第1頁（共1頁）2025年四川省達州市中考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）如果收入100元記作+100元，那么支出40元應(yīng)記作（）A．+60元 B．+40元 C．﹣40元 D．﹣60元2．（4分）如圖是大竹“東漢醪糟”包裝盒組成的立體圖形．其主視圖為（）A． B． C． D．3．（4分）（2025春?良慶區(qū)校級期末）“悟空”號全海深A(yù)UV是中國哈爾濱工程大學(xué)自主研發(fā)的無人無纜潛水器．具備在11000米深海自主作業(yè)的能力．?dāng)?shù)據(jù)11000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.11×105 B．1.1×104 C．1.1×105 D．11×1034．（4分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)過凹透鏡后，其折射光線的反向延長線交于主光軸的焦點F．若∠1+∠2＝35°，則∠AFB的度數(shù)為（）A．35° B．55° C．70° D．145°5．（4分）下列各式運算結(jié)果為a6的是（）A．a(chǎn)3+a3 B．a(chǎn)3?a3 C．a(chǎn)12÷a2 D．（a3）36．（4分）小明隨機抽查愛民小區(qū)6戶家庭幾均用水情況，分別是：3，4，5，7，6，5（單位：m3）．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．眾數(shù)是5 B．中位數(shù)是6 C．平均數(shù)是6 D．極差是37．（4分）（2025春?襄垣縣校級期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為（）A．5x+2y=102x+2y=8 B．2x+5y=10C．5x+5y=102x+5y=8 D．8．（4分）下列說法正確的是（）A．兩點之間線段最短 B．平行四邊形是軸對稱圖形 C．若x?1有意義，則x的取值范圍是全體實數(shù) D．三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，線段AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，則△BDC的周長為（）A．21 B．14 C．13 D．910．（4分）（2025?白云區(qū)校級三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題4分.共20分）11．（4分）（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝．12．（4分）（2025春?雨花區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣3＝0的一個根是1，則m的值為．13．（4分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，已知圓錐的底面半徑為2，則扇形的弧長是．14．（4分）化簡：3xx?y?5?3x15．（4分）（2025?淮北校級自主招生）定義：在平面直角坐標系中，一個圖形向右平移a個單位長度，再繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的γ（a，θ）變換．現(xiàn)將斜邊為1的等腰直角三角形ABC放置在如圖的平面直角坐標系中，△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后得△A1B1C1為第一次變換，△A1B1C1經(jīng)γ（2，180°）變換后得△A2B2C2為第二次變換，…，經(jīng)γ（n，180°）變換得△AnBn?n，則點C2025的坐標是．三、解答題：解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16．（12分）（1）計算：（2025?1）0﹣（﹣1）2（2）解不等式：3x?1217．（10分）項目調(diào)研項目主題陽光學(xué)校學(xué)生研學(xué)需求情況調(diào)查調(diào)查人員數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查方法抽樣調(diào)查調(diào)研內(nèi)容陽光學(xué)校計劃組織學(xué)生前往以下5個研學(xué)基地中的一個基地進行研學(xué)．5個研學(xué)基地分別為：A．張愛萍故居；B．王維舟紀念館；C．萬源保衛(wèi)戰(zhàn)紀念館；D．廣子村農(nóng)業(yè)示范園；E．開江白寶塔．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對本校學(xué)生的意向目的地展開抽樣調(diào)查，并為學(xué)校出具了調(diào)查報告（每位學(xué)生只能選1個研學(xué)基地）統(tǒng)計數(shù)據(jù)請閱讀上述材料，解決下列問題：（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，查向參加B研學(xué)基地人數(shù)對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是；（2）若該校共有2000名學(xué)生，請你估計全校參加A研學(xué)基地的學(xué)生人數(shù)；（3）甲同學(xué)從B，C，D三個基地中隨機選擇一個參加研學(xué)，乙同學(xué)從C，D兩個基地中隨機選擇一個參加研學(xué)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位同學(xué)選擇相同研學(xué)基地的概率．18．（7分）開啟作角平分線的智慧之窗問題：作∠AOB的平分線OP作法：甲同學(xué)用尺規(guī)作出了角平分線；乙同學(xué)用圓規(guī)和直角三角板作出了角平分線；丙同學(xué)也用尺規(guī)作出了角平分線；工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上，即得OP為∠AOB的平分線；討論：大家對甲同學(xué)和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是；對乙同學(xué)作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②對丙同學(xué)的作法陷入了沉思．任務(wù)：（1）請你將上述討論得出的依據(jù)補充完整；（2）完成對丙同學(xué)作法的驗證．已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求證：OP平分∠AOB．19．（8分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y=mx（m≠0）交于點A（2，2），點B（﹣4，（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）點P在x軸上，S△AOP＝3，求點P的坐標．20．（8分）（2025?