第四講有限差分法穩(wěn)定性分析有限差分法在數(shù)值計算領(lǐng)域是極為重要的一種方法，而其穩(wěn)定性分析更是該方法能否有效應(yīng)用的關(guān)鍵所在。穩(wěn)定性分析的結(jié)果直接影響到我們利用有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬時結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。通過這一講的學(xué)習(xí)，大家能夠深入了解有限差分法穩(wěn)定性分析的多種方法，掌握其判別準(zhǔn)則，還能通過算例來加深對理論知識的理解。這將為大家在后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究中，利用有限差分法解決實(shí)際問題奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

本次第四講聚焦有限差分法穩(wěn)定性分析，將介紹多種分析方法。Fourier方法，也叫VonNeumann方法，是一種重要的分析手段，它能通過特定的判別準(zhǔn)則對有限差分法的穩(wěn)定性進(jìn)行評估，還會結(jié)合算例讓大家更直觀地理解。

直接方法，即矩陣方法，它從矩陣的角度出發(fā)，利用矩陣的特性和運(yùn)算來分析有限差分法的穩(wěn)定性，為我們提供了另一種思考和解決問題的途徑。Hirt啟示法，它能給我們在分析穩(wěn)定性時帶來新的啟發(fā)和思路，幫助我們從不同的視角去看待和處理問題。

能量分析法，也就是范數(shù)法，通過對能量或范數(shù)的研究來判斷有限差分法是否穩(wěn)定，這種方法有著獨(dú)特的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用場景。

最后還會有數(shù)值算例，通過實(shí)際的例子來展示這些分析方法在實(shí)際中的應(yīng)用和效果，讓大家更好地掌握有限差分法穩(wěn)定性分析的方法和技巧。

在有限差分法穩(wěn)定性分析的第四講中，我們聚焦于Fourier方法，它也被稱作VonNeumann方法。這一方法在該領(lǐng)域扮演著關(guān)鍵角色，借助其能對有限差分法的穩(wěn)定性作出精準(zhǔn)判別。Fourier方法有自身的判別準(zhǔn)則，它就像是一把精準(zhǔn)的標(biāo)尺，為我們評估有限差分法的穩(wěn)定性提供了清晰、嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)。利用這個準(zhǔn)則，我們能夠科學(xué)地判斷所采用的差分方法是否穩(wěn)定，是否能在實(shí)際應(yīng)用中可靠地使用。

除了理論上的判別準(zhǔn)則，還有實(shí)際的算例。算例就如同生動的實(shí)踐教材，通過具體的案例展示如何運(yùn)用Fourier方法進(jìn)行計算和分析，讓大家更直觀地理解該方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。這些算例能加深我們對于準(zhǔn)則的理解與運(yùn)用，確保我們在面對不同問題時，都能熟練、準(zhǔn)確地使用Fourier方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

本次聚焦有限差分法穩(wěn)定性分析中的Fourier方法，它也被稱為VonNeumann方法。Fourier方法在有限差分法穩(wěn)定性分析領(lǐng)域有著舉足輕重的地位，能為我們判斷差分格式的穩(wěn)定性提供有效依據(jù)。

判別準(zhǔn)則是運(yùn)用Fourier方法的關(guān)鍵所在。通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和條件，對差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格判定。只有滿足判別準(zhǔn)則，差分格式才具備穩(wěn)定性，才能在實(shí)際計算中得出可靠的結(jié)果。

算例則是理論與實(shí)踐相結(jié)合的重要環(huán)節(jié)。通過具體的算例，我們可以更加直觀地看到Fourier方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用過程和效果。通過對算例的詳細(xì)分析，能夠更好地理解Fourier方法的原理和操作步驟，加深對有限差分法穩(wěn)定性分析的認(rèn)識。

深入研究Fourier方法的判別準(zhǔn)則和算例，能為我們掌握有限差分法穩(wěn)定性分析提供有力的支持，有助于提升我們解決實(shí)際問題的能力。

本次將以一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式，來詳細(xì)介紹Fourier方法。這里采用的是時間向前差、空間向后差的方式。之所以選擇這樣的差分格式，是因為它能在一定程度上簡化問題，同時還能很好地反映出Fourier方法在實(shí)際應(yīng)用中的特點(diǎn)。

網(wǎng)格比在這個差分格式里是一個關(guān)鍵因素。它的大小會直接影響到差分格式的穩(wěn)定性和精度。合適的網(wǎng)格比可以讓差分格式更準(zhǔn)確地逼近原方程的解，從而提高計算結(jié)果的可靠性。

通過這個具體的例子，我們能更直觀地看到Fourier方法是如何應(yīng)用到實(shí)際問題中的。它不僅僅是理論上的推導(dǎo)，更是能解決實(shí)際數(shù)值計算問題的有效工具。以這個一維線性平流方程的兩層顯式差分格式為載體，我們能逐步深入理解Fourier方法的核心思想和應(yīng)用技巧。

本次介紹Fourier方法，選取一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式作為示例，該格式采用時間向前差、空間向后差的方式。之所以選擇這個例子，是因為它能較為清晰地展現(xiàn)Fourier方法在實(shí)際差分格式中的應(yīng)用原理。

一維線性平流方程初值問題在諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，比如流體力學(xué)、氣象學(xué)等。通過研究其差分格式，我們可以更深入地理解方程在離散空間中的特性。這里的網(wǎng)格比起著關(guān)鍵作用，它反映了時間步長和空間步長之間的關(guān)系，對差分格式的穩(wěn)定性和精度都有著顯著影響。

以這個特定的差分格式為例，我們能逐步剖析Fourier方法的具體步驟和優(yōu)勢。后續(xù)會基于此例，進(jìn)一步探討如何運(yùn)用Fourier方法來分析差分格式的穩(wěn)定性，以及如何通過增長因子等概念來判斷格式是否穩(wěn)定。

在使用Fourier方法分析差分格式穩(wěn)定性時，我們面臨一個關(guān)鍵問題。差分格式（4.1.2）的解以及初值，它們僅僅在網(wǎng)格點(diǎn)上有定義和意義。然而，F(xiàn)ourier方法的應(yīng)用前提是函數(shù)具有連續(xù)的定義域。所以，為了能夠順利應(yīng)用Fourier方法，我們必須擴(kuò)充這些函數(shù)的定義域。

