3.1不等式的意義第3章

一元一次不等式(組)【2024新教材】湘教版數(shù)學(xué)

七年級(jí)下冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********一）知識(shí)與技能?理解實(shí)數(shù)的概念，明確實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。?掌握實(shí)數(shù)的分類方法，能互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個(gè)命題的逆命題。會(huì)判斷一個(gè)命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對(duì)命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個(gè)命題的逆命題。難點(diǎn)判斷一個(gè)命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡(jiǎn)單的命題，如“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”，它的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”。讓學(xué)生進(jìn)一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，每個(gè)小組寫出3-5個(gè)命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)命題的真假。對(duì)于真命題，需要通過推理證明；對(duì)于假命題，只需舉一個(gè)反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”是假命題，因?yàn)閮蓚€(gè)相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流。互逆定理給出互逆定理的定義：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強(qiáng)調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時(shí)，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因?yàn)閷?duì)應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）對(duì)頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個(gè)命題都有逆命題。（2）每個(gè)定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強(qiáng)調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時(shí)要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個(gè)互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與，通過實(shí)際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對(duì)于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要及時(shí)給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進(jìn)一步加強(qiáng)練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入小汽車的速度范圍是v≥60km/h，且v≤100km/h客車的速度范圍是貨車的速度范圍是v≥60km/h，且v≤80km/hv≥60km/h，且v≤80km/h新課導(dǎo)入小華小楠155cm156cm155cm＜156cm156cm＞155cm探究新知（1）如圖所示，處于平衡狀態(tài)的托盤天平的左盤放上一個(gè)網(wǎng)球、右盤放上一質(zhì)量為20g的砝碼后，天平向左傾斜，問網(wǎng)球的質(zhì)量mg與砝碼的質(zhì)量20g之間具有怎樣的關(guān)系？m＞20mg20g網(wǎng)球的質(zhì)量＞砝碼的質(zhì)量（2）一輛轎車在一條規(guī)定車速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行駛，如何用式子來表示轎車在該高速公路上行駛的路程s(km)與行駛時(shí)間t(h)之間的關(guān)系呢？s≥60t，且s≤100t155cm＜156cm156cm＞155cmm＞20s≥60ts≤100t仔細(xì)觀察下列式子，讀一讀＜＞＞≥≤小于大于大于大于等于或不小于小于等于或不大于符號(hào)讀法實(shí)際意義示例><≥≤≠大于大于、高出小于小于、不足大于或等于(不小于)不低于、至少小于或等于(不大于)不等于不超過、至多不相等156>155155<156像156>155，155<156，m>20，s≥60t，s≤100t這樣，用不等號(hào)(>，<，≥，≤)連接而成的式子叫作不等式.s≥60ts≤100t1≠3不等式中可以含未知數(shù)也可以不含未知數(shù)特別提醒:不等號(hào)具有方向性，不等號(hào)兩邊的數(shù)(或式子)不能隨意交換。（1）a的5倍大于-7；（2）a與b的和的一半小于-1；（3）長(zhǎng)、寬分別為bcm，ccm的長(zhǎng)方形的面積小于邊長(zhǎng)為acm的正方形的面積.5a＞-7bc＜a2用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：列不等式的基本步驟:①認(rèn)真審題，找出問題中要對(duì)比的量；②將要對(duì)比的量用代數(shù)式表示出來；③找出問題中表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，并用不等號(hào)表示出來；④用不等號(hào)將所列的代數(shù)式連接起來，列出不等式。知識(shí)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)睛常用的不等式基本語言與符號(hào)表示:(1)a是正數(shù)表示為a>0，a是負(fù)數(shù)表示為a<0；(2)a是非正數(shù)表示為a≤0，a是非負(fù)數(shù)表示為a≥0；(3)a不小于b表示為a≥b，a不大于b表示為a≤b。1.5x+（1.5+2）×10≤50已知一支圓珠筆1.5元，簽字筆與圓珠筆相比每支貴2元.小華帶了50元，買了x支圓珠筆和10支簽字筆，請(qǐng)用含x的不等式來表示小華支付的金額與50元之間的關(guān)系？解：由于小華只帶了50元，因此他買x支圓珠筆和10支簽字筆支付的金額不超過50元，則有以下不等量關(guān)系:即1.5x+35≤50①x取值不等式的值根據(jù)生活常識(shí)可知，①式中x只能取正整數(shù)，于是1.5×1+35=36.511.5x+35≤50①<50······910111.5×9+35=48.51.5×10+35=501.5×11+35=51.5<50>50因此小華至多能買10支圓珠筆。例2中，如果小華帶了60元，他至多能買多少只圓珠筆？1.5x+（1.5+2）×10≤60解：由于小華帶了60元，因此他買x支圓珠筆和10支簽字筆支付的金額不超過60元，則有以下不等量關(guān)系:即1.5x+35≤60②x取值不等式的值12······16171.5x+35≤60②1.5×12+35=531.5×16+35=591.5×17+35=60.5因此小華至多能買16支圓珠筆。<60<60>60同樣，②式中x只能取正整數(shù)，于是1.用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：（1）a是非負(fù)數(shù)；（2）實(shí)數(shù)m減去實(shí)數(shù)n的差大于5.a≥0m-n＞5【教材P58練習(xí)第1題】2.奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的勝負(fù)是以射中箭靶的環(huán)數(shù)來決定的,命中靶的箭越靠近中心，所得環(huán)數(shù)越高，最高為10環(huán)，某選手在參加比賽時(shí)，前十箭中最低為7環(huán)，求該選手前十箭的總環(huán)數(shù)s應(yīng)滿足的條件70≤s≤97【教材P58練習(xí)第2題】3.小強(qiáng)用81根火柴依下圖的規(guī)律擺六邊形，請(qǐng)用不等式表示小強(qiáng)可擺出六邊形的個(gè)數(shù)x與火柴根數(shù)之間的關(guān)系.66+56+5×26+5（x-1）6+5（x-1）≤811.已知江西石獅隧道限高4.5m，若某型車能夠安全進(jìn)入該隧道，則該型車的高度h(m)與限高4.5m之間的關(guān)系是怎樣的?解：h≤4.5

