第二十一章四邊形

21.3.2菱形第1課時(shí)菱形的性質(zhì)初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.(重點(diǎn))3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.(難點(diǎn))課堂引入前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到的，即當(dāng)平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，就成為了矩形.一、菱形的定義及性質(zhì)問題1

預(yù)習(xí)課本P72~P73思考：如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，讓它有一組鄰邊相等，如圖所示，這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢？提示菱形.問題2

預(yù)習(xí)課本P72~P73思考：(1)將一張矩形的紙按如圖所示的方式對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖③中的虛線剪下，打開后你知道它是什么圖形嗎？提示菱形.(2)在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕，折疊手中的圖形(如圖)，并回答以下問題：提示是，兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸.①菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸；提示菱形的四條邊都相等；②根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系？③猜想菱形的兩條對(duì)角線有什么關(guān)系？并證明你的猜想.提示菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.證明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD(平行四邊形的對(duì)角線互相平分).在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.知識(shí)梳理1.定義：有一組

的平行四邊形叫作菱形.注意點(diǎn)：(1)菱形的定義有兩個(gè)要素：①四邊形是平行四邊形；②有一組鄰邊相等，二者缺一不可.(2)菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形不一定是菱形.鄰邊相等知識(shí)梳理2.菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).菱形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形.(2)邊：四條邊都相等.(3)對(duì)角線：互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角(1)角：對(duì)角相等.(2)邊：對(duì)邊平行且相等.(3)對(duì)角線：互相平分例1

如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=12

cm，AC=6

cm，求菱形的周長.

跟蹤訓(xùn)練1

(1)在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，則△ABD的周長是A.10 B.12C.15 D.20√(2)如圖，菱形ABCD的周長為48

cm，對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長為

cm.

6二、菱形的面積問題3

(1)如圖，菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形的面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積呢？提示能，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，則S菱形ABCD=底×高=BC·AE.(2)前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直，那么能否利用對(duì)角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢？

知識(shí)梳理菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半.例2

(課本P73例3)如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20

m，∠ABC=60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).

反思感悟菱形面積的計(jì)算方法：(1)一邊長與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積.(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍).(3)兩條對(duì)角線長度乘積的一半.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知菱形的兩對(duì)角線BD，AC的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.

(2)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA=5，OB=12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.

課堂小結(jié)1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是A.對(duì)角相等

B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等課堂練習(xí)√2.如圖，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線BD，AC分別為6

cm和8

cm，則這個(gè)菱形的高DE為A.2.4

cm B.4.8

cmC.5

cm D.9.6

cm√課堂練習(xí)3.填空.(1)已知菱形ABCD的周長是12

cm，那么它的邊長是

cm；

(2)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°，平分這個(gè)內(nèi)角的對(duì)角線長為11

cm，菱形的周長為

cm.

344課堂練習(xí)4.如圖，四邊形ABCD是邊長為13

cm的菱形，