吉林省吉林市豐滿區(qū)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的兩根為$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。若方程的兩根互為倒數(shù)，則$a$的值為A.1B.2C.-1D.-22.若$\angleA$和$\angleB$是等腰三角形$ABC$的底角，且$\tanA=2\sqrt{3}$，則$\tanB$的值為A.$\sqrt{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$-\sqrt{3}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則$\{a_n+2\}$的通項公式為A.$a_1+2n$B.$a_1+(n+1)d$C.$a_1+nd$D.$a_1+(n-1)d$4.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，且過點$(1,3)$和$(2,7)$，則$a$的值為A.1B.2C.3D.45.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，則$\angleA$的余弦值為A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{8}$D.$\frac{8}{5}$6.若$x^2-2x-3=0$，則$x^3-3x^2+x$的值為A.0B.1C.2D.37.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，則$S_{2n}-S_n$的值為A.$na_1$B.$2na_1$C.$na_2$D.$2na_2$8.已知函數(shù)$y=2^x$的圖像在第二象限，則$y=2^{-x}$的圖像在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限9.若$x^2-4x+4=0$，則$x^3-8$的值為A.0B.1C.2D.310.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\angleA$的正弦值為A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$二、填空題1.若$\angleA$和$\angleB$是等腰三角形$ABC$的底角，且$\tanA=2\sqrt{3}$，則$\tanB$的值為________。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則$\{a_n+2\}$的通項公式為________。3.若$x^2-2x-3=0$，則$x^3-3x^2+x$的值為________。4.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，則$\angleA$的余弦值為________。5.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，則$S_{2n}-S_n$的值為________。6.已知函數(shù)$y=2^x$的圖像在第二象限，則$y=2^{-x}$的圖像在________。7.若$x^2-4x+4=0$，則$x^3-8$的值為________。8.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\angleA$的正弦值為________。三、解答題1.已知函數(shù)$y=2^x$，求：（1）$y$的反函數(shù)；（2）當(dāng)$x=3$時，$y$的值；（3）$y$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=12$，$S_6=42$，求$\{a_n\}$的首項和公差。四、應(yīng)用題要求：運用所學(xué)知識解決實際問題。1.小明家購買了一批水果，包括蘋果、香蕉和橙子。已知蘋果的重量是香蕉的兩倍，橙子的重量是蘋果的1.5倍。如果小明一共購買了10千克的水果，且香蕉的重量是2千克，求蘋果和橙子各重多少千克？2.某商店為促銷活動，對商品進行打折。原價為100元的商品，打八折后的價格是80元。如果再打九折，求最終的價格是多少元？3.小華參加了一場數(shù)學(xué)競賽，共10道題，每題10分。他答對了其中的6題，剩下的4題全部答錯。求小華在這場競賽中的得分是多少分？4.一輛汽車從甲地開往乙地，已知甲乙兩地的距離為240千米。汽車以80千米/小時的速度行駛，行駛了3小時后，發(fā)現(xiàn)油箱中的油還剩下1/4。如果汽車油箱的容量為60升，求汽車在行駛過程中平均每升油可以行駛多少千米？5.某班級有男生和女生共50人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的1.2倍。如果從班級中選出10人參加學(xué)校舉辦的運動會，要求男女比例相同，求參加運動會的男生和女生各有多少人？六、證明題要求：運用所學(xué)知識證明以下命題。1.證明：若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。2.證明：若等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_3+a_5=9$，則$a_1+a_2+a_3=6$。3.證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開口向上，且過點$(1,3)$和$(2,7)$，則$a>0$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.1解析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。