2026屆江蘇省南通市如東中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為92．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A. B.C. D.4．已知命題p：?x＞2，x2＞2x，命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，則下列命題是真命題的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q5．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺6．已知直線和直線互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.7．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.9．在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，，，則數(shù)列的公差為（）A. B.C.4 D.10．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形12．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間的子集為______14．已知等差數(shù)列滿足，公差，則當?shù)那皀項和最大時，___________15．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與的左、右支分別交于點、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.16．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列通項公式為：，其中．記為數(shù)列的前項和（1）求，；（2）數(shù)列的通項公式為，求的前項和18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍19．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點P到平面MND的距離20．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點A到左焦點F的距離為1，橢圓M上一點B位于第一象限，點B與點C關(guān)于原點對稱，直線CF與橢圓M的另一交點為D（1）求橢圓M的標準方程；（2）設(shè)直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值21．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?，?（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，請問在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在請求出的位置，不存在請說明理由.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C2、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A3、D【解析】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關(guān)鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式4、B【解析】取x＝4，得出命題p是假命題，由對數(shù)的運算得出命題q是假命題，再判斷選項.【詳解】命題p：?x＞2，x2＞2x，是假命題，例如取x＝4，則42＝24；命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命題，∵?x∈R，ln（x2+1）≥0.則下列命題是真命題的是.故選：B.5、B【解析】設(shè)影長依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)影長依次成等差數(shù)列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.6、D【解析】利用直線垂直系數(shù)之間的關(guān)系即可得出.【詳解】解：直線和直線互相垂直，則，解得：.故選：D.7、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.8、B【解析】依題意，由遞推到時，不等式左邊為，與時不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，假設(shè)時不等式成立，左邊，則當時，左邊，∴從到時，不等式的左邊增加了故選：B9、A【解析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A10、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長交與點，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因為S?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對角線就是球的直徑，，所以.故選：A.11、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.12、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，，，【解析】先寫出與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間，再寫出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，14、3【解析】根據(jù)公式求出前n項和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因為等差數(shù)列，，所以，當時，取到最大值.故答案為：3.15、【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點、，因為原點為、的中點，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.16、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當時，；當時，；當時，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.18、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.19、（1）見解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點到平面的距離公式加以計算即可得到點到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設(shè)，，是平面的一個法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個法向量，同理可得，1，是平面的一個法向量，，，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一個法向量，，2，，得，點到平面的距離20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進行求解即可；（2）設(shè)出直線CF的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設(shè)，，則，CF：聯(lián)立∴，∴【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見解析（2）存在，點E為線段中點【解析】(1)通過作輔助線結(jié)合面面垂直的性質(zhì)證明側(cè)面，從而證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標,再求相關(guān)的向量坐標，求平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接交于點，因，則由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让?，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，則底面ABC，所以.又，從而側(cè)面，又側(cè)面，故.【小問2詳解】由(1).平面，則直線與平面所成的角,所以，又，所以假設(shè)在線段上是否存在一點E，使得二面角的大小為,由是直三棱柱，所以以點A為原點，以AC、所在直線分別為x，z軸,以過A點和AC垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，且設(shè)，，得所以，設(shè)平面的一個法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一個法向量,所以，解得,∴點E為線段中點時，二面角的大小為.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設(shè)，聯(lián)立直線