2025年大學(xué)本科二年級(jí)（統(tǒng)計(jì)學(xué)）多元統(tǒng)計(jì)分析試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本大題共10小題，每小題3分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.以下哪種方法不屬于多元統(tǒng)計(jì)分析中用于數(shù)據(jù)降維的方法？A.主成分分析B.因子分析C.聚類(lèi)分析D.對(duì)應(yīng)分析2.在主成分分析中，主成分的方差貢獻(xiàn)率反映了：A.該主成分包含原始變量信息的多少B.主成分之間的相關(guān)性C.原始變量之間的相關(guān)性D.主成分的個(gè)數(shù)3.因子分析中，公共因子與特殊因子的關(guān)系是：A.相互獨(dú)立B.相互關(guān)聯(lián)C.公共因子包含特殊因子D.特殊因子包含公共因子4.聚類(lèi)分析的結(jié)果受以下哪種因素影響較大？A.變量的量綱B.樣本的數(shù)量C.數(shù)據(jù)的分布D.以上都是5.判別分析的主要目的是：A.對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)B.尋找數(shù)據(jù)中的規(guī)律C.進(jìn)行數(shù)據(jù)降維D.分析變量之間的關(guān)系6.在多元線(xiàn)性回歸模型中，若存在多重共線(xiàn)性，會(huì)導(dǎo)致：A.參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確B.模型預(yù)測(cè)精度提高C.殘差平方和減小D.以上都不對(duì)7.典型相關(guān)分析主要研究的是：A.兩組變量之間的相關(guān)性B.多個(gè)變量之間的相關(guān)性C.變量與樣本之間的關(guān)系D.樣本與樣本之間的關(guān)系8.以下關(guān)于主成分分析和因子分析的說(shuō)法，正確的是：A.主成分分析中主成分是原始變量的線(xiàn)性組合，因子分析中因子是不可觀測(cè)的潛在變量B.主成分分析和因子分析都可以用于數(shù)據(jù)降維C.主成分分析中主成分的個(gè)數(shù)是人為確定的，因子分析中因子的個(gè)數(shù)是通過(guò)特定方法確定的D.以上說(shuō)法都正確9.在聚類(lèi)分析中，若采用歐氏距離作為度量樣本間距離的方法，以下哪種情況兩個(gè)樣本距離更近？A.樣本1：(1,2)，樣本2：(3,4)B.樣本3：(5,6)，樣本4：(7,8)C.樣本1和樣本3D.樣本距離一樣近10.判別分析中，以下哪種判別方法不需要事先知道各類(lèi)別的分布參數(shù)？A.距離判別法B.Fisher判別法C.Bayes判別法D.以上都需要第II卷（非選擇題共70分）二、填空題（共15分）答題要求：本大題共5小題，每小題3分。把答案填在題中的橫線(xiàn)上。1.主成分分析中，第i個(gè)主成分的表達(dá)式為$Y_i=\sum_{j=1}^{p}a_{ij}X_j$，其中$a_{ij}$稱(chēng)為_(kāi)_______________。2.因子分析的數(shù)學(xué)模型中，$X_i=\sum_{j=1}^{m}b_{ij}F_j+\epsilon_i$，$F_j$是________________，$\epsilon_i$是________________。3.聚類(lèi)分析中，常用的類(lèi)間距離定義方法有________________、________________等（寫(xiě)出兩種即可）。4.判別分析中，若已知總體$G_i$的均值向量$\mu_i$和協(xié)方差矩陣$\Sigma_i$，$i=1,2,\cdots,k$，則Bayes判別函數(shù)為_(kāi)_______________。5.典型相關(guān)分析中，第一對(duì)典型變量$U_1$和$V_1$滿(mǎn)足________________。三、簡(jiǎn)答題（共20分）答題要求：本大題共4小題，每小題5分。簡(jiǎn)要回答問(wèn)題。1.簡(jiǎn)述主成分分析的基本思想。2.因子分析中如何確定公共因子的個(gè)數(shù)？3.聚類(lèi)分析有哪些常用的方法？4.判別分析中距離判別法的基本原理是什么？四、計(jì)算題（共20分）答題要求：本大題共2小題，每小題10分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。材料：已知有三個(gè)變量$X_1$、$X_2$、$X_3$，其相關(guān)系數(shù)矩陣為$R=\begin{pmatrix}1&0.8&0.6\\0.8&1&0.4\\0.6&0.4&1\end{pmatrix}$。