淮北校級自主招生）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾，已知無人機懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測得無人機的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達B處，測得無人機的仰角為45°，求無人機離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）21．（9分）歸納與應(yīng)用歸納是學(xué)好數(shù)學(xué)的敲門磚，尤其對幾何而言．例如，我們看到圖1是平行四邊形，就會聯(lián)想到：從邊的角度，平行四邊形對邊平行且相等；從角的角度，平行四邊形對角相等，鄰角互補；從對角線的角度，平行四邊形對角線互相平分；從對稱性的角度，平行四邊形是中心對稱圖形．通過如此歸納形成知識體系的學(xué)習(xí)方法，成為我們解決相關(guān)問題的金鑰匙．（1）嘗試歸納：請你根據(jù)圖2，寫出3條直角三角形的性質(zhì)．①；②；③．（2）實踐應(yīng)用：小明同學(xué)在思考直角三角形的性質(zhì)時，作出如圖3，∠ABC＝90°，點D是AC的中點，BE∥AC，AE∥BD，試幫他判斷四邊形ADBE的形狀，并證明你的結(jié)論．22．（8分）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是件；（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？23．（8分）如圖．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切線，PA＝PB，點C，D，E分別是線段AB，AP，BP上的動點．連接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．（1）試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，試求4AD+BE與⊙O半徑r的數(shù)量關(guān)系．24．（10分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，B的坐標為（3，0），C的坐標為（0，3），頂點為M．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC，過第四象限內(nèi)拋物線上一點作BC的平行線．交x軸于點E，交y軸于點F．①連接AF，當(dāng)∠AFE＝90°時，求Rt△AFE內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比值；②連接CA，CE，當(dāng)點F在△AEC的內(nèi)角平分線上，BC上的動點P滿足MP+22BP的值最小時，求△25．（10分）（2025?白云區(qū)校級三模）綜合與實踐問題提出：探究圖形中線段之間的效量關(guān)系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系．探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB邊上一點，過點P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，過點A作AF⊥BC于F，連結(jié)CP，由圖形面積分割法得：S△ABC＝S△APC+，則AF＝+；實踐應(yīng)用：如圖2，△ABC是等邊三角形，AC＝3，點G是AB邊上一點．連結(jié)CG，將線段CG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得CF，連結(jié)GF交BC于P，過點P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，當(dāng)AG＝1時，求PD+PE的值；拓展延伸：如圖3，已知AB是半圓O的直徑，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一點，PD⊥AC，垂足為D，AB＝10，AD＝2，BD＝45，求S△PAC+S△PBE的值．

2025年四川省達州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBBABADACD一、單項選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）如果收入100元記作+100元，那么支出40元應(yīng)記作（）A．+60元 B．+40元 C．﹣40元 D．﹣60元【考點】正數(shù)和負數(shù)．【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【解答】解：“正”和“負”相對，所以，如果收入100元記作+100元，那么支出40元應(yīng)記作﹣40元．故選：C．【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．2．（4分）如圖是大竹“東漢醪糟”包裝盒組成的立體圖形．其主視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形進行判斷即可．【解答】解：從正面看該組合體，底層是兩個正方形，上層的右邊是一個正方形．故選：B．【點評】本題考查簡單組合體的主視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提．3．（4分）（2025春?良慶區(qū)校級期末）“悟空”號全海深A(yù)UV是中國哈爾濱工程大學(xué)自主研發(fā)的無人無纜潛水器．具備在11000米深海自主作業(yè)的能力．?dāng)?shù)據(jù)11000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.11×105 B．1.1×104 C．1.1×105 D．11×103【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：11000＝1.1×104．故選：B．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（4分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)過凹透鏡后，其折射光線的反向延長線交于主光軸的焦點F．若∠1+∠2＝35°，則∠AFB的度數(shù)為（）A．35° B．55° C．70° D．145°【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】利用平行線的性質(zhì)可得：∠1＝∠AFO，∠2＝∠BFO，從而利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【解答】解：∵AC∥OF，∴∠1＝∠AFO，∵BC∥OF，∴∠2＝∠BFO，∵∠1+∠2＝35°，∴∠AFB＝∠AFO+∠BFO＝∠1+∠2＝35°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．5．（4分）下列各式運算結(jié)果為a6的是（）A．a(chǎn)3+a3 B．a(chǎn)3?a3 C．a(chǎn)12÷a2 D．