擴(kuò)充定義域這一操作的意義重大。它就像給差分格式展開一個更廣闊的舞臺，使得我們能夠運(yùn)用強(qiáng)大的Fourier分析工具。在擴(kuò)充定義域之后，我們可以將（4.1.2）式中的第一個方程進(jìn)行改寫，得到（4.1.3）式。這一改寫不僅僅是形式上的變化，更是為后續(xù)應(yīng)用Fourier積分變換奠定了基礎(chǔ)。通過這種方式，我們可以將離散的差分格式轉(zhuǎn)化為便于分析的形式，從而更深入地研究差分格式的穩(wěn)定性，為解決實(shí)際問題提供有力的支持。

在Fourier方法的推進(jìn)中，我們來到了Fourier積分變換這一關(guān)鍵步驟。對于式子(4.1.3)，應(yīng)用Fourier積分是一個重要的操作，這就像是給原本復(fù)雜的式子找到了一把解鎖的鑰匙。通過這一操作，我們能夠得出新的結(jié)果，為后續(xù)的研究打開新的局面。

將其推廣到一般形式的差分格式，不過這里要注意，是限于常系數(shù)情形的。在這個一般化的過程中，我們發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)鍵的因子，它被稱為增長因子。這個增長因子就像是差分格式變化的“指揮棒”，它決定了差分格式在不同情況下的變化趨勢和特征。它在整個Fourier方法中有著舉足輕重的地位，后續(xù)很多對差分格式的分析和研究都將圍繞它展開，我們可以通過對增長因子的研究，更深入地了解差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等重要性質(zhì)。

前面我們以一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式為例，對Fourier方法進(jìn)行了介紹?，F(xiàn)在，我們將其推廣到一般形式的差分格式，不過這里要注意，是限于常系數(shù)情形。

在這個推廣過程中，得出了一個重要的因子，我們把它稱為增長因子。增長因子在差分格式的分析中扮演著關(guān)鍵角色。它就像是一個“指揮棒”，能夠反映出差分格式解的變化情況。通過對增長因子的研究，我們可以了解到差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等重要性質(zhì)。

比如，在實(shí)際的數(shù)值計算中，如果增長因子控制不當(dāng)，可能會導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至發(fā)散。所以，準(zhǔn)確理解和把握增長因子，對于我們正確使用差分格式進(jìn)行數(shù)值計算，有著至關(guān)重要的意義。它讓我們能夠更好地預(yù)測和控制計算過程，從而得到更可靠的結(jié)果。第10頁

在前面以一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式為例介紹Fourier方法后，現(xiàn)在將結(jié)論推廣到一般形式的差分格式，不過這里限定為常系數(shù)情形。在這個一般形式的差分格式中，存在一個重要因子，我們將其稱為增長因子。

增長因子在差分格式分析中扮演著關(guān)鍵角色，它能反映出差分格式解的變化特性。接下來，令特定的式子（4.1.2）為某一形式，進(jìn)而得到了一個新的表達(dá)式。這一過程是從特殊到一般的推導(dǎo)，有助于我們更全面地理解差分格式的性質(zhì)。通過這樣的推廣，我們能將之前針對特定差分格式的研究成果應(yīng)用到更廣泛的常系數(shù)差分格式中，為后續(xù)分析差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等問題奠定基礎(chǔ)。第11頁

在Fourier方法中，上式提到的因子被稱作增長因子，也可稱為增幅因子、放大因子等。當(dāng)運(yùn)用Fourier方法處理二層差分格式時，我們聚焦于(4.1.4)式。若(4.1.4)式能夠轉(zhuǎn)化為(4.1.6)和(4.1.5)的形式，這將為分析差分格式的性質(zhì)提供重要線索。

增長因子在差分格式的研究中扮演著關(guān)鍵角色，它反映了數(shù)值解在時間推進(jìn)過程中的變化特性。通過對增長因子的分析，我們可以深入了解差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等重要性質(zhì)。對于二層差分格式而言，這種轉(zhuǎn)化使得我們能夠更清晰地把握解的演化規(guī)律，進(jìn)而判斷該差分格式是否適用于特定的問題。Fourier方法為我們提供了一種強(qiáng)大的工具，將復(fù)雜的差分格式轉(zhuǎn)化為便于分析的形式，而增長因子則是其中的核心概念。通過對這些概念的深入理解和運(yùn)用，我們能夠更好地解決實(shí)際問題，為數(shù)值計算的準(zhǔn)確性和可靠性提供保障。第12頁

此前提及的增長因子概念，不僅適用于差分方程，同樣適用于差分方程組。當(dāng)滿足特定條件時，原本的增長因子會轉(zhuǎn)變?yōu)槎A矩陣，即增長矩陣。這一轉(zhuǎn)變體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念在不同情境下的拓展與深化。Fourier方法在差分格式的研究中至關(guān)重要。對于二層差分格式，若(4.1.4)能寫成特定形式，便可運(yùn)用相關(guān)理論進(jìn)行分析。增長矩陣的出現(xiàn)，使得差分方程組的研究更為復(fù)雜，也更具挑戰(zhàn)性。它為我們理解和解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了新的視角和工具。

從數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建來看，增長矩陣的引入豐富了差分格式穩(wěn)定性判定的理論。它與增長因子相互關(guān)聯(lián)又有所區(qū)別，共同構(gòu)成了差分格式研究的重要組成部分。這一概念的拓展，有助于我們更深入地理解差分方程組的性質(zhì)和行為，為實(shí)際問題的解決提供更有力的支持。第13頁

在Fourier方法的應(yīng)用中，之前提及的增長因子概念，同樣適用于差分方程組的情形。當(dāng)滿足特定條件時，(4.1.6)中的因子會成為二階矩陣，也就是增長矩陣。這意味著增長因子的概念得到了進(jìn)一步拓展，從單個因子延伸到了矩陣形式，其內(nèi)涵和應(yīng)用范圍都更為豐富。

從物理角度來看，(4.1.5)式有著獨(dú)特的意義。它可以將相關(guān)量表示為其諧波分量的形式，其中振幅、波數(shù)、波長等物理量都有著明確的定義和作用。這種表示方式為我們理解物理現(xiàn)象提供了新的視角，讓我們能夠從波動的角度去分析和解釋問題。

