，∴A（4，2）．把A（4，2）代入y1＝得，2＝．∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．設(shè)P（m，），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P的等和點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為m+n﹣．∴Q（n，m+n﹣）．∵點(diǎn)Q在直線y2＝x﹣2上，∴m+n﹣＝n﹣2．∴m﹣+2＝0．∴m＝﹣4或m＝2．經(jīng)檢驗(yàn)，m＝﹣4，m＝2是方程m﹣+2＝0的解．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）或（2，4）．24．（12分）（2024?赤峰）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解答】（1）證明：連接OE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°，∵EF∥CD，∴∠COE+∠OEF＝180°，∴∠FEO＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：過(guò)M作MH⊥BC于H，則△BMH是等腰直角三角形，∵BM＝4，∴BH＝MH＝BM＝4，在Rt△CHM中，∵tan∠BCD＝＝，∴CH＝2MH＝8，∴CM＝＝4，CB＝CH+BH＝12，連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∵BD⊥BC，∴MH∥BD，∴，∴，∴DM＝2，∴OD＝＝3，∴OM＝OD﹣DM＝．25．（14分）（2024?赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．（1）如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為y＝（x+3）2+；（2）如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱．①請(qǐng)直接寫(xiě)出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；（3）為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）y＝（x+3）2+；（2）①此人騰空后的最大高度為米；拋物線BD的解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣3）2+；②落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)，理由見(jiàn)解析；（3）這條鋼架的長(zhǎng)度為2米．【解答】解：（1）由題意，