（a3）3【考點】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】分別計算每個選項的值，進而得出答案．【解答】解：A．原式＝2a3，故本選項不符合題意；B．原式＝a6，故本選項符合題意；C．原式＝a10，故本選項不符合題意；D．原式＝a9，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．6．（4分）小明隨機抽查愛民小區(qū)6戶家庭幾均用水情況，分別是：3，4，5，7，6，5（單位：m3）．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．眾數(shù)是5 B．中位數(shù)是6 C．平均數(shù)是6 D．極差是3【考點】極差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及極差的定義，結(jié)合數(shù)據(jù)進行分析即可．【解答】解：將數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：3，4，5，5，6，7，A．眾數(shù)是5，說法正確，符合題意；B．中位數(shù)是5，原說法錯誤，不符合題意；C．平均數(shù)是3+4+5+5+6+76D．極差是：7﹣3＝4，原說法錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了極差、中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握各部分的定義．7．（4分）（2025春?襄垣縣校級期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為（）A．5x+2y=102x+2y=8 B．2x+5y=10C．5x+5y=102x+5y=8 D．【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組；數(shù)學(xué)常識．【分析】根據(jù)未知數(shù)，將今有牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，兩個等量關(guān)系具體化，聯(lián)立即可．【解答】解：設(shè)每頭牛值x金，每頭羊值y金，∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，∴5x+2y=102x+5y=8故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程．8．（4分）下列說法正確的是（）A．兩點之間線段最短 B．平行四邊形是軸對稱圖形 C．若x?1有意義，則x的取值范圍是全體實數(shù) D．三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分【考點】二次根式有意義的條件；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；三角形的面積；三角形中位線定理；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，線段的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線定理，軸對稱圖形定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、兩點之間線段最短，故A符合題意；B、平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、若x?1有意義，則x的取值范圍是x≥1，故C不符合題意；D、三角形的一條中線將三角形分成面積相等的兩部分，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，線段的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中位線定理，軸對稱圖形，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，線段AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，則△BDC的周長為（）A．21 B．14 C．13 D．9【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出BD＝AD，得到△BDC的周長＝BC+AC＝13．【解答】解：∵DE垂直平分線段AB，∴BD＝AD，∴△BDC的周長＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13．故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出BD＝AD．10．（4分）（2025?白云區(qū)校級三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點．【分析】根據(jù)拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，可得a＞0，c＞0，根據(jù)拋物線與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），當(dāng)x＝﹣1時y＞0，即可逐一判斷，進而求解．【解答】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，∴a＞0，c＞0，∵拋物線與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），當(dāng)x＝﹣1時y＞0，∴拋物線的對稱軸是直線x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故結(jié)論③④正確；∴?b2a=2，即b＝﹣4a＜0，b+4a∴abc＜0，故結(jié)論①正確，綜上，說法正確的有4個，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分.共20分）11．（4分）（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝m（m+2）．【考點】因式分解﹣提公因式法．【分析】根據(jù)因式分解的定義，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．故答案為：m（m+2）．【點評】本題主要考查提公因式法進行因式分解，熟練掌握公因式的找法是解題的關(guān)鍵．12．（4分）（2025春?雨花區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣3＝0的一個根是1，則m的值為2．【考點】一元二次方程的解．【分析】根據(jù)題意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后進行計算即可解答．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，解得：m＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的解，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，已知圓錐的底面半徑為2，則扇形的弧長是4π．