荊門市2026年高三年級元月考試數(shù)學試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁．全卷共150分，考試時間120分鐘．★祝考試順利★注意事項1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)的除法運算求得復數(shù)，即可寫出其在復平面內(nèi)對應的點坐標，得到答案.【詳解】，∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點坐標為，位于第三象限.故選：C.2.已知等差數(shù)列前n項和為，若，則（）A.9 B.5 C.1 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式與等差中項的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為等差數(shù)列前n項和為，，所以.故選：A.3.的展開式中，常數(shù)項為（）A.15 B.－15 C.20 D.－20【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項式定理寫出二項展開式通項，令的冪指數(shù)為零，再代入展開式通項即可求得常數(shù)項.【詳解】二項式定理展開式的通項為，常數(shù)項需滿足：，可得：，則常數(shù)項：.故選：A.4.“圓柱容球”是阿基米德最欣賞的幾何體．如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，球與圓柱的體積之比為，表面積之比為，則（）A.， B. C.， D.【答案】B【解析】【分析】設球的半徑為，分別求出球的體積與圓柱體積，以及球的表面積與圓柱的表面積，即可得解．【詳解】設球的半徑為，則球的體積為，圓柱的體積為，球表面積為，圓柱的表面積為，所以，，所以．故選：B.5.如圖，在空間四邊形中，分別為的中點，點分別在邊上且滿足，，則以下命題正確的個數(shù)為（）①四邊形梯形②③平面④若直線相交于點，則點必在直線上A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先證再證即可判斷①②，利用線面平行判斷定理即可判斷③，利用基本事實即可判斷④.【詳解】由分別為的中點，所以且，又點分別在邊上且滿足，，所以且，所以且，所以四邊形為梯形，故①正確；由，故②正確；由，平面，平面，所以平面，故③正確；若直線相交于點，所以平面，且平面，所以是平面與平面的公共點，又平面平面，所以，故④正確；故選：D.6.設函數(shù)，若，則滿足的關系式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別得到函數(shù)和在定義域上的零點，根據(jù)題意，結(jié)合圖象，列出關系式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為在定義域上單調(diào)增且零點為，在定義域上單調(diào)減且零點為，故與在定義域內(nèi)函數(shù)值正負相反且零點重合，如圖所示，則，所以．故選：C7.如圖，用M、、三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當M正常工作且、至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知M、、正常工作的概率依次是、、，則在系統(tǒng)正常工作的前提下，只有M和正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算系統(tǒng)正常工作的概率，再計算只有M和正常工作的概率，最后用條件概率公式.【詳解】設事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有M和正常工作，因為并聯(lián)元件，能正常工作的概率為，所以，又因為，所以．故選B．8.設雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的右支交于兩點，記與的內(nèi)切圓半徑分別為，若，則的離心率為（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設焦點，且內(nèi)心和的橫坐標分別為，過分別作、、的垂線，由雙曲線的定義，求得，得到和，再由直角三角形的性質(zhì)，得到，得到，得出，進而求得離心率.【詳解】設雙曲線的焦點分別為，其中，再設與的內(nèi)心和的橫坐標分別為，過分別作、、的垂線，垂足分別為，則，，，所以，且，則，，可得，同理可得，因此點和在直線上，又由平分，平分，因為，則，且，又因為，，，且，則，即，解得，所以雙曲線的離心率．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是人們購車時所要考慮的重要因素之一．某廠家生產(chǎn)的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能否正常使用相互獨立．每組電池的正常使用年限（單位：年），，，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.這兩組電池正常使用年限都不超過20年的概率為0.75【答案】AB【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)及正態(tài)曲線求解出的值和的值，利用公式及求解，由兩組電池能否正常使用相互獨立，利用獨立重復試驗求概率.【詳解】對于選項A，，，，，，，，故選項A正確；對于選項B，，故選項B正確；選項C，，，故選項C錯誤；選項D，，，，，兩組電池能否正常使用相互獨立，這兩組電池正常使用年限都不超過20年的概率為，故選項D錯誤.