在二層差分格式中，增長因子和增長矩陣的引入為研究差分格式的穩(wěn)定性等性質(zhì)提供了有力的工具。它們不僅是數(shù)學(xué)上的概念，更有著深刻的物理背景和實(shí)際應(yīng)用價值。通過對這些概念的深入理解和研究，我們可以更好地掌握差分格式的特性，為解決實(shí)際問題提供更有效的方法。第14頁

本次演講將聚焦于Fourier方法，它也被稱作VonNeumann方法。Fourier方法在相關(guān)領(lǐng)域有著重要地位，是我們接下來探討的核心內(nèi)容。

在后續(xù)內(nèi)容里，我們會深入研究Fourier方法的判別準(zhǔn)則。這一準(zhǔn)則就像是一把精準(zhǔn)的標(biāo)尺，能夠幫助我們判斷相關(guān)情況是否穩(wěn)定。通過對判別準(zhǔn)則的學(xué)習(xí)，我們可以更好地理解和運(yùn)用Fourier方法。

同時，我們還會結(jié)合算例進(jìn)行分析。算例就如同生動的實(shí)例教材，能讓我們更直觀地看到Fourier方法在實(shí)際中的應(yīng)用。通過具體的算例分析，我們可以加深對Fourier方法的掌握，明白它在不同場景下是如何發(fā)揮作用的。

總之，F(xiàn)ourier方法、判別準(zhǔn)則以及算例這三部分內(nèi)容緊密相連，我們會逐步展開，深入剖析，讓大家全面了解這一重要的方法。第15頁

我們已經(jīng)了解了增長因子的相關(guān)概念，接下來重點(diǎn)探討用增長因子判定差分格式穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則。這里會不加證明地給出一系列判定定理，這是因為證明過程可能較為復(fù)雜，會分散我們對核心內(nèi)容的關(guān)注。

對于二層差分格式，有一個重要的結(jié)論：差分格式（4.1.4）穩(wěn)定的充分必要條件是存在常數(shù)

，

，使得當(dāng)

時，對所有的

，有

。這里的矩陣范數(shù)可以使用任何一種范數(shù)，這體現(xiàn)了該判別準(zhǔn)則的靈活性和通用性。

這一判定定理為我們判斷差分格式的穩(wěn)定性提供了一個明確的標(biāo)準(zhǔn)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)這個條件來檢驗差分格式是否穩(wěn)定，從而確保數(shù)值計算的可靠性。如果差分格式不穩(wěn)定，那么計算結(jié)果可能會出現(xiàn)偏差甚至錯誤，這對于科學(xué)研究和工程應(yīng)用來說是非常不利的。所以，準(zhǔn)確理解和運(yùn)用這個判別準(zhǔn)則至關(guān)重要。第16頁

我們繼續(xù)探討二層差分格式相關(guān)內(nèi)容，這里涉及到一個重要概念——VonNeumann條件。此前我們了解到，上式中的因子被稱作增長因子，它還有增幅因子、放大因子等別稱。當(dāng)我們運(yùn)用Fourier方法，若(4.1.4)可寫成(4.1.6)和(4.1.5)的形式時，就進(jìn)入了對二層差分格式穩(wěn)定性的研究范疇。VonNeumann條件在差分格式穩(wěn)定性判定中起著關(guān)鍵作用。它是差分格式穩(wěn)定的必要條件，在很多情形下，這個條件也是穩(wěn)定性的充分條件。也就是說，滿足這個條件，差分格式大概率是穩(wěn)定的；若不滿足，那差分格式很可能不穩(wěn)定。這為我們判斷差分格式的穩(wěn)定性提供了一個重要依據(jù)，在后續(xù)的研究和實(shí)際應(yīng)用中，我們可以借助這個條件來快速評估差分格式是否穩(wěn)定，從而更好地開展相關(guān)工作。第17頁

在二層差分格式里，有一個關(guān)鍵概念——增長因子，也被稱作增幅因子、放大因子等。在特定條件下，我們運(yùn)用Fourier方法，若(4.1.4)能寫成特定形式，就會涉及到增長矩陣。

這里要著重講解定理4.1。差分格式(4.1.4)穩(wěn)定有一個必要條件，即存在常數(shù)

，當(dāng)滿足一定條件時，對于所有的

，有(4.1.7)成立。這個條件(4.1.7)被命名為VonNeumann條件。VonNeumann條件的重要性不言而喻。它不僅是差分格式(4.1.4)穩(wěn)定的必要條件，在很多情形下，還能成為穩(wěn)定性的充分條件。這意味著，在判斷差分格式穩(wěn)定性時，VonNeumann條件提供了一個極為關(guān)鍵的參考依據(jù)。我們依據(jù)這個條件，可以更高效地判斷差分格式是否穩(wěn)定，從而在實(shí)際應(yīng)用中做出更合理的決策。第18頁

在矩陣?yán)碚撝?，正?guī)矩陣是一類具有特殊性質(zhì)的矩陣。對于一個n階方陣A，若其共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足特定條件，即二者相乘可交換，那么這個矩陣A就被定義為正規(guī)矩陣。

正規(guī)矩陣的獨(dú)特之處在于，其2-范數(shù)與譜半徑相等。這一性質(zhì)為我們研究矩陣的穩(wěn)定性等問題帶來了極大的便利。譜半徑是矩陣特征值相關(guān)的重要概念。對于一個n×n矩陣A，它有n個特征值λi。譜半徑ρ(A)就是這些特征值的模的最大值。

如果特征值是實(shí)數(shù)，其模就是它本身的絕對值；若為虛數(shù)，譜半徑則是實(shí)部與虛部的平方和的開方。譜半徑反映了矩陣特征值在復(fù)平面上分布的最大范圍，在判斷矩陣的各種性質(zhì)，尤其是矩陣的穩(wěn)定性方面，有著關(guān)鍵作用。而正規(guī)矩陣譜半徑與2-范數(shù)相等這一特性，進(jìn)一步簡化了相關(guān)性質(zhì)的判斷與計算。第19頁

在差分格式穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則中，定理4.2指出，若差分格式的增長矩陣G(k)是正規(guī)矩陣，那么VonNeumann條件就成為了差分格式穩(wěn)定的充要條件。這意味著在這種特定情況下，我們只需依據(jù)VonNeumann條件，就能準(zhǔn)確判斷差分格式是否穩(wěn)定，這為我們的研究和實(shí)踐帶來了極大的便利。