【考點】圓錐的計算；弧長的計算．【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，所以只要計算出圓錐的底面圓的周長即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為2，∴扇形的弧長為2π×2＝4π．故答案為：4π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式．14．（4分）化簡：3xx?y?5?3xy?x=【考點】分式的加減法．【分析】先把減數(shù)的分母寫成x﹣y的形式，然后按照同分母分式相減法則進行計算即可．【解答】解：∵3x=3x+5?3x=5故答案為：5x?y【點評】本題主要考查了分式的加減運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減法則．15．（4分）（2025?淮北校級自主招生）定義：在平面直角坐標系中，一個圖形向右平移a個單位長度，再繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的γ（a，θ）變換．現(xiàn)將斜邊為1的等腰直角三角形ABC放置在如圖的平面直角坐標系中，△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后得△A1B1C1為第一次變換，△A1B1C1經(jīng)γ（2，180°）變換后得△A2B2C2為第二次變換，…，經(jīng)γ（n，180°）變換得△AnBn?n，則點C2025的坐標是(?20272【考點】規(guī)律型：點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【分析】過點C作CD⊥x軸，根據(jù)斜邊上的中線，得到CD=12AB=AD=12，進而得到C(12，12)，根據(jù)變化規(guī)則，得到C2(12+1?2，12)，【解答】解：過點C作CD⊥x軸，∵△ABC為斜邊為1的等腰直角三角形，∴CD=1∴C(1∴C1是由C(1∴C1同理：C2(12+1?2，12∴C1(?12?1，?∴C2n?1∵2025＝2×1013﹣1，∴C2025即C2025故答案為：(?2027【點評】本題考查坐標旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題：解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16．（12分）（1）計算：（2025?1）0﹣（﹣1）2（2）解不等式：3x?12【考點】解一元一次不等式；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式的步驟進行計算，即可解答．【解答】解：（1）（2025?1）0﹣（﹣1）2＝1﹣1+2＝2；（2）3x?123（3x﹣1）≤2（2x+1），9x﹣3≤4x+2，9x﹣4x≤2+3，5x≤5，x≤1，∴該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【點評】本題考查了解一元一次不等式，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，在數(shù)軸上表示不等式的解集，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．17．（10分）項目調(diào)研項目主題陽光學(xué)校學(xué)生研學(xué)需求情況調(diào)查調(diào)查人員數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查方法抽樣調(diào)查調(diào)研內(nèi)容陽光學(xué)校計劃組織學(xué)生前往以下5個研學(xué)基地中的一個基地進行研學(xué)．5個研學(xué)基地分別為：A．張愛萍故居；B．王維舟紀念館；C．萬源保衛(wèi)戰(zhàn)紀念館；D．廣子村農(nóng)業(yè)示范園；E．開江白寶塔．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對本校學(xué)生的意向目的地展開抽樣調(diào)查，并為學(xué)校出具了調(diào)查報告（每位學(xué)生只能選1個研學(xué)基地）統(tǒng)計數(shù)據(jù)請閱讀上述材料，解決下列問題：（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，查向參加B研學(xué)基地人數(shù)對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是90°；（2）若該校共有2000名學(xué)生，請你估計全校參加A研學(xué)基地的學(xué)生人數(shù)；（3）甲同學(xué)從B，C，D三個基地中隨機選擇一個參加研學(xué)，乙同學(xué)從C，D兩個基地中隨機選擇一個參加研學(xué)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位同學(xué)選擇相同研學(xué)基地的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【分析】（1）先用參加E研學(xué)基地人數(shù)除以它所占的百分比得到參加研學(xué)的總?cè)藬?shù)，再計算出參加D研學(xué)基地人數(shù)，接著計算出參加A研學(xué)基地人數(shù)，則可補全條形統(tǒng)計圖，然后用360°乘以參加B研學(xué)基地人數(shù)所占的百分比得到參加B研學(xué)基地人數(shù)對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；（2）用樣本中參加A研學(xué)基地的學(xué)生人數(shù)所占的百分比乘以2000即可；（3）先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再找出兩位同學(xué)選擇相同研學(xué)基地的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【解答】解：（1）參加研學(xué)的總?cè)藬?shù)為20÷10%＝200（名），參加D研學(xué)基地人數(shù)為200×15%＝30（名），參加A研學(xué)基地人數(shù)為200﹣50﹣40﹣30﹣10＝60（名），條形統(tǒng)計圖補充為：參加B研學(xué)基地人數(shù)對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為360°×50故答案為：90°；（2）2000×60所以估計全校參加A研學(xué)基地的學(xué)生人數(shù)為600名；（3）畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，兩位同學(xué)選擇相同研學(xué)基地的結(jié)果數(shù)為2，所以兩位同學(xué)選擇相同研學(xué)基地的概率=2【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．18．