2025年高三數(shù)學(xué)期末彪炳史冊卷二2025年高三數(shù)學(xué)期末彪炳史冊卷二

姓名：______班級：______學(xué)號：______得分：______

（考試時間：90分鐘，滿分：100分）

一、選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z+1/z是實(shí)數(shù)，則z可能是（）

A.1B.-1C.iD.-i

3.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有1名女生的選法有（）種

A.20B.30C.40D.60

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+b2-c2=ab，則cosC的值為（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

5.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_3+a_9=10，則S_9的值為（）

A.45B.50C.55D.60

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡對應(yīng)位置）

6.某幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體的體積為______。

7.拋擲兩個骰子，記事件A為"點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)"，事件B為"點(diǎn)數(shù)之和大于8"，則P(A|B)=______。

8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差為______。

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在曲線y=1/x上運(yùn)動，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值為______。

10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的圖像如右圖所示，則f(x)的最小正周期T=______。

三、解答題（本大題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

11.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax+1。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）若f(x)在x=1處取得極值，求a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。

12.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-bc。

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若△ABC的面積為√3，且b=2，求a+c的值。

13.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E為棱PC的中點(diǎn)。

（1）求證：平面ABE⊥平面PBC；

（2）求三棱錐E-ABD的體積。

14.（本小題滿分14分）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+3(n≥1)。

（1）求{a_n}的通項公式；

（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，證明：S_n>2^n-1對所有正整數(shù)n成立。

四、附加題（本大題共1小題，共10分。請根據(jù)要求作答）

15.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a在區(qū)間[-2,2]上存在唯一一個極小值點(diǎn)。

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若f(1)=0，求f(x)在[-2,2]上的最大值。

（考試結(jié)束）

八、選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

11.已知函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|，則g(x)的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

12.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，則數(shù)列的前4項和b_1+b_2+b_3+b_4的值為（）

A.60B.90C.120D.150

13.已知圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=4，則直線y=x+1與圓C的位置關(guān)系是（）

A.相交且過圓心B.相交但不過圓心C.相切D.相離

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的n為5，則輸出的S的值為（）

A.15B.20C.25D.30

15.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足2bc*cosA=ac+ab，則角B的大小為（）

A.π/3B.π/4C.π/6D.π/2

九、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡對應(yīng)位置）

16.某校高三年級有1000名學(xué)生，為了解學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10名學(xué)生的視力不良。則該校高三年級學(xué)生視力不良的估計人數(shù)為______。

17.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=2，cosC=1/3，則c的值為______。

18.已知函數(shù)h(x)=cos2x-sin2x，則h(x)的最小正周期為______。

19.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程為______。

20.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值為______。

十、解答題（本大題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)F(x)=xlnx-x2+1。

（1）求F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)；

（2）討論F(x)的單調(diào)性；

（3）若F(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值為m，求m的值。

22.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-2bc*cosA。

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若△ABC的面積為1/2，且b=√3，求a+c的值。

23.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，E為棱PC的中點(diǎn)。

（1）求證：平面ABE⊥平面PBC；

（2）求三棱錐E-ABD的體積。

24.（本小題滿分14分）已知數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_n+1=3b_n-2(n≥1)。

（1）求{b_n}的通項公式；

（2）設(shè)T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：T_n<3^n對所有正整數(shù)n成立。

十一、附加題（本大題共1小題，共10分。請根據(jù)要求作答）

25.已知函數(shù)g(x)=x3-3x2+2x+a在區(qū)間[-1,3]上存在唯一一個極大值點(diǎn)。

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若g(-1)=0，求g(x)在[-1,3]上的最小值。

一、選擇題答案

1.C

2.C

3.B

4.A

5.B

二、填空題答案

6.8

7.1/6

8.8

9.√2/2

10.2π

三、解答題答案

11.（1）f'(x)=e^x-a，令f'(x)=0得x=lna。當(dāng)x<lna時，f'(x)<0，f(x)遞減；當(dāng)x>lna時，f'(x)>0，f(x)遞增。所以f(x)在(-∞,lna)遞減，在(lna,+∞)遞增。

（2）f'(1)=e-a=0，得a=e。此時f(x)在x=1處取得極值。又f''(x)=e^x>0，所以f(x)在x=1處取得極小值。

12.（1）由2bc*cosA=ac+ab得2*cosA=a/b+c/b。由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA，代入得a2=b2+c2-(a+c)/b*b。整理得b2=ac。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入b2=ac得sin2B=sinA*sinC。又A+B+C=π，所以sinB=sinA*cosC+cosA*sinC=sin(A+C)=sinB。所以cosC=1/2，B=π/3。

（2）面積S=1/2*bc*sinA=1/2*bc*sin(π/3)=√3/4*bc。由b=2得bc=8/√3。又由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB，代入b=2和cosB=1/2得4=a2+c2-ac。聯(lián)立bc=8/√3得(a+c)2=16，所以a+c=4。

13.（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF。由PA⊥平面ABCD得PA⊥AD。又AD⊥AB，PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB。所以AD⊥PB。又AB⊥AD，AB⊥PB，AB∩AD=A，所以AB⊥平面PAD。所以AB⊥AF。又AB⊥平面PBC，AF?平面PAD，AF⊥AB，所以平面ABE⊥平面PBC。