基于定理4.2，我們可以得到兩個重要推論。推論1表明，當(dāng)G(k)為實(shí)對稱矩陣、酉矩陣或Hermite矩陣時，VonNeumann條件同樣是差分格式穩(wěn)定的充要條件。這幾種特殊類型的矩陣在實(shí)際應(yīng)用中較為常見，此推論進(jìn)一步拓展了VonNeumann條件的應(yīng)用范圍。推論2則指出，當(dāng)p=1，即G(k)只有一個元素時，VonNeumann條件依然是差分格式穩(wěn)定的充要條件。這從另一個角度豐富了我們利用該條件進(jìn)行判斷的情況。

此外，定理4.3提到，如果存在特定常數(shù)滿足一定條件，那么以G(k)為增長矩陣的差分格式就是穩(wěn)定的。這為我們提供了另一個判斷差分格式穩(wěn)定性的依據(jù)，這些定理和推論相互補(bǔ)充，共同構(gòu)成了一個較為完整的判別體系，幫助我們更準(zhǔn)確地分析差分格式的穩(wěn)定性。第20頁

差分格式穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則是重要的研究內(nèi)容。定理4.1指出，差分格式(4.1.4)穩(wěn)定存在必要條件，即存在常數(shù)，當(dāng)滿足一定條件時，對于所有情況，p階矩陣的特征值需滿足特定要求，滿足此條件差分格式才穩(wěn)定。這為判斷差分格式穩(wěn)定性提供了基本依據(jù)。

定理4.4進(jìn)一步補(bǔ)充，若增長矩陣G(k)的元素有界，并且滿足一定條件，也能對差分格式穩(wěn)定性進(jìn)行判別。這意味著從增長矩陣元素的特性出發(fā)，可建立與差分格式穩(wěn)定性的聯(lián)系。兩個定理從不同角度為差分格式穩(wěn)定性判別提供了思路，相互補(bǔ)充，共同完善了差分格式穩(wěn)定性的判別體系，有助于在實(shí)際應(yīng)用中準(zhǔn)確判斷差分格式是否穩(wěn)定。第21頁

在差分格式穩(wěn)定性判別領(lǐng)域，VonNeumann條件具有關(guān)鍵作用，有時它是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。定理4.5進(jìn)一步給出了特定情形下的判定規(guī)則。

若增長矩陣能表示為特定形式，其中涉及網(wǎng)格比等要素，并且對于任意給定的情況，滿足以下條件之一，那么VonNeumann條件就成為差分格式穩(wěn)定的充要條件。其一，增長矩陣有p個不同的特征值，不同特征值意味著矩陣具有更豐富的變化特性，能從多個維度反映矩陣的性質(zhì)，進(jìn)而影響差分格式的穩(wěn)定性。其二，另一種形式的矩陣也有p個不同的特征值，這同樣為差分格式穩(wěn)定提供了有力的支撐。雖然這里第三個條件未給出，但可以推測其也會是一個對差分格式穩(wěn)定性判定有重要意義的條件。

定理4.5為我們在判斷差分格式穩(wěn)定性時提供了更細(xì)致、更具體的依據(jù)，有助于我們更準(zhǔn)確地分析和解決相關(guān)問題。第22頁

我們現(xiàn)在要探討的是Fourier方法，它也被稱為VonNeumann方法。從前面的內(nèi)容可知，在研究差分格式穩(wěn)定性時，我們接觸到了VonNeumann條件等重要概念。而Fourier方法在這其中有著關(guān)鍵作用。

在差分格式穩(wěn)定性判別中，F(xiàn)ourier方法是一種重要的手段。它能幫助我們更深入地分析差分格式的性質(zhì)。比如之前提到的正規(guī)矩陣相關(guān)定理，當(dāng)差分格式的增長矩陣是正規(guī)矩陣時，VonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。而Fourier方法可以從不同的角度去驗證這些條件是否滿足。

通過Fourier方法，我們可以對差分格式進(jìn)行詳細(xì)的剖析，就像在后面的算例中，會考慮逼近一維線性平流方程的不同兩層顯式差分格式。通過這種方法，我們能更好地判斷這些格式的穩(wěn)定性，從而為實(shí)際應(yīng)用提供理論支持。它在整個差分格式穩(wěn)定性的研究體系中，就如同一個精準(zhǔn)的探測器，幫助我們發(fā)現(xiàn)格式中隱藏的特性，為解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)。第23頁

例4.1聚焦于逼近一維線性平流方程的三個兩層顯式差分格式。這三種格式在數(shù)值計算領(lǐng)域有著重要意義，它們從不同角度對一維線性平流方程進(jìn)行逼近。

時間向前差、空間向前差格式，是一種較為基礎(chǔ)的差分格式，其通過在時間上向前差分、空間上也向前差分的方式，對一維線性平流方程進(jìn)行離散化處理，從而得到近似解。

時間向前差、空間向后差格式，則是在時間上向前差分，而在空間上采用向后差分。這種格式的改變，使得其在處理某些特定問題時，可能會比空間向前差格式更具優(yōu)勢，能更準(zhǔn)確地逼近真實(shí)解。

時間向前差、空間中央差格式，是在時間向前差分的基礎(chǔ)上，空間上采用中央差分。中央差分能更好地利用相鄰節(jié)點(diǎn)的信息，在一定程度上可以提高計算的精度和穩(wěn)定性。

這三種格式各有特點(diǎn)，它們的存在為解決一維線性平流方程提供了多種選擇，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)和要求，選擇合適的差分格式。第24頁

我們正在探討逼近一維線性平流方程的三個兩層顯式差分格式。在研究過程中，網(wǎng)格比是一個關(guān)鍵的參數(shù)，它能幫助我們更好地分析和理解這些差分格式。

現(xiàn)在，我們聚焦于將這三個格式進(jìn)行改寫，分別是時間向前差、空間向前差格式，時間向前差、空間向后差格式，以及時間向前差、空間中央差格式。通過將它們改寫為(2.15)、(2.16)、(2.13)的形式，我們能更清晰地看到它們的結(jié)構(gòu)和特征。

這種改寫并非簡單的形式變化，而是為后續(xù)的分析做鋪墊。它有助于我們進(jìn)一步研究差分格式的性質(zhì)，如穩(wěn)定性等。就像我們之前提到的判別準(zhǔn)則，改寫后的格式能讓我們更方便地運(yùn)用這些準(zhǔn)則來判斷差分格式是否穩(wěn)定，從而為實(shí)際應(yīng)用提供更可靠的依據(jù)。第25頁