（7分）開啟作角平分線的智慧之窗問題：作∠AOB的平分線OP作法：甲同學(xué)用尺規(guī)作出了角平分線；乙同學(xué)用圓規(guī)和直角三角板作出了角平分線；丙同學(xué)也用尺規(guī)作出了角平分線；工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上，即得OP為∠AOB的平分線；討論：大家對甲同學(xué)和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；對乙同學(xué)作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②全等三角形的對應(yīng)角相等對丙同學(xué)的作法陷入了沉思．任務(wù)：（1）請你將上述討論得出的依據(jù)補充完整；（2）完成對丙同學(xué)作法的驗證．已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求證：OP平分∠AOB．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；角平分線的定義；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）利用平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）解：大家對甲同學(xué)和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；對乙同學(xué)作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②全等三角形的對應(yīng)角相等．故答案為：SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；（2）證明：∵∠AED＝∠AOB，∴ED∥OB，∴∠EPO＝∠POB，∵EO＝EP，∴∠EOP＝∠EPO，∴∠AOP＝∠BOP，∴OP平分∠AOB．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．19．（8分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y=mx（m≠0）交于點A（2，2），點B（﹣4，（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）點P在x軸上，S△AOP＝3，求點P的坐標．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）先由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點B坐標，再由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)12【解答】解：（1）∵雙曲線y=mx(m≠0)經(jīng)過點A（2，2），B∴m＝2×2＝4＝﹣4a，∴a＝﹣1，∴B（﹣4，﹣1），反比例函數(shù)解析式為：y=4∵直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點A（2，2），點B（﹣4，﹣1），∴?4k+b=?12k+b=2解得：k=1∴一次函數(shù)解析式為：y=1（2）∵點P在x軸上，S△AOP＝3，∴12∴12∴OP＝3，∴點P的坐標為（3，0）或（﹣3，0）．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識點，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2025?淮北校級自主招生）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾，已知無人機懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測得無人機的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達B處，測得無人機的仰角為45°，求無人機離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BD＝x米，則AD＝（x+30）米，然后分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BD＝x米，∵AB＝x米，∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD?tan30°=33（在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD?tan45°＝x（米），∴x=33（解得：x＝153+∴CD＝（153+∴無人機離湖面的高度為（153+【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21．（9分）歸納與應(yīng)用歸納是學(xué)好數(shù)學(xué)的敲門磚，尤其對幾何而言．例如，我們看到圖1是平行四邊形，就會聯(lián)想到：從邊的角度，平行四邊形對邊平行且相等；從角的角度，平行四邊形對角相等，鄰角互補；從對角線的角度，平行四邊形對角線互相平分；從對稱性的角度，平行四邊形是中心對稱圖形．通過如此歸納形成知識體系的學(xué)習(xí)方法，成為我們解決相關(guān)問題的金鑰匙．（1）嘗試歸納：請你根據(jù)圖2，寫出3條直角三角形的性質(zhì)．①a2+b2＝c2；②∠A+∠B＝90°；③sinA=ac，cosA=bc，tan（2）實踐應(yīng)用：小明同學(xué)在思考直角三角形的性質(zhì)時，作出如圖3，∠ABC＝90°，點D是AC的中點，BE∥AC，AE∥BD，試幫他判斷四邊形ADBE的形狀，并證明你的結(jié)論．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①a2+b2＝c2，②∠A+∠B＝90°；③sinA=ac，cosA=bc故答案為：a2+b2＝c2；∠A+∠B＝90°；sinA=ac，cosA=bc（2）四邊形ADBE是菱形，證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，點D是AC的中點，∴BD＝AD=12∴四邊形ADBE是菱形．【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．22．