2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)考試試卷及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.42.某樣本數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為-0.8，峰度系數(shù)為3.5，說明該數(shù)據(jù)分布（）A.左偏，尖峰B.右偏，尖峰C.左偏，平峰D.右偏，平峰3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若原假設(shè)為H?:μ=μ?，備擇假設(shè)為H?:μ≠μ?，當(dāng)樣本量固定時(shí)，增大顯著性水平α?xí)?dǎo)致（）A.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率增大B.第一類錯(cuò)誤概率增大，第二類錯(cuò)誤概率減小C.兩類錯(cuò)誤概率均減小D.兩類錯(cuò)誤概率均增大4.對(duì)于一元線性回歸模型y=β?+β?x+ε，若殘差的樣本方差為s2=4，回歸平方和SSR=120，總樣本量n=20，則回歸模型的F統(tǒng)計(jì)量為（）A.15B.30C.45D.605.若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則以下結(jié)論一定成立的是（）A.X和Y獨(dú)立B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.E(XY)=E(X)E(Y)D.相關(guān)系數(shù)ρ=06.某時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）在滯后1階顯著不為0，滯后2階及以上接近0，偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在滯后1階顯著不為0，滯后2階及以上接近0，該序列最可能服從（）A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.AR(2)7.采用簡單隨機(jī)抽樣從N=1000的總體中抽取n=50的樣本，樣本均值為30，樣本方差s2=100，則總體均值的95%置信區(qū)間為（）（Z?.???=1.96）A.[27.24,32.76]B.[28.62,31.38]C.[29.12,30.88]D.[29.56,30.44]8.在列聯(lián)表的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若自由度為6，則列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)可能為（）A.2行4列B.3行3列C.4行2列D.5行2列9.某組數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（十位為莖，個(gè)位為葉）：莖：2|3|4|5葉：135|0247|168|39則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.37B.39C.41D.4310.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，Y=2X-3，則Y服從（）A.N(2μ-3,2σ2)B.N(2μ-3,4σ2)C.N(μ-3,4σ2)D.N(μ-3,2σ2)二、填空題（每題3分，共15分）11.已知事件A和B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(A|B)=______。12.樣本數(shù)據(jù)12,15,18,20,22的平均絕對(duì)偏差（MAD）為______。13.設(shè)X?,X?,…,X?為來自總體N(μ,σ2)的簡單隨機(jī)樣本，X?為樣本均值，S2為樣本方差，則統(tǒng)計(jì)量T=(X?-μ)/(S/√n)服從______分布，自由度為______。14.在多元線性回歸中，若加入一個(gè)無關(guān)解釋變量，調(diào)整的決定系數(shù)R?2會(huì)______（填“增大”“減小”或“不變”）。15.某產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，已知平均壽命為500小時(shí)，則該產(chǎn)品壽命超過1000小時(shí)的概率為______（e≈2.718）。三、簡答題（每題8分，共24分）16.簡述中心極限定理的核心內(nèi)容及其在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用。17.解釋假設(shè)檢驗(yàn)中“p值”的含義，并說明如何根據(jù)p值進(jìn)行決策。18.比較參數(shù)檢驗(yàn)與非參數(shù)檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)，舉例說明非參數(shù)檢驗(yàn)的適用場景。四、計(jì)算分析題（每題12分，共36分）19.某公司為評(píng)估新產(chǎn)品的市場接受度，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，其中120人表示“愿意購買”。（1）計(jì)算“愿意購買”比例的樣本均值和樣本方差；（2）構(gòu)造總體比例的95%置信區(qū)間（Z?.???=1.96）；（3）若希望置信區(qū)間寬度不超過0.06，在95%置信水平下至少需要調(diào)查多少消費(fèi)者？20.某地區(qū)2015-2024年的GDP數(shù)據(jù)（單位：億元）如下：年份：2015201620172018201920202021202220232024GDP：120135150168185200220240265290（1）計(jì)算該時(shí)間序列的逐期增長量和環(huán)比發(fā)展速度；（2）用最小二乘法擬合線性趨勢方程??=a+bt（t=1對(duì)應(yīng)2015年）；（3）預(yù)測2025年該地區(qū)的GDP（保留1位小數(shù)）。21.為研究居民收入（x，萬元）對(duì)消費(fèi)支出（y，萬元）的影響，收集了10戶家庭的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得：∑x=50，∑y=30，∑x2=300，∑y2=100，∑xy=180（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并判斷相關(guān)程度；（2）建立一元線性回歸方程?=β?+β?x；（3）解釋回歸系數(shù)β?的實(shí)際意義；（4）若某家庭收入為8萬元，預(yù)測其消費(fèi)支出（保留2位小數(shù)）。五、綜合應(yīng)用題（25分）22.某電商平臺(tái)為分析用戶復(fù)購行為，收集了1000名用戶的以下數(shù)據(jù)：-年齡（x?