在研究逼近一維線性平流方程的問題時，我們聚焦于三個兩層顯式差分格式。這三個格式分別是時間向前差、空間向前差格式，時間向前差、空間向后差格式，以及時間向前差、空間中央差格式。

為了更深入地分析這些格式的特性，我們引入網(wǎng)格比這一重要概念。通過記網(wǎng)格比，我們可以對這三個格式進(jìn)行改寫。改寫的目的在于將格式以更便于研究和分析的形式呈現(xiàn)出來，也就是(2.15)、(2.16)和(2.13)這幾個表達(dá)式。

這種改寫是后續(xù)研究的關(guān)鍵步驟，它為我們進(jìn)一步探討格式的穩(wěn)定性等性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。借助改寫后的格式，我們能夠更清晰地觀察和分析格式在不同條件下的表現(xiàn)，從而更好地理解和解決一維線性平流方程的逼近問題。第26頁

我們聚焦于逼近一維線性平流方程的三個兩層顯式差分格式，分別是時間向前差、空間向前差格式，時間向前差、空間向后差格式，以及時間向前差、空間中央差格式。為了進(jìn)一步分析這些格式的特性，我們要進(jìn)行一個關(guān)鍵操作。

我們令特定變量代入這三個格式中。這一操作并非隨意為之，而是有著明確的目的，是為了將格式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而能夠更深入地探究它們的增長因子等性質(zhì)。通過代入操作，我們可以得到新的表達(dá)式，這些表達(dá)式將為后續(xù)判斷格式的穩(wěn)定性提供重要依據(jù)。

在數(shù)值計算領(lǐng)域，對差分格式穩(wěn)定性的研究至關(guān)重要。通過這種代入和后續(xù)的分析，我們能夠確定格式在不同條件下是否穩(wěn)定，進(jìn)而為實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)值計算提供可靠的保障。所以，這一步的代入操作是整個分析過程中不可或缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。第27頁

在研究逼近一維線性平流方程的三個兩層顯式差分格式時，目前進(jìn)展到關(guān)鍵的消去與整理步驟。這三個格式分別是時間向前差、空間向前差格式，時間向前差、空間向后差格式，以及時間向前差、空間中央差格式。

消去特定項并進(jìn)行整理這一步驟至關(guān)重要，它是我們推導(dǎo)增長因子的關(guān)鍵前置操作。通過消去令的設(shè)定，我們能夠簡化復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將原本繁瑣的格式轉(zhuǎn)化為更易于分析和研究的形式。這一過程就像是在解開一個復(fù)雜的謎題，每一步消去和整理都是在尋找關(guān)鍵線索，以揭示格式的本質(zhì)特征。

完成這一步整理后，我們就能更清晰地看到各個格式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，進(jìn)而為后續(xù)計算增長因子奠定堅實(shí)基礎(chǔ)。而增長因子的確定對于判斷差分格式的穩(wěn)定性起著決定性作用，它就像是一把鑰匙，能夠幫助我們打開差分格式穩(wěn)定性研究的大門。第28頁

在探討逼近一維線性平流方程的差分格式穩(wěn)定性時，得出各式的增長因子是關(guān)鍵一步。前面經(jīng)過一系列操作，包括改寫格式、代入變量、消元整理等，如今水到渠成，得到了各式的增長因子。

這里有三種不同的格式，分別是時間向前差，空間向前差格式；時間向前差，空間向后差格式；時間向前差，空間中央差格式。增長因子對于判斷差分格式的穩(wěn)定性起著決定性作用。通過增長因子，我們能夠依據(jù)VonNeumann條件來判斷格式是否穩(wěn)定。如果增長因子滿足一定條件，那么就意味著VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定；反之，則不穩(wěn)定。后續(xù)我們可以根據(jù)這些增長因子進(jìn)一步分析不同格式在不同條件下的穩(wěn)定性情況，從而為實(shí)際應(yīng)用中選擇合適的差分格式提供理論依據(jù)。第29頁

在我們探討的差分格式穩(wěn)定性問題中，當(dāng)滿足特定條件時，時間向前差、空間向前差格式展現(xiàn)出了良好的穩(wěn)定性。具體而言，當(dāng)某個特定條件成立時，就會出現(xiàn)一種理想的狀態(tài)，即VonNeumann條件得到滿足。這一條件的滿足意義重大，它意味著該格式是穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是差分格式的一個關(guān)鍵特性，它關(guān)系到我們在實(shí)際應(yīng)用中能否可靠地使用這些格式進(jìn)行計算。對于時間向前差、空間向前差格式來說，其穩(wěn)定性條件是經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)得出的。這個穩(wěn)定性條件就像是一把鑰匙，為我們打開了使用該格式進(jìn)行準(zhǔn)確計算的大門。

當(dāng)我們在實(shí)際問題中運(yùn)用這個格式時，只要確保滿足這個穩(wěn)定性條件，就能保證計算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。它讓我們在處理相關(guān)問題時更加有信心，也為后續(xù)的研究和應(yīng)用奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)?？傊?，時間向前差、空間向前差格式的穩(wěn)定性條件是我們理解和運(yùn)用該格式的重要依據(jù)。第30頁

在數(shù)值分析領(lǐng)域，我們一直在探討差分格式的穩(wěn)定性問題。對于時間向前差、空間向后差格式而言，當(dāng)滿足特定條件的時候，會出現(xiàn)一種重要的情況。

當(dāng)某個特定條件達(dá)成時，會有相應(yīng)的結(jié)果出現(xiàn)。而這個結(jié)果意味著VonNeumann條件得到了滿足。VonNeumann條件在差分格式穩(wěn)定性的判定中扮演著至關(guān)重要的角色。一旦這個條件滿足，就說明我們所討論的時間向前差、空間向后差格式是穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性對于一個差分格式來說，是極其關(guān)鍵的特性。穩(wěn)定的格式能夠在數(shù)值計算過程中，保證計算結(jié)果不會出現(xiàn)劇烈的波動或者發(fā)散，從而使得計算結(jié)果是可靠的、有意義的。