（8分）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是（60+10x）件；（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)原來每天售出的60件，再加上多售出的件數(shù)即可得到答案；（2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量＝銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解；（3）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量＝銷售利潤即可列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是（60+10x）件，故答案為：（60+10x）；（2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)題意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，整理可得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，由于要讓利于游客，x＝1舍去，∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元；（3）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）＝（10﹣x）（60+10x）＝﹣10x2+40x+600＝﹣10（x﹣2）2+640，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝2時，W取最大值為640元，此時銷售價為38元，答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程與函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．（8分）如圖．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切線，PA＝PB，點C，D，E分別是線段AB，AP，BP上的動點．連接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α．（1）試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，試求4AD+BE與⊙O半徑r的數(shù)量關(guān)系．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）連接OA，OB，則∠BAO＝∠ABO，根據(jù)PA＝PB，可得∠PAB＝∠PBA，根據(jù)PA是⊙O的切線，可得∠PAO＝90°，進而得出∠PBO＝90°，即可得證；（2）根據(jù)已知條件，根據(jù)一線三等角證明△ADC﹣△BCE得出相似比為1：2，進而得出4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，過點O作OF⊥AB于點F，則AF=12AB，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得AF【解答】解：（1）PB是⊙O的切線，理由如下：如圖，連接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝90°，∴∠PBO＝∠ABO+∠PBA＝90°，又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線；（2）∵∠P＝60°，PA＝PB，∴△ABP是等邊三角形，∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°，∵∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣∠DCE＝120°，∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠PAB＝120°，∴∠ADC＝∠BCE，∴△ADC∽△BCE，∴ADBC∵CDCE∴AD=12BC，∴4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB，如圖，連接OA，OB，過點O作OF⊥AB于點F，則AF=1∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°，∴∠OAF＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∴在Rt△AOF中，AO＝r，OF=1∴AF=A∴AB=2AF=2×3∴4AD+BE=23【點評】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24．（10分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，B的坐標為（3，0），C的坐標為（0，3），頂點為M．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC，過第四象限內(nèi)拋物線上一點作BC的平行線．交x軸于點E，交y軸于點F．①連接AF，當(dāng)∠AFE＝90°時，求Rt△AFE內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比值；②連接CA，CE，當(dāng)點F在△AEC的內(nèi)角平分線上，BC上的動點P滿足MP+22BP的值最小時，求△【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出點A的坐標，進而可判斷△OBC，△AEF是等腰直角三角形，然后根據(jù)△AEF的外接圓直徑是AE＝2，可得其外接圓的半徑R＝1，再利用等積法求出r，即可解決問題；②先求得拋物線的頂點M的坐標和對稱軸與x軸的交點T的坐標，作PQ⊥x軸于點P，可得PQ=22BP，繼而可得MP+22BP=MP+PQ，于是可得當(dāng)M、P、Q三點共線且MQ⊥x軸時，MP+22BP的值最小，此時Q、T重合，然后分點F在△ACE不同內(nèi)角平分線上共三種情況，外加當(dāng)點E【解答】解：（1）把B的坐標（3，0），C的坐標（0，3）代入拋物線的解析式，得?9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（2）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∵EF∥BC，∴∠FEA＝∠CBO＝45°，∴當(dāng)∠AFE＝90°時，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE，∴EO＝AO＝FO＝1，∴△AEF的外接圓直徑是AE＝2，∴則其外接圓的半徑R＝1，∵AE=EF=AE?sin45°=2∴12AF?r+1解得：r=2∴rR②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，拋物線的對稱軸是直線x＝1，頂點M的坐標是（1，4），∴直線x＝1與x軸的交點T的坐標是（1，0），作PQ⊥x軸于點P，則在直角三角形BPQ中，PQ=BP?sin45°=2∴MP+2∴當(dāng)M、P、Q三點共線且MQ⊥x軸時，MP+22BP的值最小，此時Q當(dāng)點F在△AEC的內(nèi)角∠ACE的平分線上即∠ACO＝∠ECO時，如圖，∵∠COA＝∠COE＝90°，CO＝CO，∴△ACO≌△ECO，∴AO＝EO＝1，∴E、T重合，∵B（3，0），C（0，3），∴直線BC的解析式是y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時，y＝2，∴點P的坐標是（1，2），∴BE＝PE＝2，∴S△BPE當(dāng)點F在△AEC的內(nèi)角∠CAE的平分線上時，如圖，作FK⊥AC于點K，則OF＝KF，設(shè)OF＝KF＝a，則CF＝3﹣a，∵sir∠AC