故選：AB.10.關于函數(shù)，，以下結(jié)論正確的是（）A.有8個零點B.的最大值為1C.是軸對稱圖形D.函數(shù)，則的零點的個數(shù)可能為0，1，2，4，6【答案】BCD【解析】【分析】令，計算即可判斷A；，可判斷B；由計算可判斷C；作出圖象，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】對于A，令，即，得或，即，，，，，，共6個，故A錯誤；對于B，因為當時，，，所以，當且僅當，即時等號成立，故B正確；對于C，因為，所以函數(shù)關于對稱，故C正確；對于D，由C可知，函數(shù)關于對稱，故只討論的單調(diào)性和極值，結(jié)合對稱性可作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，因為，所以，求導可得，則，因為，當且僅當或時等號成立，令，則，當時，或，當時，，因為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上，先增后減然后再增，當時，，時，，時，，結(jié)合ABC選項作出函數(shù)圖象如下：令，得，函數(shù)的零點可以看作函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)，結(jié)合圖象可知：函數(shù)的零點的個數(shù)可能為0，1，2，4，6，故D正確.故選：BCD11.如圖，已知等腰梯形中，，，點，分別為線段，上的動點且，點、為線段、的中點，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C.若為的外心，則 D.【答案】ABC【解析】【分析】解法一（代數(shù)法）：根據(jù)向量線性運算計算可判斷A；建立平面直角坐標系，由題意設出，，根據(jù)向量夾角計算公式計算即可判斷B；設，得平行四邊形PMEN為菱形，即點E為的外心，計算可判斷C；結(jié)合C計算可判斷D.解法二（幾何法）：根據(jù)向量線性運算計算可判斷A；由幾何關系可得，進而可得，計算可判斷B；作的平分線交DC于E，由幾何關系可得四邊形PMEN為菱形，可判斷C；由可判斷D.【詳解】解法一（代數(shù)法）：點，為線段，的中點，，，兩式相加得：，故A正確；以為原點，所在直線為軸，過點作垂直的直線為軸建立如圖所示平面直角坐標系：則，，所以，，所以，故B正確；設，則，即點坐標為，因為，，所以，，所以平行四邊形為菱形，所以，所以點為的外心，即點與重合，此時，，即點在直線上，所以，故C正確．，則，當且僅當時等號成立，故D錯誤；解法二（幾何法）：點，為線段，的中點，，，兩式相加得：，故A正確；因為，點為線段的中點，且，所以，故四邊形，為平行四邊形，所以，故是等邊三角形，則，，所以，故，故，故，故B正確；作的平分線交于，因為，所以，由，，故，，，四點共圓，故，故為正三角形，所以四邊形為菱形，故即為的外心，即與重合，故，故C正確；，故D錯誤．故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過橢圓的右焦點的直線交橢圓于、兩點，是橢圓的左焦點，則的周長為______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義計算即可求解.【詳解】由題意知，，如圖，由橢圓的定義知，，所以的周長為.故答案為：813.圓被直線所截得的最短弦長為______．【答案】【解析】【分析】求解直線經(jīng)過的定點，即可根據(jù)垂直求解最短弦長.【詳解】直線l的方程可化為，聯(lián)立解得．所以直線恒過定點．當直線時，直線被圓截得的弦長最短，C到直線l的距離為，所以最短弦長是．故答案為：14.已知函數(shù)，若恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】對進行討論，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，進而得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值即可得解.【詳解】由可得，當時，此時恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，，不滿足，故不合題意；當時，此時；當時，令得，故在單調(diào)遞增，令得，故在單調(diào)遞減，要使恒成立，則，故，所以，記，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，故的最大值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角三角形ABC所對的邊分別為a、b、c，．（1）求A；（2）若，H為的垂心，求的面積S的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡等式，然后三角形三個內(nèi)角和的關系及正弦的和差角公式化簡等式，即可求得；（2）由垂心的性質(zhì)得，設，，在中由余弦定理得到等式，由基本不等式求得的最大值，然后由三角形面積公式求得面積的最大值.【小問1詳解】由得，又故，又，故又，故，【小問2詳解】由垂心的性質(zhì)得：，設，，在中，，即，∴（當且僅當時等號成立）∴16.如圖，在三棱錐中，，，，分別為的中點．（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成的角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題設易得，，可得平面，進而求證即可；（2）結(jié)合長度關系易證得平面，進而建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：分別為中點，，又，，分別為中點，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面．【小問2詳解】在中，由，，則，又，，，即，又，，平面，平面，以為原點，分別以所在直線為軸，以平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，則，，，設是平面的一個法向量，則有，令，得，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角為.17.已知函數(shù)，、為大于0的常數(shù)，．（1）求在的極小值點；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出，令，求出值，分析兩邊單調(diào)性確定極值點.（2）根據(jù)（1）中結(jié)論得到，進一步化簡整理即可得證.【小問1詳解】，，令，則，解得.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在存在唯一的極小值點．【小問2詳解】因為，，所以，由（1）得：，故，即，即，即，故．18.現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時正面朝上的概率為．甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲．（1）甲將游戲幣向上拋出4次，用X表示落下時正面朝上的次數(shù)，求X的期望；（2）甲將游戲幣，，拋出，用Y表示落下時正面朝上游戲幣個數(shù)，求Y的分布列及其期望；（3）將這n枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝.請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由．【答案】（1）1（2）分布列見解析，（3）公平，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二項分布的期望公式計算即可.（2）先確定的可能取值，然后根據(jù)事件的相互獨立求出對應的概率值，進而得到的分布列和期望.（3）先根據(jù)題意列出正面朝上的游戲幣個數(shù)為奇數(shù)的概率，記，得到數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，最后求得.【小問1詳解】依題意得：每次拋游戲幣落下時正面向上的概率均為，故，于是．【小問2詳解】記事件為“第枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，則，，Y可取0，1，2，3．由事件相互獨立，則；；；故分布列為：0123P．【小問3詳解】不妨假設按照的順序拋這n枚游戲幣；記拋第枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個數(shù)為奇數(shù)的概率為，；于是；即，即，記，則，，故數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列；故，則，故，，則，因此公平．19.設兩個非零向量，，，，將方向逆時針旋轉(zhuǎn)到方向所成的角記為，定義偽叉積：，規(guī)定零向量與任意向量的偽叉積為零．已知對任意的，，及，滿足：，．（1）設，，計算和；（2）設，，求證：；（3）如圖，設、分別與橢圓交于A、B和D、E兩點，且都過橢圓的左焦點F，M、N分別為AB、DE的中點，延長BD與EA交于G，求的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的坐標運算求出，又為銳角，利用同角關系式求出，利用偽叉積的定義求出和．（2）證法一：不妨設射線OA、OB分別為角、的終邊，則，，設，，則，，利用偽叉積的定義求出，從而得證；證法二：，，由平面向量數(shù)量積的坐標運算求出，利用同角關系式求出，利用偽叉積的定義求出，從而得證．（3）利用三角形的面積公式和偽叉積的定義得到，結(jié)合平面向量的基本定理得到，分別按照AB與x軸重合和AB與x軸不重合討論求解，當AB與