針對這個時間向前差、空間向后差格式，其穩(wěn)定性條件是明確的。這個條件所體現(xiàn)的是時間差和空間差之間的一種微妙關(guān)系，只有當(dāng)它們滿足這個特定關(guān)系時，格式才能展現(xiàn)出穩(wěn)定的特性。這種穩(wěn)定性條件是我們在實(shí)際應(yīng)用這個差分格式進(jìn)行數(shù)值計算時必須要嚴(yán)格遵守的，它為我們的計算過程提供了堅實(shí)的保障。第31頁

在差分格式的穩(wěn)定性研究中，時間向前差、空間中央差格式有著獨(dú)特的性質(zhì)。當(dāng)滿足一定條件時，無論怎樣選取網(wǎng)格比，都會出現(xiàn)特定的情況。這里的網(wǎng)格比選取是一個關(guān)鍵因素，它在差分格式的穩(wěn)定性判斷中起著重要作用。

而穩(wěn)定性的判斷依賴于VonNeumann條件，這是差分格式穩(wěn)定的必要條件。在時間向前差、空間中央差格式里，當(dāng)出現(xiàn)不管網(wǎng)格比如何選取總有不滿足該條件的情況時，從理論上來說，就意味著這種格式是不穩(wěn)定的。

這一結(jié)論對于整個差分格式的應(yīng)用和研究有重要意義。不穩(wěn)定的格式在實(shí)際計算中可能會導(dǎo)致誤差的不斷積累和放大。也就是說，在運(yùn)用時間向前差、空間中央差格式進(jìn)行數(shù)值計算時，可能會因為其不穩(wěn)定性而無法得到準(zhǔn)確可靠的結(jié)果，這就要求我們在實(shí)際中謹(jǐn)慎使用該格式，或者尋找其他更穩(wěn)定的格式來替代它。第32頁

現(xiàn)在來看例4.2，這是關(guān)于逼近一維線性平流方程的內(nèi)容。我們要考慮的是其三層顯式差分格式，也就是蛙跳格式。在前面我們探討了不同格式的增長因子、穩(wěn)定性條件等內(nèi)容，像時間向前差分別搭配空間向前差、向后差、中央差等格式。而現(xiàn)在引入的蛙跳格式作為三層顯式差分格式，與之前的格式有所不同。三層格式在討論穩(wěn)定性時，一般有其特定的方法，通常會先將其化成與其等價的二層差分方程組。蛙跳格式在逼近一維線性平流方程中有著獨(dú)特的作用和特點(diǎn)，研究它的穩(wěn)定性對于深入理解一維線性平流方程的數(shù)值解法至關(guān)重要，它能幫助我們更精準(zhǔn)地模擬和求解相關(guān)問題，后續(xù)我們也會基于此進(jìn)一步展開對其穩(wěn)定性等方面的探討。第33頁

我們現(xiàn)在來看例4.2，這里要考慮的是逼近一維線性平流方程的三層顯式差分格式，也就是蛙跳格式。在數(shù)值計算領(lǐng)域，差分格式是求解偏微分方程的重要手段，而蛙跳格式作為一種三層顯式差分格式，有其獨(dú)特的優(yōu)勢和應(yīng)用場景。

一維線性平流方程描述了物質(zhì)在一維空間中的平流傳輸現(xiàn)象，在氣象學(xué)、流體力學(xué)等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。采用蛙跳格式來逼近它，是因為這種格式在一定條件下能夠較為準(zhǔn)確地模擬方程所描述的物理過程。

不過，對于這種三層格式，其穩(wěn)定性的討論相對復(fù)雜。一般而言，我們需要先將其化成與其等價的二層差分方程組，再進(jìn)行穩(wěn)定性分析。就像前面我們對不同時間和空間差格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析一樣，穩(wěn)定的差分格式對于準(zhǔn)確求解方程至關(guān)重要，不穩(wěn)定的格式可能會導(dǎo)致計算結(jié)果的嚴(yán)重偏差甚至無法收斂。所以，后續(xù)我們也需要對蛙跳格式的穩(wěn)定性展開深入探討。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩陣方法)

4.3Hirt啟示法

4.4能量分析法(或范數(shù)法)

4.5數(shù)值算例第四講有限差分法穩(wěn)定性分析Fourier方法判別準(zhǔn)則算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)Fourier方法判別準(zhǔn)則算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)以一維線性平流方程初值問題Fourier方法(4.1.1)的兩層顯式差分格式(時間向前差，空間向后差)為例介紹該方法，其中為網(wǎng)格比。(4.1.2)Fourier方法以一維線性平流方程初值問題(4.1.1)的兩層顯式差分格式(時間向前差，空間向后差)為例介紹該方法，其中為網(wǎng)格比。(4.1.2)擴(kuò)充離散函數(shù)定義域差分格式(4.1.2)的解及初值只是在網(wǎng)格點(diǎn)上有意義。為了應(yīng)用

Fourier方法，必須擴(kuò)充這些函數(shù)的定義域，令(4.1.2)式中第一個方程可以寫為：(4.1.3)Fourier積分變換(4.1.3)對上式應(yīng)用Fourier積分：由此得出：推廣到一般形式的差分格式(限于常系數(shù)情形)：上式中因子稱為增長因子。由此得出：推廣到一般形式的差分格式(限于常系數(shù)情形)：上式中因子稱為增長因子。(4.1.2)由此得出：推廣到一般形式的差分格式(限于常系數(shù)情形)：上式中因子稱為增長因子。(4.1.2)令(4.1.2)為即：上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可寫為(4.1.6)(4.1.5)對于二層差分格式上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可寫為上述概念同樣適用于差分方程組的情形。例如當(dāng)時，則令，即此時，(4.1.6)中的

為二階矩陣，稱為增長矩陣。(4.1.6)(4.1.5)對于二層差分格式上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可寫為上述概念同樣適用于差分方程組的情形。例如當(dāng)時，則令，即此時，(4.1.6)中的

為二階矩陣，稱為增長矩陣。(4.1.6)(4.1.5)從物理角度，(4.1.5)式也可理解為將表示為其諧波分量的形式，其中，為振幅，為波數(shù)，為波長，。對于二層差分格式Fourier方法判別準(zhǔn)則算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令判別準(zhǔn)則(4.1.4)若(4.1.4)可寫為(4.1.6)(4.1.5)下面不加證明地給出用增長因子判定差分格式(4.1.4)穩(wěn)定性的一系列判定定理。對于二層差分格式其中的矩陣范數(shù)可用任何一種范數(shù)。差分格式