2.用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：（1）a的2倍與1的差不小于3；（2）a與b的和的平方大于100；（3）a與b的積與a的和大于12.2a-1

≥3（a+b）2

＞100ab+a＞123.通過測(cè)量一棵樹的樹圍(樹干離地面1.5m處的周長(zhǎng))可以估算出它的樹齡。某樹栽種時(shí)的樹圍為6cm，在一定生長(zhǎng)期內(nèi)每年增加約3cm。設(shè)經(jīng)過若干年(生長(zhǎng)期內(nèi))后這棵樹的樹圍超過30cm，請(qǐng)估算出該樹至少栽種了多少年。解：設(shè)該樹至少栽種了x年。由題意得：6+3x≥30x≥8解得：答：該樹至少栽種了8年。4.某商場(chǎng)A型冰箱的售價(jià)是2190元/臺(tái)，為了減少庫存，商場(chǎng)決定對(duì)A型冰箱降價(jià)銷售。已知A型冰箱的進(jìn)價(jià)為1700元/臺(tái)，商場(chǎng)規(guī)定銷售利潤(rùn)率不低于3%，試用不等式表示A型冰箱的降價(jià)范圍。解：設(shè)A型冰箱應(yīng)降價(jià)x元。由題意得：即

CA.

5個(gè)

B.

4個(gè)

C.

3個(gè)

D.

2個(gè)

AA.

每100克含鈣量高于87毫克B.

每100克含鈣量低于87毫克C.

每100克含鈣量不低于87毫克D.

每100克含鈣量不超過87毫克3