第1頁/共1頁2025學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)樣卷（時(shí)間100分鐘，滿分150分）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.下列關(guān)于的函數(shù)中二次函數(shù)是（）A. B.C. D.2.在中，已知，那么下列各式中正確是（）A. B. C. D.3.已知拋物線如圖所示，那么下列各式中不成立的是（）A. B. C. D.4.在中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，那么下列條件中不能推得的是（）A. B. C. D.．5.下列說法中不正確的是（）A.如果是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與的方向相同：B.如果與非零平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使：C.如果是單位向量，那么；D.如果是實(shí)數(shù)，那么．6.如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)分別在邊上，作于H，交于P，已知．下列結(jié)論中不正確的是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7.已知，那么_______．8.已知拋物線有最高點(diǎn)，那么的取值范圍是___________．9.二次函數(shù)的圖象在其對(duì)稱軸右側(cè)的部分是___________的（填“上升”或“下降”）．10.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過和，那么此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線___________．11.把一個(gè)三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴(kuò)大為原來的倍，那么它的周長擴(kuò)大為原來的____倍．12.如圖，已知直線分別與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，如果，那么___________．13.如圖，點(diǎn)是正方形邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，那么的值為___________．14.如圖，某傳送帶與地面所成斜坡的坡度為，它把物品從地面送到離地面5米高的處，則物體從到所經(jīng)過的路程為______．15.如圖，在港口的南偏東方向有一座小島，一艘船從港口出發(fā)沿正東方向行駛24海里后到達(dá)處，在處測(cè)得小島恰在其西南方向，那么小島與港口相距___________海里．（結(jié)果保留根號(hào)）16.如圖，點(diǎn)是的重心，連接并延長交邊于點(diǎn)．如果，那么___________（用含向量的式子表示）17.在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定一種變換：將平面內(nèi)任意一點(diǎn)，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，得到最終的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，那么點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為___________．18.如圖，中，已知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．如果直線垂直于，連接，那么此時(shí)的面積是___________．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：．20.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的新拋物線與軸交于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，新拋物線的頂點(diǎn)為，連接．（1）請(qǐng)求出平移后新拋物線表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的正切值．21.上海市嘉定區(qū)法華塔被列為上海市文物保護(hù)單位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量法華塔的高度，由于法華塔被防護(hù)欄保護(hù)起來，小海只能在防護(hù)欄外進(jìn)行測(cè)量．如圖，小海在處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，再往塔的方向前進(jìn)30米至處（點(diǎn)為塔底中心，且點(diǎn)在同一水平線上），測(cè)得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫?，已知測(cè)角儀的高度為1.5米．請(qǐng)估算法華塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1米）．22.如何用尺規(guī)把一條線段進(jìn)行黃金分割呢？教材54頁的閱讀材料給出了一種方法，請(qǐng)閱讀材料并回答問題：怎樣用尺規(guī)把線段黃金分割呢？下面給出一種方法．作法：如圖1．過點(diǎn)作，使．2．連接，在線段上截取．3．在線段上截?。畡t．（1）請(qǐng)寫出圖中的值是___________；（2）我們把頂角為等腰三角形稱為黃金三角形，它的底邊與腰的比是黃金分割數(shù)．請(qǐng)利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出以線段為底邊的黃金三角形（不必寫出作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．23.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，連接，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如果點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且使與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．25.如圖1，和中，點(diǎn)在內(nèi)，，，連接，和，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）已知，，如圖2，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，①求的值：②如果，求的正弦值．2025學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)樣卷（時(shí)間100分鐘，滿分150分）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.下列關(guān)于的函數(shù)中二次函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的概念，熟練掌握二次項(xiàng)系數(shù)不為零，最高次項(xiàng)的次數(shù)是2是解題的關(guān)鍵．形如的函數(shù)即為二次函數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．符合二次函數(shù)定義，則A符合題意；B．不是二次函數(shù)，則B不符合題意；C．，最高次項(xiàng)系數(shù)不是2，故不是二次函數(shù)，則C不符合題意；D．最高次項(xiàng)系數(shù)不是2，故不是二次函數(shù)，則D不符合題意；故選：A．2.在中，已知，那么下列各式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出的長，再根據(jù)正切，余切，正弦和余弦的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，已知，∴，∴，，，，故選：C．3.已知拋物線如圖所示，那么下列各式中不成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)對(duì)稱軸和函數(shù)圖像判斷a、b、c的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．