直角坐標(biāo)牛頓拉夫遜法潮流計算過程案例目錄TOC\o"1-3"\h\u29246直角坐標(biāo)牛頓拉夫遜法潮流計算過程案例 1194691.1牛頓-拉夫遜法原理 1118461.2直角坐標(biāo)牛頓拉夫遜法潮流計算 61.1牛頓-拉夫遜法原理現(xiàn)實中的電力能源系統(tǒng)的潮流技術(shù)主要使用的是牛頓拉夫遜法。由于功率方程是一個非線性的，就需要先求解此非線性方程，那么如何求解呢？牛頓拉夫遜法是求解非線性方程的常用方法，也是對電力系統(tǒng)中的潮流函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)求解和分析的有效方法。設(shè)一維非線性方程：(3-1)為滿足該方程的真解，是該方程的初始近似解，稱為初值。令，稱為修正量。已知一個初值，如果可以求出，那么就已經(jīng)可以得到這個初值方程的真解：(3-2）非線性方程可以表示為（3-3）將在處展開為泰勒級數(shù)： （3-4）當(dāng)選擇的初值極其接近于真解，且很小時，就可以通過忽略（3-4）式中的高次項，將這個方程簡化成： （3-5）稱式子（3-5）為修正方程，并由此得到：（3-6）式中—函數(shù)在處的一階導(dǎo)數(shù)。由于忽略了修正的高次項，此時求得的修正值，并不是真正的，因而可以得到的也并非是真解，而是逼近的，稱為一次近似解。。以作為一個新的初值代入一個修正方程，求的是一個新的修正量為：（3-7）可以得到更加逼近的，為二次近似解。不斷連續(xù)的重復(fù)上述步驟，至第次迭代時，求得時，有，從而即為一個非線性微分方程解。給定任意小數(shù)，稱為非線性方程的收斂標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)方程的近似修正量滿足：（3-8）或（3-9）也就是已滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)時，即可用近似解作為真解。如圖3-1a，對該方法做形象化的解釋，圖中的曲線是一個非線性函數(shù)，他與軸的交點便是方程的解。函數(shù)在點上的切線，牛頓拉夫遜法即是用切線逐漸向一個真實的解逼近的方法。圖3-1牛頓法的幾何解釋（a)初值選擇適當(dāng)收斂（b)初值選擇不當(dāng)不收斂牛頓拉夫遜法對于一個起始初始值的選取要求比較高，若選擇不正確，則無法直接獲得真實解，如圖3-1b所示。牛頓拉夫遜法的一個中心思想就是把非線性方程的解轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的線性修正方程，并進(jìn)行多次迭加替代的方程求解。下面將以牛頓拉夫遜法于多變量非線性方程組加以說明。設(shè)有非線性方程組：（3-10）多變量方程組的初始值分別為修正量分別為。則有（3-11）當(dāng)將上面的一個方程組按泰勒級數(shù)表示展開且忽略了高次項時應(yīng)寫成：（3-12）其中，為函數(shù)時的偏導(dǎo)數(shù)在初始值處的值。這是一組以修正量為變量的線性化了的方程組，稱為修正方程組。寫成矩陣形式：（3-13）解出修正量，用它們修正初始值，得到一次近似解：（3-14）將作為新的初始取值，代入另一個修正方程，并重復(fù)迭代計算，當(dāng)進(jìn)行到次時，修正方程為可表示為：（3-15）第次迭代求出解：（3-16）將修正方程簡寫成：（3-17）J稱為函數(shù)F的雅可比矩陣，為階。由修正量組成的列向量。依照收斂的標(biāo)準(zhǔn)，對第次迭代后的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查，看是否符合要求：或（3-18）如果符合該系統(tǒng)的要求，則停止迭代。否則，迭代到收斂為止。1.2直角坐標(biāo)牛頓拉夫遜法潮流計算牛頓拉夫遜法潮流計算的主要任務(wù)是建立和求解修正方程式。當(dāng)節(jié)點電壓以直角坐標(biāo)形式表示時：（3-19）PQ節(jié)點的注入功率方程為：（3-20）取給定的注入功率為，則可將上式改寫成：（3-21）其中，表示各個節(jié)點注入功率的不平衡量。個PQ節(jié)點共有個功率不平衡量方程，其中m為節(jié)點編號。對于PV節(jié)點，其節(jié)點有功功率的公式如下：（3-22)節(jié)點電壓模值求解公式如下：（3-23）(3-24)電力網(wǎng)絡(luò)共擁有個狀態(tài)變量，和同樣多的獨立方程，把修正方程展開來形成一個泰勒級數(shù)，并忽略高次項，如下公式所示，得出修正方程：式中：(3-25)計算i≠j時雅可比矩陣各元素：（3-27）2）計算i=j時雅可比矩陣各元素：雅可比矩陣具有以下一些特點：雅可比矩陣每次迭代的電壓都會發(fā)生變化，因為每次迭代都要校正。雅可比矩陣是不對稱矩陣。由式（3-31）可以看出，當(dāng)導(dǎo)納矩陣中的非對角元素為零時，雅可比矩陣中相對應(yīng)的元素也是零即稀疏矩陣。所以稀疏矩陣的求解可以使用和修正方程同樣的求解方式。因此牛頓拉夫遜法被廣泛使用。在進(jìn)行潮流計算過程中應(yīng)考慮到以下幾點約束條件，以保證最終所得結(jié)果符合實際電力網(wǎng)的運行情況。（1）功率約束條件電力能源設(shè)備對額定功率以及最小運行功率都是有限制的，對此對于運行中的電力設(shè)備所發(fā)出的功率必須保持在這一范圍內(nèi)。即： (3-29)如果點的無功功率沒有達(dá)到無功約束的條件，則將不再使用這類類型的節(jié)點，考慮改用節(jié)點。（2）電壓模值的約束條件為了確保系統(tǒng)的電能質(zhì)量，需要對每個節(jié)