專題10.5古典概型、概率的基本性質(zhì)（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1古典概型】 3【題型2有放回與無放回問題的概率】 3【題型3根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)】 4【題型4幾何概型】 5【題型5概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】 6【題型6古典概型與統(tǒng)計綜合】 6【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】 8【題型8古典概型與其他知識的交匯問題】 101、古典概型、概率的基本性質(zhì)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率(2)了解概率的基本性質(zhì)，能計算簡單隨機事件的概率2023年全國乙卷（文數(shù)）：第9題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第4題，5分2024年新高考I卷：第14題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第4題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第16題，5分2025年上海卷：第17題（2），4分古典概型、概率的基本性質(zhì)是概率的基礎(chǔ)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的熱點內(nèi)容，主要考查古典概型及其計算、概率的基本性質(zhì)等，主要以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；在解答題中出現(xiàn)時，往往古典概型會與統(tǒng)計等知識結(jié)合考查，作為解答題中的一小問考查，難度中等，復(fù)習(xí)時需要加強這方面的練習(xí)，學(xué)會靈活求解.知識點1古典概型及其解題策略1．古典概型(1)事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定義我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所有的試驗都是古典概型.下列三類試驗都不是古典概型：①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能；②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.2．古典概型的概率計算公式3．求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：再求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識進(jìn)行求解.4．古典概型與統(tǒng)計結(jié)合有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.知識點2概率的基本性質(zhì)1．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.性質(zhì)3性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1P(A)，P(A)=1P(B).性質(zhì)5性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).2．復(fù)雜事件概率的求解策略(1)對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和.(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，常?？紤]其對立事件，通過求其對立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.【方法技巧與總結(jié)】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B=?，即A,B互斥時，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此時P(A∩B)=0.【題型1古典概型】【例1】（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）某校高三年級編制的數(shù)學(xué)模擬卷，其多項選擇題中的四個選項A、B、C、D中至少有兩個選項正確，規(guī)定：只要選擇了錯誤項一律得0分，部分選對的得2分，若某題的正確答案是A，C，D，某考生隨機選了兩個選項，則其得分的概率為（

）A．34 B．310 C．16【變式11】（2025·山東臨沂·三模）蘇軾，字子瞻，號鐵冠道人、東坡居士.北宋文學(xué)家，書法家、畫家，歷史治水名人.與父蘇洵、弟蘇轍三人并稱“三蘇”.為了紀(jì)念蘇軾在文學(xué)方面的偉大成就，某中學(xué)開展“蘇軾文化競賽”活動，最終參加決賽共有7位同學(xué)，參加決賽的同學(xué)都有獎，決賽設(shè)置一、二、三等獎.若要求獲得一等獎的人數(shù)不少于1人，獲得二等獎的人數(shù)不少于2人，獲得三等獎的人數(shù)不少于3人，則恰有2人獲得二等獎的概率為（

）A．613 B．313 C．413【變式12】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）某校派高一、高二、高三每個年級各2名學(xué)生參加某項技能大賽，比賽要求每2名學(xué)生組成一個小組，則在這6名學(xué)生組成的小組中，只有一個小組的2名學(xué)生來自同一年級的概率為（

）A．215 B．13 C．25【變式13】（2025·江西·模擬預(yù)測）老師從7篇不同的詩歌中隨機抽3篇讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少能背出其中2篇才算及格，甲同學(xué)只能背誦其中的3篇，則他能及格的概率為（

）A．1335 B．1235 C．1370【題型2有放回與無放回問題的概率】【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個白球.從袋中不放回地依次隨機取出2個球，則這2個球顏色相同的概率為（

）A．1325 B．1225 C．35【變式21】（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測）從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次，每次取一張，則抽到的3張卡片上的數(shù)字之和大于9的概率為（

）A．332 B．764 C．532【變式22】（2025·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A．310 B．13 C．35【變式23】（2025·河南·模擬預(yù)測）袋子中裝有5個形狀和大小相同的球，其中3個標(biāo)有字母a,2個標(biāo)有字母b.甲先從袋中隨機摸一個球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機摸一個球，若甲?乙兩人摸到標(biāo)有字母a的球的概率分別為p1,pA．p1=pC．p1=3p【題型3根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)】【例3】（2425高一下·山西·期末）一個口袋中裝有20個紅球和若干個黑球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黑球的個數(shù)，小張采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻.不斷重復(fù)上述過程900次，共摸出紅球400次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中黑球的個數(shù)為（

）A．25 B．30 C．35 D．40【變式31】（2025·上海徐匯·一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（

）A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【變式32】（2425高二上·廣東佛山·期末）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，n個綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為13，則n的值為（

A．4 B．5 C．12 D．15【變式33】（2425高一下·江蘇南京·期末）一個口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過程200次，共摸出紅球80次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（

）個．A．10 B．15 C．25 D．40【題型4幾何概型】【例4】（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測）七巧板被譽為“東方魔板”，是我國古代勞動人民的偉大發(fā)明之一，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若向此正方形內(nèi)丟一粒小種子，則種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為（