由拋物線的開口方向判斷a的大小，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的大小，根據(jù)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)情況、拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．詳解】解：A．∵拋物線開口向上，∴，∴A成立，不符合題意；B．∵拋物線的對(duì)稱軸，，，∴，∴B不成立，符合題意；C．∵拋物線交y軸負(fù)半軸，∴，∴C成立，不符合題意；D．由圖象知：當(dāng)時(shí)，，∴D成立，不符合題意．故選：B．4.在中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，那么下列條件中不能推得的是（）A. B. C. D.．【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，根據(jù)可推出，則可證明得到，據(jù)此可判斷A；根據(jù)和可證明得到，據(jù)此可判斷B；同理可判斷C；由無法證明，可判斷D．【詳解】解：A、∵，∴可設(shè)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故A選項(xiàng)不符合題意，B、∵，∴，∴，∴，故B選項(xiàng)不符合題意，C、同理由可得，又∵，∴，∴，∴，故C選項(xiàng)不符合題意，D、由無法證明，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．5.下列說法中不正確的是（）A.如果是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與的方向相同：B.如果與非零平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使：C.如果是單位向量，那么；D.如果是實(shí)數(shù)，那么．【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了向量的相關(guān)知識(shí)，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，據(jù)此可判斷A；與非零平行，若它們的方向相同，則m等于的模長除以的模長，若方向相反，則m等于的模長除以的模長的相反數(shù)，據(jù)此可判斷B；單位向量的模長為1，據(jù)此可判斷C；根據(jù)向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷D．【詳解】解：A、如果是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么當(dāng)時(shí)，與的方向相反，原說法錯(cuò)誤，符合題意；B、如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使，原說法正確，不符合題意；C、如果是單位向量，那么，原說法正確，不符合題意；D、如果是實(shí)數(shù)，那么，原說法正確，不符合題意；故選：A．6.如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)分別在邊上，作于H，交于P，已知．下列結(jié)論中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，則可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合，可得，證明四邊形是平行四邊形，得出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，即可判斷．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，即，故選項(xiàng)A正確；∵，∴，∵，∴，故選項(xiàng)B正確；∵，∴，∵，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故選項(xiàng)D正確；∴，∵，∴，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7.已知，那么_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積成為解題的關(guān)鍵．依據(jù)可得，再代入代數(shù)式化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．8.已知拋物線有最高點(diǎn)，那么的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線有最高點(diǎn)，則拋物線開口向下，故二次項(xiàng)系數(shù)小于零，即，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵拋物線有最高點(diǎn)，∴拋物線開口向下，∴，∴，故答案為：．9.二次函數(shù)的圖象在其對(duì)稱軸右側(cè)的部分是___________的（填“上升”或“下降”）．【答案】上升【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的增減性，根據(jù)解析式可知函數(shù)圖象開口向上，則在對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而增大，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，∴二次函數(shù)圖象開口向上，∴在對(duì)稱軸右側(cè)，隨增大而增大，二次函數(shù)的圖象在其對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的．故答案為：上升10.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過和，那么此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線___________．【答案】【解析】【分析】本題考查求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，由題意得，點(diǎn)和是對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，故答案為：．11.把一個(gè)三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴(kuò)大為原來的倍，那么它的周長擴(kuò)大為原來的____倍．【答案】3【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比即可求解．【詳解】解：三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴(kuò)大為原來的倍，∴相似比為，∴周長擴(kuò)大為原來的3倍，故答案為：3

．12.如圖，已知直線分別與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，如果，那么___________．【答案】15【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例的計(jì)算方法，找準(zhǔn)線段的比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，得到，結(jié)合已知求出的長度，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：15．13.如圖，點(diǎn)是正方形邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，那么的值為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，根據(jù)和是的中點(diǎn)，可以求得，即可求證，所以根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到．【詳解】解：在正方形中，，，，，，又是的中點(diǎn)，，．又，，，故答案為：．14.如圖，某傳送帶與地面所成斜坡的坡度為，它把物品從地面送到離地面5米高的處，則物體從到所經(jīng)過的路程為______．【答案】13m##13米【解析】【分析】根據(jù)坡度的概念求出AF，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過B作BF⊥AF于F，由題意得，BF＝5米，∵斜坡的坡度i＝1∶2.4，∴＝，即，解得：AF＝12（米），由勾股定理得，AB＝（米）．