若兩根互為倒數(shù)，則$x_1=\frac{1}{x_2}$，代入$x_1x_2=\frac{c}{a}$得$\frac{1}{x_2^2}=\frac{c}{a}$，解得$x_2^2=\frac{a}{c}$，又因為$x_1+x_2=-\frac{a}$，代入$x_1=\frac{1}{x_2}$得$\frac{1}{x_2}-x_2=-\frac{a}$，解得$x_2=\frac{1}{\sqrt{a}}$，進而得到$x_1=\sqrt{a}$，因此$a=1$。2.A.$\sqrt{3}$解析：由$\tanA=2\sqrt{3}$可知$A$為銳角，所以$\angleA=60^\circ$，由等腰三角形性質(zhì)，$\angleB=\angleC=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$，因此$\tanB=\tan60^\circ=\sqrt{3}$。3.D.$a_1+(n-1)d$解析：等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，則$\{a_n+2\}$的通項公式為$a_n+2=a_1+(n-1)d+2=a_1+(n-1)d+2$。4.B.2解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a>0$。代入點$(1,3)$和$(2,7)$，得到方程組$\begin{cases}a+b+c=3\\4a+2b+c=7\end{cases}$，解得$a=2$。5.B.$\frac{4}{5}$解析：由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入$a=5$，$b=8$，$c=10$，得$5^2=8^2+10^2-2\times8\times10\cosA$，解得$\cosA=\frac{4}{5}$。6.A.0解析：由$x^2-2x-3=0$，得$x^2=2x+3$，代入$x^3-3x^2+x$得$x^3-3(2x+3)+x=0$。7.C.$na_2$解析：等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，所以$S_{2n}-S_n=\frac{2n}{2}(a_1+a_{2n})-n(a_1+a_n)=na_2$。8.D.第四象限解析：函數(shù)$y=2^x$的圖像在第二象限，所以$2^x>0$，則$y=2^{-x}<0$，即$y=2^{-x}$的圖像在第四象限。9.B.1解析：由$x^2-4x+4=0$，得$(x-2)^2=0$，解得$x=2$，代入$x^3-8$得$1$。10.B.$\frac{4}{5}$解析：由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\sinA=\frac{a}{c}\sinC=\frac{3}{5}\sinC$，因為$c$是最長邊，所以$\sinC=\sin90^\circ=1$，解得$\sinA=\frac{3}{5}$。二、填空題1.$\sqrt{3}$2.$a_1+(n-1)d$3.14.$\frac{4}{5}$5.$na_2$6.第四象限7.18.$\frac{4}{5}$三、解答題1.（1）$y$的反函數(shù)為$x=\log_2y$。（2）當(dāng)$x=3$時，$y=2^3=8$。（3）$y$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2^x\ln2$，代入$x=2$得$f'(2)=2^2\ln2=4\ln2$。2.（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_3+a_5=9$得$2a_1+6d=9$。（2）$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a_1+a_2+a_3=6$得$3a_1+3d=6$。（3）解方程組$\begin{cases}2a_1+6d=9\\3a_1+3d=6\end{cases}$，得$a_1=3$，$d=0$，所以$\{a_n\}$的首項為$3$，公差為$0$。四、應(yīng)用題1.解：設(shè)香蕉重量為$b$千克，則蘋果重量為$2b$千克，橙子重量為$3b$千克。由題意得$2b+3b+2=10$，解得$b=1$，所以蘋果重$2$千克，橙子重$3$千克。2.解：打八折后的價格為$80$元，再打九折后的價格為$80\times0.9=72$元。3.解：小華答對的題目得分為$6\times10=60$分，答錯的題目不得分，所以總分為$60$分。4.解：汽車行駛了$3$小時，剩余油量為$60\times\frac{1}{4}=15$升，所以平均每升油可以行駛$\frac{240}{15}=16$千米。5.解：男生人數(shù)為$50\times1.2=60$人，女生人數(shù)為$50-60=-10$人，不合理，因此男女比例應(yīng)為$1:1$，即男生和女生各有$25$人。五、證明題1.解：由勾股定理的逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。2.解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1+a_3+a_5=9$得$2a_1+6d=9$，化簡得$a_1+3d=4.5$。又$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a