）

A．18 B．38 C．516【變式41】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，圓O是正三角形ABC的內(nèi)切圓，則在△ABC內(nèi)任取一點，該點取自陰影部分的概率為（

）A．3π9?14 B．3π【變式42】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）將長度為1的線段隨機剪成兩段，則兩段長度都不小于13的概率是（

A．16 B．14 C．13【變式43】（2025·四川南充·三模）如圖，圓O內(nèi)接一個圓心角為60°的扇形ABC，在圓O內(nèi)任取一點，則該點落在扇形ABC內(nèi)的概率為（

）A．14 B．34 C．12【題型5概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】【例5】（2425高二下·上?！て谥校┮阎录嗀與事件B相互獨立，且PA=0.3,?PBA．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7【變式51】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）隨機事件A發(fā)生的概率為45，隨機事件B發(fā)生的概率為23，則事件A，B同時發(fā)生的概率的取值范圍是（A．815,23 B．715,【變式52】（2425高一下·陜西西安·期末）已知隨機事件A，B滿足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=5A．116 B．18 C．316【變式53】（2425高三上·上?！ら_學(xué)考試）事件A與B獨立，A、B分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是（

）A．P(A∪B)=P(A)P(B) B．P(A∪B)=P(A)+P(B)C．PAB=P(A)P【題型6古典概型與統(tǒng)計綜合】【例6】（2425高一下·北京·期中）某研究機構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度，隨機選取了200名年齡在[20,45]內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.(1)求選取的市民年齡在[40,45]內(nèi)的人數(shù)；(2)利用頻率分布直方圖，估計200名市民的年齡的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；(3)若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言，求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在[35,40)內(nèi)的概率.【變式61】（2025·北京東城·二模）已知近10年北京市12月和1月歷史氣溫分別如下圖所示.(1)從2016年至2024年這9年中隨機抽取一年，求該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率；(2)將當(dāng)年12月和次年1月作為當(dāng)年的冬季周期，記當(dāng)年12月平均高溫與平均低溫的差值為a（單位：攝氏度），次年1月平均高溫與平均低溫的差值為b（單位：攝氏度）.從2015年至2024年這10個冬季周期中隨機抽取3個，求至少有2個冬季周期中a=b的概率；(3)依據(jù)圖2中信息，能否預(yù)測北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度?請說明理由.【變式62】（2025·上海楊浦·一模）為加強學(xué)生睡眠監(jiān)測督導(dǎo)，學(xué)校對高中三個年級學(xué)生的日均睡眠時間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機抽樣法，學(xué)校在高一?高二和高三年級中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級一共512人.(1)學(xué)校高中三個年級一共有多少個學(xué)生？(2)若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中x<10,n是正整數(shù)）日均睡眠時間（小時）x8.599.510學(xué)生數(shù)量n3213114求該樣本的第40百分位數(shù).(3)從這100名學(xué)生的樣本中隨機抽取三個學(xué)生的日均睡眠時間，求其中至少有1個數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率.【變式63】（2025·上?！ひ荒＃┠承酒S生產(chǎn)甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測，獲得該項指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計乙型芯片該項指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)已知甲型芯片指標(biāo)在80,100為航天級芯片，乙型芯片指標(biāo)在60,70為航天為航天級芯片．現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在70,90內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在50,70內(nèi)取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】【例7】（2025·江西·一模）從1，2，……，10中取三個不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等差數(shù)列的概率為（

）A．13 B．112 C．14【變式71】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）從?2，?1，1，2，3，4，5，6這8個數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)可以構(gòu)成等差或等比數(shù)列的概率是（

）A．956 B．528 C．1156【變式72】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）對n∈N，通過拋擲一枚均勻硬幣n次后生成有序數(shù)對an,bn，具體生成規(guī)則如下：①規(guī)定a0,b0=0,0；②當(dāng)?shù)趎n≥1次拋擲硬幣時：如果出現(xiàn)硬幣正面朝上，若an?1<bn?1，則a(1)寫出a2,b2的所有可能結(jié)果，并求(2)證明：數(shù)列Pn?1(3)設(shè)Fn=e【變式73】（2025·山東泰安·二模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，n∈N?，記ai為第i(1)求a1(2)若前m次點數(shù)之和為7的概率為Pm,m=2,3,?,7，且m=27Pm=（ⅰ）求b的值；（ⅱ）已知正項數(shù)列cn的前n項和為Sn,【題型8古典概型與其他知識的交匯問題】【例8】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）從正方體ABCD?A1BA．12 B．14 C．13【變式81】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知3x+3A．89 B．79 C．23【變式82】（2025·浙江寧波·三模）在1，2，3，…，7這7個自然數(shù)中，任取3個數(shù).(1)求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；(2)設(shè)X為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時X的值是2）.求隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX【變式83】（2025·湖南·三模）某學(xué)校為調(diào)查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學(xué)生作為樣本進(jìn)行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示：等級不及格及格良優(yōu)分?jǐn)?shù)1234人數(shù)3953(1)若從樣本中隨機選取2位學(xué)生，求所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率；(2)用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學(xué)生中隨機抽取n位學(xué)生，記所選學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤鬾=3，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若n=20，當(dāng)k為何值時，PX=k一、單選題1．（2425高一下·廣東深圳·期末）已知兩個隨機事件A和B，其中PA=12，PB=3A．14 B．13 C．122．（2025·吉林白城·模擬預(yù)測）6個數(shù)字1，2，2，2，3，5排成一排構(gòu)成一個六位數(shù)，則這個六位數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A．12 B．23 C．4153．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組為了了解我國古代的數(shù)學(xué)成就，先后去圖書館借閱了5本古代數(shù)學(xué)名著：《周髀算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《海島算經(jīng)》?《孫子算經(jīng)》和《張丘建算經(jīng)》，該小組每次隨機借閱一本名著，且歸還后再隨機借閱下一本（已借閱的不會重復(fù)借閱）．則最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》的概率為（