故答案是：13米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、坡比的計(jì)算、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，將坡度問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題成為解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，在港口的南偏東方向有一座小島，一艘船從港口出發(fā)沿正東方向行駛24海里后到達(dá)處，在處測(cè)得小島恰在其西南方向，那么小島與港口相距___________海里．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．過Q作于B，在和中，根據(jù)正切的定義可得出，，結(jié)合，可求出，然后根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過Q作于B，，根據(jù)題意，得，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即小島與港口相距海里，故答案為：．16.如圖，點(diǎn)是的重心，連接并延長交邊于點(diǎn)．如果，那么___________（用含向量的式子表示）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，根據(jù)重心的定義和性質(zhì)得到，求出，則可求出，進(jìn)而求出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)是的重心，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．17.在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定一種變換：將平面內(nèi)任意一點(diǎn)，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，得到最終的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，那么點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)變換規(guī)則可求出，且，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，求出和的長即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∵，∴，∴，且，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．18.如圖，中，已知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．如果直線垂直于，連接，那么此時(shí)的面積是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，先根據(jù)勾股定理求出，延長交于D，則，證明，求出，在中，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，延長交于D，則，∵，∴，又，∴，∴，即，解得，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：．20.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的新拋物線與軸交于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，新拋物線的頂點(diǎn)為，連接．（1）請(qǐng)求出平移后新拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求正切值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，等面積法求線段的長度等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”即可求出新拋物線的表達(dá)式，然后令求出y的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）先求出D、A、B的坐標(biāo)，連接，過點(diǎn)B作于E，然后根據(jù)割補(bǔ)法求出的面積，根據(jù)勾股定理求出、的長度，根據(jù)等面積法求出的長度，根據(jù)勾股定理求出的長度，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【小問1詳解】解：拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的新拋物線為，當(dāng)時(shí)，，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，令，則，解得，，∵點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，∴，，連接，過點(diǎn)B作于E，∴，，，∴，∴，∴，∴，即的正切值為．21.上海市嘉定區(qū)法華塔被列為上海市文物保護(hù)單位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量法華塔的高度，由于法華塔被防護(hù)欄保護(hù)起來，小海只能在防護(hù)欄外進(jìn)行測(cè)量．如圖，小海在處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，再往塔的方向前進(jìn)30米至處（點(diǎn)為塔底中心，且點(diǎn)在同一水平線上），測(cè)得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫?，已知測(cè)角儀的高度為1.5米．請(qǐng)估算法華塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1米）．【答案】約為米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；連接并延長交于，證明四邊形、是矩形，可得出，，在中，，根據(jù)正切的定義求出，在中，根據(jù)正切的定義得出，求出的長度，即可求解．【詳解】解：連接并延長交于，根據(jù)題意，得，，，，，，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是矩形，∴，，同理，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是矩形，∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，解得，∴，∴，答：法華塔的高度約為米．22.如何用尺規(guī)把一條線段進(jìn)行黃金分割呢？教材54頁的閱讀材料給出了一種方法，請(qǐng)閱讀材料并回答問題：怎樣用尺規(guī)把線段黃金分割呢？下面給出一種方法．作法：如圖1．過點(diǎn)作，使．2．連接，在線段上截?。?．在線段上截取．則．（1）請(qǐng)寫出圖中的值是___________；（2）我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它的底邊與腰的比是黃金分割數(shù)．請(qǐng)利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出以線段為底邊的黃金三角形（不必寫出作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題考查了黃金分割比，勾股定理，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)，根據(jù)作圖知，根據(jù)勾股定理求出，則，然后代入計(jì)算即可求解；（2）作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)O，過F作，在上截取，連接，并延長，在延長線上截取，以E、F為圓心，為半徑畫弧，兩弧相交于A，連接、即可．【小問1詳解】解：設(shè)，由作圖知，，，，∴，∴，∴，故答案為：；小問2詳解】解：如圖，即為所求，理由：設(shè)，由作圖知：，，，，∴，∴，∴，∴是黃金三角形．23.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和垂直的定義即可得證；（2）證明，得出，證明，得出，則，即可得證．【小問1詳解】證明：∵，∴，又，∴，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，即，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，連接，如果，求點(diǎn)的