(4.1.4)穩(wěn)定的充分必要條件是存在常數(shù)，，使得當(dāng)時，對所有的，有上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令(4.1.4)若(4.1.4)可寫為(4.1.6)(4.1.5)對于二層差分格式VonNeumann條件VonNeumann條件對于二層差分格式上式中因子稱為增長因子(或增幅因子，放大因子等)。令(4.1.4)若(4.1.4)可寫為(4.1.6)(4.1.5)其中為

p階矩陣的特征值。

定理

4.1差分格式

(4.1.4)穩(wěn)定的必要條件是存在常數(shù)，使得當(dāng)時，對所有的，有(4.1.7)條件

(4.1.7)稱為

VonNeumann條件，其重要性在于，很多情況下，這個條件也是穩(wěn)定性的充分條件。

正規(guī)矩陣設(shè)

n階方陣

A，為其共軛轉(zhuǎn)置矩陣，如果，則

A稱為正規(guī)矩陣。對于正規(guī)矩陣

A，有，即

A的

2-范數(shù)等于其譜半徑。設(shè)A是n×n矩陣，λi是其特征值，i=1，2，……，n。稱ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……,n}為A的譜半徑。即矩陣A的譜半徑等于矩陣A的特征值的模的最大值；若特征值為虛數(shù)，則譜半徑為實(shí)部與虛部的平方和的開方。判別準(zhǔn)則

定理

4.2如果差分格式的增長矩陣

G(k)是正規(guī)矩陣，則VonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。

推論

1

當(dāng)G(k)是實(shí)對稱矩陣，酉矩陣，Hermite矩陣時，VonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。

推論

2

當(dāng)p=1時，G(k)只有一個元素，則VonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。則以

G(k)為增長矩陣的差分格式是穩(wěn)定的。

定理

4.3如果存在常數(shù)，使得判別準(zhǔn)則其中為

p階矩陣的特征值。

定理

4.1差分格式

(4.1.4)穩(wěn)定的必要條件是存在常數(shù)，使得當(dāng)時，對所有的，有(4.1.7)則差分格式是穩(wěn)定的。

定理

4.4如果對于，所有，增長矩陣G(k)的元素有界，并且判別準(zhǔn)則則

VonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。

定理

4.5如果增長矩陣，其中，，為網(wǎng)格比，并對任意給定的，下列條件之一成立：(1)有

p個不同的特征值；(2)有

p個不同的特征值；(3)Fourier方法判別準(zhǔn)則算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)例4.1考慮逼近一維線性平流方程的三個兩層顯式差分格式：（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：(2.15)(2.16)(2.13)（1）時間向前差，空間向前差格式：（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：（1）時間向前差，空間向前差格式：記網(wǎng)格比為，首先將三個格式改寫為：(2.15)(2.16)(2.13)（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：（1）時間向前差，空間向前差格式：記網(wǎng)格比為，首先將三個格式改寫為：(2.15)(2.16)(2.13)（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：（1）時間向前差，空間向前差格式：令，代入各式，得：（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：（1）時間向前差，空間向前差格式：消去令，整理得：所以，各式的增長因子分別為（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：（1）時間向前差，空間向前差格式：所以，當(dāng)時，有，即VonNeumann條件滿足，格式是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性條件，即為（1）時間向前差，空間向前差格式：所以，當(dāng)時，有，即VonNeumann條件滿足，格式是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性條件，即為（2）時間向前差，空間向后差格式：（3）時間向前差，空間中央差格式：當(dāng)時，不管怎樣選取網(wǎng)格比，總有，這樣不滿足差分格式穩(wěn)定的必要條件VonNeumann條件，所以格式是不穩(wěn)定的。例4.2

考慮逼近一維線性平流方程的三層顯式差分格式，蛙跳格式：例4.2

考慮逼近一維線性平流方程的三層顯式差分格式，蛙跳格式：(2.21)例4.2

考慮逼近一維線性平流方程的三層顯式差分格式，蛙跳格式：這是一個三層格式，討論這種類型的差分格式的穩(wěn)定性，一般先化成與其等價的二層差分方程組：(2.21)這是一個三層格式，討論這種類型的差分格式的穩(wěn)定性，一般先化成與其等價的二層差分方程組：如果令，則上述方程組可以寫成：這是一個三層格式，討論這種類型的差分格式的穩(wěn)定性，一般先化成與其等價的二層差分方程組：如果令，則上述方程組可以寫成：如果令，則上述方程組可以寫成：令，其中，代入上式并消去，得：所以，增長矩陣為所以，增長矩陣為下面求增長矩陣的特征值所以，增長矩陣為下面求增長矩陣的特征值增長矩陣的特征值為所以，當(dāng)時，有，

因此當(dāng)時，蛙跳格式滿足VonNeumann條件滿足。當(dāng)時，增長矩陣有兩個互不相同的特征值，所以蛙跳格式是穩(wěn)定的。當(dāng)時，為方便起見，取，則增長矩陣容易計算得出用數(shù)學(xué)歸納法可推得由此得出當(dāng)時，為方便起見，取，則增長矩陣容易計算得出用數(shù)學(xué)歸納法可推得由此得出從而知，當(dāng)時，蛙跳格式不穩(wěn)定。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩陣方法)

4.3Hirt啟示法

4.4能量分析法(或范數(shù)法)

4.5數(shù)值算例第四講有限差分法穩(wěn)定性分析直接方法(或矩陣方法)(4.2.1)若(4.2.1)可寫為對于二層差分格式其中，A

為

J階方陣。其中的矩陣范數(shù)可用任何一種范數(shù)。差分格式

(4.2.1)穩(wěn)定的充分必要條件為是差分格式

(4.2.1)穩(wěn)定的必要條件。其中M為常數(shù)