，歲）-月均消費(fèi)金額（x?，元）-首次購買到復(fù)購的時(shí)間間隔（y，天）部分統(tǒng)計(jì)量如下：樣本均值：x??=28，x??=850，?=45樣本協(xié)方差矩陣：[Var(x?)=25,Cov(x?,x?)=30,Cov(x?,y)=-15][Cov(x?,x?)=30,Var(x?)=10000,Cov(x?,y)=-200][Cov(y,x?)=-15,Cov(y,x?)=-200,Var(y)=400]（1）計(jì)算年齡與月均消費(fèi)金額的相關(guān)系數(shù)；（2）計(jì)算月均消費(fèi)金額對(duì)復(fù)購時(shí)間間隔的簡單相關(guān)系數(shù)，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）建立復(fù)購時(shí)間間隔關(guān)于年齡和月均消費(fèi)金額的多元線性回歸方程?=β?+β?x?+β?x?；（4）若某用戶年齡30歲，月均消費(fèi)1000元，預(yù)測其復(fù)購時(shí)間間隔；（5）分析回歸系數(shù)的符號(hào)是否符合實(shí)際意義（需結(jié)合變量定義說明）。答案一、單項(xiàng)選擇題1-5：CABBD6-10：ADBCB二、填空題11.0.612.3.613.t；n-114.減小15.e?2≈0.135三、簡答題16.核心內(nèi)容：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，其均值的分布近似服從正態(tài)分布，無論原總體分布如何。作用：為大樣本下的參數(shù)估計(jì)（如置信區(qū)間）和假設(shè)檢驗(yàn)（如Z檢驗(yàn)）提供了理論依據(jù)，使非正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)推斷成為可能。17.p值是在原假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)當(dāng)前樣本統(tǒng)計(jì)量或更極端情況的概率。決策規(guī)則：若p值≤顯著性水平α（如0.05），則拒絕原假設(shè)；若p值>α，則不拒絕原假設(shè)。p值越小，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)。18.參數(shù)檢驗(yàn)優(yōu)點(diǎn)：檢驗(yàn)效能高（易發(fā)現(xiàn)差異），可推斷總體參數(shù)；缺點(diǎn)：依賴總體分布假設(shè)（如正態(tài)性）。非參數(shù)檢驗(yàn)優(yōu)點(diǎn)：不依賴總體分布，適用于定性數(shù)據(jù)或分布未知的情況；缺點(diǎn)：檢驗(yàn)效能較低（可能漏掉真實(shí)差異）。適用場景：如比較兩組患者的療效等級(jí)（有序分類數(shù)據(jù)），或檢驗(yàn)?zāi)匙兞渴欠穹奶囟ǚ植迹ㄈ缈ǚ綌M合優(yōu)度檢驗(yàn)）。四、計(jì)算分析題19.（1）樣本比例p?=120/200=0.6；樣本方差s2=p?(1-p?)=0.6×0.4=0.24。（2）置信區(qū)間：p?±Z√[p?(1-p?)/n]=0.6±1.96×√(0.24/200)=0.6±0.068，即[0.532,0.668]。（3）寬度=2×Z√[p?(1-p?)/n]≤0.06→n≥(2×1.96/0.06)2×0.24≈1024（取整）。20.（1）逐期增長量（后-前）：15,15,18,17,15,20,20,25,25；環(huán)比發(fā)展速度（后/前×100%）：112.5%,111.1%,112.0%,109.0%,108.1%,110.0%,109.1%,110.4%,111.3%。（2）t=1~10，∑t=55，∑t2=385，∑y=120+135+…+290=2073，∑ty=1×120+2×135+…+10×290=14645。b=(n∑ty-∑t∑y)/(n∑t2-(∑t)2)=(10×14645-55×2073)/(10×385-552)=(146450-113915)/(3850-3025)=32535/825≈39.44a=?-bt?=2073/10-39.44×5.5=207.3-216.92≈-9.62趨勢方程：??=-9.62+39.44t。（3）2025年t=11，預(yù)測值=-9.62+39.44×11≈424.2（億元）。21.（1）r=(n∑xy-∑x∑y)/√[(n∑x2-(∑x)2)(n∑y2-(∑y)2)]=(10×180-50×30)/√[(10×300-2500)(10×100-900)]=(1800-1500)/√[(500)(100)]=300/√50000≈300/223.61≈0.984，高度正相關(guān)。（2）β?=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x2-(∑x)2)=300/500=0.6；β?=?-β?x?=3-0.6×5=0；回歸方程：?=0+0.6x。（3）β?=0.6表示收入每增加1萬元，消費(fèi)支出平均增加0.6萬元。（4）x=8時(shí)，?=0.6×8=4.80（萬元）。五、綜合應(yīng)用題22.（1）r(x?,x?)=Cov(x?,x?)/(√Var(x?)√Var(x?))=30/(5×100)=0.6。（2）r(x?,y)=Cov(x?,y)/(√Var(x?)√Var(y))=-200/(100×20)=-1.0，說明月均消費(fèi)金額與復(fù)購時(shí)間間隔完全負(fù)相關(guān)（消費(fèi)越高，復(fù)購越快）。（3）設(shè)回歸方程為?=β?+β?x?+β?x?，根據(jù)正規(guī)方程組：∑y=nβ?+β?∑x?+β?∑x?∑x?y=β?∑x?+β?∑x?2+β?∑x?x?∑x?y=β?∑x?+β?∑x?x?+β?∑x?2由樣本均值得∑y=1000×45=45000，∑x?=1000×28=28000，∑x?=1000×850=850000；∑x?2=n[Var(x?)+x??2]=1000×(25+282)=1000×809=809000；∑x?x?=n[Cov(x?,x?)+x??x??]=1000×(30+28×850)=1000×23830=23830000；∑x?2=n[Var(x?)+x??2]=1000×(10000+8502)=1000×732500=732500000；∑x?y=n[Cov(x?,y)+x???]=1000×(-15+28×45)=1000×1245=1245000；∑x?y=n[Cov(x?,y)+x???]=1000×(-200+850×45)=1000×38050=38050000；代入正規(guī)方程：45000=1000β?+28000β?+850000β?→45=β?+28β?+850β?1245000=28000β?+809000β?+23830000β?→1245=28β?+809β?+23830β?38050000=850000β?+23830000β?+732500000β?→38050=850β?+23830β?+