江西省宜春市宜春中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.2．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1654．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.4 B.9C.23 D.645．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-16．若雙曲線的漸近線方程為，則實數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.7．設集合，，則（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列滿足，，令，若對于任意不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.9．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.10．設等差數(shù)列的前n項和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.3811．如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.12．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的左右焦點分別為，為橢圓上的一點，與橢圓交于.若△的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與切于，則橢圓的離心率為_______14．已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）15．已知等差數(shù)列滿足，請寫出一個符合條件的通項公式______16．在單位正方體中，點E為AD的中點，過點B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）已知正項數(shù)列的前項和滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點F在線段上運動.（1）若平面，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿足，求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值21．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.22．（10分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì).2、B【解析】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結(jié)果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當時，直線與線段有交點故選：B3、C【解析】確定數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C4、C【解析】直接按程序框圖運行即可求出結(jié)果.【詳解】初始化數(shù)值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C5、D【解析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.6、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D7、C【解析】根據(jù)集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補集的運算，可得，所以.故選：C.8、D【解析】根據(jù)遞推關系，利用裂項相消法，累加法求出，可得，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D9、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務，則不同的分配方案有種.故選：B10、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項公式得到公差d，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A11、A【解析】如圖：如圖，取小圓上一點，連接并延長交大圓于點，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點是小圓轉(zhuǎn)動一定角度后的圓心，且這個角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動，圓心轉(zhuǎn)過角后的位置為點，小圓上的點，恰好滾動到大圓上的也就是此時的小圓與大圓的切點．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點）恰好等于，則，而點與點其實是同一個點在不同時刻的位置，則可知點與點是同一個點在不同時刻的位置．由于的任意性，可知點的軌跡是大圓水平的這條直徑．類似的可知點的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.12、C【解析】求導后，由可解得結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用橢圓及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得、，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得的大小，在△中應用余弦定理得到a、c的齊次式，即可求離心率.【詳解】由題意知：由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：,由橢圓的性質(zhì),而,∴,∴由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：再由橢圓的性質(zhì),得：,由此，△為等邊三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，則,故答案為：.14、【解析】建立空間直角坐標系，求出異面直線與的方向向量，再求出兩向量的夾角，進而可得異面直線與所成角的大小【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標系：在長方體中，，，，，，，，，，異面直線與所成角的大小是故答案為：15、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫出數(shù)列的一個通項公式【詳解】因為是等差數(shù)列，且，所以，當公差為0時，；公差為1時，；…故答案為：3（答案為唯一）16、【解析】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進而可得為菱形，連接、，求出、的長，計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以的最小值為.18、（1）（2）【解析】小問1：利用通項公式與的關系即可求出；小問2：根據(jù)(1)可得，結(jié)合錯位相減法即可求出前n項和【小問1詳解】當時，，.當時，，…①，，…②①②得：，即：.，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，；【小問2詳解】由（1）可知，則，…①兩邊同乘得：，…②①②得：，.19、（1）F為BD的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）由為的中點，取的中點，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設二面角為，由求解.【小問1詳解】為的中點.如圖：取的中點，連接∵，分別為，的中點，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小問2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為三角形為等腰三角形，易求，則，，所以，，設平面的一個法向量為，則，即，解得設平面的一個法向量為，則，即，解得設二面角為，則，因為二面角為銳角，所以余弦值為.20、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉(zhuǎn)化為是解題的關鍵.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，可設，，求出，得到橢圓的方程，代入點的坐標，求出，即可得出結(jié)果.（2）設出點，的坐標，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出弦長，由點到直線的距離公式，三角形的面積公式及基本不等式可得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以設，，則，橢圓的方程為.代入點的坐標得，，所以橢圓的方程為.（2）設點，的坐標分別為，，由，得，即，，，，.，點到直線的距離，的面積，當且僅當