（2）體積V=1/3*S_△ABD*PA=1/3*1/2*2*2=4/3。

14.（1）令a_n+1-2a_n=t_n，則t_n=3。又a_1=1，所以a_n=1+3(n-1)=3n-2。

（2）S_n=1+4+7+...+(3n-2)=n(1+3n-2)/2=3n2-n/2。要證3n2-n/2>2^n-1對n∈N*成立。當(dāng)n=1時，3>1。當(dāng)n=2時，8>3。當(dāng)n≥3時，3n2-n/2-2^n=(3n+1)(n-2)/2>0。所以原不等式成立。

十五、附加題答案

15.（1）g'(x)=3x2-6x+2。令g'(x)=0得x=1±√3/3。要使g(x)在[-2,2]上存在唯一一個極小值點(diǎn)，需g'(1+√3/3)g'(1-√3/3)<0。計算得g'(1+√3/3)<0，g'(1-√3/3)>0。所以a的取值范圍是(2-√3,2+√3)。

（2）g(1)=0，即1-2+3+a=0，得a=0。此時g(x)=x3-3x2+2x。g'(x)=3x(x-2)。令g'(x)=0得x=0或x=2。g(2)=0。g(-2)=-10。所以最大值為0。

十六、選擇題答案

11.B

12.C

13.B

14.C

15.A

十七、填空題答案

16.100

17.√7

18.π

19.x+y-3=0

20.1

十八、解答題答案

21.（1）F'(x)=lnx+1-2x。

（2）令F'(x)=0得x=1/e2。當(dāng)x<1/e2時，F(xiàn)'(x)>0；當(dāng)x>1/e2時，F(xiàn)'(x)<0。所以F(x)在(0,1/e2)遞增，在(1/e2,+∞)遞減。

（3）F(1/e2)=1/e2-1/e?+1≈0.582。F(1)=0。F(3)=3ln3-8+1≈-1.896。所以最大值m=1/e2+1≈1.582。

22.（1）由2*cosA=a/b+c/b得2*cosA=a/c+b/c。由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA，代入得a2=b2+c2-(a+c)/c*b。整理得b2=ac。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入b2=ac得sin2B=sinA*sinC。又A+B+C=π，所以sinB=sinA*cosC+cosA*sinC=sin(A+C)=sinB。所以cosC=1/2，B=π/3。

（2）面積S=1/2*bc*sinA=1/2*bc*sin(π/3)=√3/4*bc。由b=2得bc=8/√3。又由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB，代入b=2和cosB=1/2得4=a2+c2-ac。聯(lián)立bc=8/√3得(a+c)2=16，所以a+c=4。

23.（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF。由PA⊥平面ABCD得PA⊥AD。又AD⊥AB，PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB。所以AD⊥PB。又AB⊥AD，AB⊥PB，AB∩AD=A，所以AB⊥平面PAD。所以AB⊥AF。又AB⊥平面PBC，AF?平面PAD，AF⊥AB，所以平面ABE⊥平面PBC。

（2）體積V=1/3*S_△ABD*PA=1/3*1/2*2*2=4/3。

24.（1）令b_n+1-3b_n=t_n，則t_n=2。又b_1=2，所以b_n=2+2(n-1)=2n。

（2）T_n=2+4+6+...+2n=n(n+1)。要證n(n+1)<3^n對所有n∈N*成立。當(dāng)n=1時，2<3。當(dāng)n=2時，6<9。當(dāng)n≥3時，n(n+1)/3^n=(n+1)/(3^n/n)>(n+1)/(3*3^(n-1))=1/(3*3^(n-2))>1/9。所以原不等式成立。

二十五、附加題答案

25.（1）g'(x)=3x2-6x+2。令g'(x)=0得x=1±√3/3。要使g(x)在[-1,3]上存在唯一一個極大值點(diǎn)，需g'(1+√3/3)g'(1-√3/3)<0。計算得g'(1+√3/3)<0，g'(1-√3/3)>0。所以a的取值范圍是(2-√3,2+√3)。

（2）g(-1)=0，即-1-3+(-2)+a=0，得a=6。此時g(x)=x3-3x2+2x+6。g'(x)=3x(x-2)。令g'(x)=0得x=0或x=2。g(2)=4。g(-1)=0。g(3)=9。所以最小值為2。

知識點(diǎn)總結(jié)

三角函數(shù)：三角恒等變換、正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、圖像

數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和、數(shù)列的極限

函數(shù)：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值、函數(shù)的圖像、函數(shù)的零點(diǎn)

解析幾何：直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、圓錐曲線

概率統(tǒng)計：古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量及其分布、統(tǒng)計量的計算

立體幾何：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的體積計算、空間幾何體的位置關(guān)系

各題型考察知識點(diǎn)詳解及示例

選擇題：

1.考察函數(shù)的單調(diào)性，示例：判斷f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間。

2.考察復(fù)數(shù)的性質(zhì)，示例：已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z+1/z是實(shí)數(shù)，求z。

3.考察組合數(shù)的計算，示例：從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有1名女生的選法。

4.考察余弦定理的應(yīng)用，示例：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+b2-c2=ab，求cosC。

5.考察等差數(shù)列的性質(zhì)，示例：已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_3+a_9=10，求S_9。

填空題：

1.考察幾何體的體積計算，示例：某幾何體的三視圖如右圖所示，求該幾何體的體積。

2.考察條件概率的計算，示例：拋擲兩個骰子，記事件A為"點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)"，事件B為"點(diǎn)數(shù)之和大于8"，求P(A|B)。

3.考察函數(shù)的極值與最值，示例：已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差。

4.考察點(diǎn)到直線的距離公式，示例：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在曲線y=1/x上運(yùn)動，求點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值。

5.考