）A．115 B．9125 C．181254．（2425高二上·浙江杭州·期中）設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，記A,B為事件A,B的對立事件，且P(A)=25,P(B)=A．1115 B．815 C．14155．（2025·陜西銅川·三模）如圖是一個射擊靶的示意圖，其中每個圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒有脫靶，則其命中9環(huán)的概率為（

）A．316 B．116 C．186．（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知集合A=x∈Nx2?5x<0，從集合A的非空子集中任取兩個集合BA．57 B．1021 C．5217．（2025·山東·模擬預(yù)測）在4個人中選若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班兩天，其中甲恰有一天值班的概率為（

）A．14 B．12 C．7128．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）一個盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽，隨機地選取兩張標(biāo)簽并求標(biāo)簽上的數(shù)字之和．記不放回地選取且和為6的概率為P1，有放回地選取且和為6的概率為P2，則P1A．2 B．1 C．23 D．二、多選題9．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）粉筆盒中只裝了白紅黃藍(lán)綠5支不同顏色的粉筆，老師上課時隨機使用了3支，下列結(jié)論中正確的是（

）A．事件“白色與紅色粉筆都用到”與“白色與紅色粉筆至少1支用到”為互斥事件B．事件“白色與紅色粉筆都用到”與“白色與紅色粉筆至多1支用到”為對立事件C．白色與紅色粉筆都用到的概率為2D．白色與紅色粉筆至少1支用到的概率為910．（2025·甘肅白銀·三模）定義：對一個三位數(shù)來說，如果其十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都小，則稱它為“三位凹數(shù)”，如果其十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱其為“三位凸數(shù)”，現(xiàn)從1至9共9個數(shù)中，選取3個不同的數(shù)排成三位數(shù)M，則（

）A．排成的“三位凹數(shù)”共有168個B．排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等C．從所有的M中隨機抽取一個三位數(shù)，該三位數(shù)是“三位凸數(shù)”的概率為1D．從所有的M中隨機抽取兩個三位數(shù)，至少有一個是“三位凹數(shù)”的概率為211．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測）高考來臨之際，某校食堂的午飯針對高三學(xué)生推出了多種營養(yǎng)套餐，其中10元套餐是從A、B、C、D、E五道菜中任選三道菜，甲、乙兩位同學(xué)午飯都選擇了此套餐，假設(shè)甲、乙兩人選擇每道菜品都是等可能的且兩人選擇菜品互不影響，則（

）A．甲選了A的概率為3B．甲選了A且乙不選B的概率為6C．甲乙兩人所選的菜品完全相同的概率為1D．甲乙兩人選的菜品恰有一個相同的概率為3三、填空題12．（2025·湖南·三模）甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲、乙命中目標(biāo)的概率分別為34，45，則目標(biāo)至少被擊中1次的概率為13．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）甲?乙兩人進(jìn)行擲骰子比賽，在每輪比賽中，兩人各自隨機投擲質(zhì)地均勻的骰子一次，規(guī)定點數(shù)大的得2分，點數(shù)小的得0分，點數(shù)相同時各得1分，三輪比賽結(jié)束后，甲得4分的概率為.14．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，某停車場有2行4列共8個停車位，現(xiàn)有2輛紅色汽車和2輛黑色汽車要停車，則相同顏色的車輛不停在同一行也不停在同一列的概率為.

四、解答題15．（2425高一下·山東臨沂·期末）猜燈謎是元宵節(jié)特色活動之一.甲、乙兩人獨立地參加了今年的元宵節(jié)猜燈謎活動，已知甲猜對的概率為35，乙猜對的概率為p，甲、乙都猜不對的概率為2(1)求p；(2)求甲、乙恰有一人猜對燈謎的概率.16．（2025·河北秦皇島·三模）某村為提高村民收益，種植了一批蘋果樹，現(xiàn)為了更好地銷售，