(1)譜半徑條件

(2)如果

A

為正規(guī)方陣，則(4.2.2)也是格式穩(wěn)定的充分條件(4.2.2)直接方法舉例

考慮一維擴(kuò)散方程的初邊值問題采用下列顯式差分格式來逼近(4.2.3)采用下列顯式差分格式來逼近(4.2.3)先把差分方程(4.2.3a)寫成(4.2.3)采用下列顯式差分格式來逼近(4.2.4)先把差分方程(4.2.3a)寫成(4.2.4)其中，可以把(4.2.4)寫成向量形式，即(4.2.5)如果令并考慮到，則(4.2.5)式可以寫成先把差分方程(4.2.3a)寫成(4.2.4)其中可以表示為，I為J-1階單位矩陣，S為關(guān)鍵是求出S的特征值。設(shè)和分別為S的特征值和特征向量。關(guān)鍵是求出S的特征值。設(shè)和分別為S的特征值和特征向量。關(guān)鍵是求出S的特征值。設(shè)和分別為S的特征值和特征向量。寫成分量的形式：(4.2.6)S為對稱矩陣，所以特征值為實(shí)數(shù)。由Gerschgorin（蓋爾）圓盤定理知：寫成分量的形式：(6.2.6)S為對稱矩陣，所以特征值為實(shí)數(shù)。由Gerschgorin（蓋爾）圓盤定理知：其中為矩陣S的元素，所以。設(shè)(4.2.6)的解具有形式：則(4.2.6)第一式的特征方程為：解為：寫成分量的形式：(6.2.6)S為對稱矩陣，所以特征值為實(shí)數(shù)。由Gerschgorin（蓋爾）圓盤定理知：解為：顯然，取，則，因此(4.2.6)的解可以表示為顯然，取，則，因此(6.2.6)的解可以表示為由，得到，再由，得到則，由于，有則，所以，注意到，則

S的特征值為，A的特征值為當(dāng)時，，因此格式的穩(wěn)定性條件為如果采用的是隱式差分格式(4.2.7)直接方法舉例

考慮一維擴(kuò)散方程的初邊值問題如果采用的是隱式差分格式(4.2.7)如果采用的是隱式差分格式(6.2.7)可以把(4.2.7)寫成向量形式：其中

，，利用前面求得的S的特征值，可以得到

B的特征值可以把(4.2.7)寫成向量形式：其中

，，利用前面求得的S的特征值，可以得到

B的特征值由此可知，從而有

，因為

B為對稱矩陣，所以也為對稱矩陣，因此由直接方法的兩個結(jié)論知，上述隱式格式是無條件穩(wěn)定的。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩陣方法)

4.3Hirt啟示法

4.4能量分析法(或范數(shù)法)

4.5數(shù)值算例第四講有限差分法穩(wěn)定性分析Hirt啟示法

Hirt啟示法是一種近似分析方法，主要是把差分格式在某確定點(diǎn)上作Taylor級數(shù)展開，把高階誤差項略去，只留最低階的誤差項。如果差分格式是相容的，那么這樣得到的新的微分方程(稱之為第一微分近似或修正微分方程)與原來的微分方程相比只增加了一些含有小參數(shù)的較高階導(dǎo)數(shù)的附加項。Hirt啟示法的判別準(zhǔn)則是：如果第一微分近似是適定的(解是存在、唯一且穩(wěn)定的)，那么原來微分方程的差分格式是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hirt啟示法的優(yōu)點(diǎn)是可以對非線性問題進(jìn)行分析，從而得到近似的穩(wěn)定性條件。Hirt啟示法舉例以一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式(時間向前差，空間向后差)為例介紹該方法。在格點(diǎn)處進(jìn)行

Taylor級數(shù)展開，有在格點(diǎn)處進(jìn)行

Taylor級數(shù)展開，有即即即在格點(diǎn)處，由差分方程得到在格點(diǎn)處，由差分方程得到由平流方程可以得到在格點(diǎn)處，由差分方程得到因此略去高階誤差項，得到第一微分近似略去高階誤差項，得到第一微分近似當(dāng)時，方程化為原來的平流方程。否則為拋物型方程，要有意義，必須略去高階誤差項，得到第一微分近似當(dāng)時，方程化為原來的平流方程。否則為拋物型方程，要有意義，必須當(dāng)時，方程化為原來的平流方程。否則為拋物型方程，要有意義，必須因此，第一微分近似適定的條件為由此得出所討論差分格式穩(wěn)定的條件為Hirt啟示法舉例再分析一維線性平流方程初值問題的兩層顯式差分格式(時間向前差，空間向前差)仿照上面推導(dǎo)可以得到它的第一微分近似為可以看出上式右端項二階偏導(dǎo)前面的系數(shù)小于0，因此第一微分近似是不適定的，從而得出此格式是不穩(wěn)定。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩陣方法)

4.3Hirt啟示法

4.4能量分析法(或范數(shù)法)

4.5數(shù)值算例第四講有限差分法穩(wěn)定性分析能量分析法(或范數(shù)法)

對于變系數(shù)問題和非線性問題，一般不能采用Fourier方法和直接法來討論差分格式的穩(wěn)定性。而對于上述這些問題，能量不等式方法是研究差分格式穩(wěn)定性的有理工具。

考慮算子形式的發(fā)展方程(4.4.1)和對應(yīng)的二層差分格式(4.4.2)離散空間及其范數(shù)引入空間：由

n維向量所構(gòu)成的離散空間，定義其上的內(nèi)積為(4.4.3)其中，為空間中任意兩個元素，為對角矩陣的對角元，稱為權(quán)重系數(shù)矩陣。相應(yīng)地，上的范數(shù)定義為(4.4.4)對于差分格式(4.4.2)的解，其內(nèi)積和范數(shù)可以直接采用上述定義，只是其中的恒取為空間步長即可。非負(fù)算子

定義

4.1如果算子L滿足(4.4.5)則稱算子L為非負(fù)算子；當(dāng)?shù)忍柍闪r，稱算子L滿足為零算子或廣義反對稱算子。主要穩(wěn)定性定理

定義

4.2若當(dāng)足夠小，由差分格式(6.4.2)得到的解滿足(4.4.5)則稱差分格式是穩(wěn)定的。

顯然當(dāng)或（C為常數(shù)）時，格式是穩(wěn)定的。

定理

4.6若為非負(fù)算子，則當(dāng)時，差分格式(4.4.2)是無條件穩(wěn)定的。

定理

4.6若為非負(fù)算子，則當(dāng)時，差分格式(4.4.2)是無條件穩(wěn)定的。(4.4.2)證明：用與(4.4.2)作內(nèi)積，得

定理

4.6若為非負(fù)算子，則當(dāng)時，差分格式(4.4.2)是無條件穩(wěn)定的。由條件為非負(fù)算子，可知證明：用與(4.4.2)作內(nèi)積，得所以由條件，可知