1.求該相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，并確定主成分。2.計(jì)算主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率。五、綜合分析題（共15分）答題要求：本大題共1小題。結(jié)合材料進(jìn)行分析解答。材料：在一項(xiàng)市場(chǎng)調(diào)研中，收集了10個(gè)品牌的產(chǎn)品在價(jià)格（$X_1$）、質(zhì)量（$X_2$）、銷(xiāo)量（$X_3$）、口碑（$X_4$）四個(gè)方面的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)分析，以了解品牌之間的相似性。1.簡(jiǎn)述聚類(lèi)分析在該市場(chǎng)調(diào)研中的作用。2.若采用系統(tǒng)聚類(lèi)法，寫(xiě)出聚類(lèi)的步驟。3.分析聚類(lèi)結(jié)果可能對(duì)市場(chǎng)決策產(chǎn)生的影響。答案：一、選擇題1.C2.A3.A4.D5.A6.A7.A8.D9.A10.A二、填空題1.主成分系數(shù)2.公共因子；特殊因子3.最短距離法、最長(zhǎng)距離法等4.$W(x)=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{|\Sigma_i|}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i)}P(G_i)$5.它們之間的相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大三、簡(jiǎn)答題1.主成分分析的基本思想是通過(guò)線(xiàn)性變換，將原始的多個(gè)相關(guān)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的主成分，這些主成分是原始變量的線(xiàn)性組合，且盡可能多地保留了原始變量的信息，同時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維。2.確定公共因子個(gè)數(shù)的方法有：根據(jù)特征值，一般選取特征值大于1的因子；根據(jù)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率，當(dāng)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到一定比例（如80%-85%）時(shí)對(duì)應(yīng)的因子個(gè)數(shù)；還可以通過(guò)碎石圖等直觀方法輔助確定。3.常用的聚類(lèi)方法有：層次聚類(lèi)法（包括系統(tǒng)聚類(lèi)法等）、K-均值聚類(lèi)法、模糊聚類(lèi)法等。4.距離判別法基本原理是：計(jì)算樣本到各類(lèi)別總體均值的距離，將樣本判歸到距離最近的總體。若樣本$x$到總體$G_i$的均值$\mu_i$的距離$d(x,\mu_i)$小于到其他總體均值的距離，則將樣本$x$判歸為總體$G_i$。四、計(jì)算題1.首先求特征值和特征向量：-計(jì)算特征方程$|\lambdaI-R|=0$，解得特征值$\lambda_=2.4$，$\lambda_2=0.6$，$\lambda_3=0$。-對(duì)于特征值$\lambda_1=2.4$，解方程組$(\lambda_1I-R)a=0$，得到特征向量$a_1=\begin{pmatrix}0.577\\0.577\\0.577\end{pmatrix}$。-對(duì)于特征值$\lambda_2=0.6$，解方程組$(\lambda_2I-R)a=0$，得到特征向量$a_2=\begin{pmatrix}-0.577\\-0.577\\0.577\end{pmatrix}$。-主成分：$Y_1=0.577X_1+0.577X_2+0.577X_3$，$Y_2=-0.577X_1-0.577X_2+0.57?X_3$。2.方差貢獻(xiàn)率：-第一主成分方差貢獻(xiàn)率：$\frac{\lambda_1}{\sum_{i=1}^{3}\lambda_i}=\frac{2.4}{3}=0.8$。-第二主成分方差貢獻(xiàn)率：$\frac{\lambda_2}{\sum_{i=1}^{3}\lambda_i}=\frac{0.6}{3}=0.2$。-累計(jì)方差貢獻(xiàn)率：$0.8+0.2=1$。五、綜合分析題1.聚類(lèi)分析在該市場(chǎng)調(diào)研中的作用：可以將10個(gè)品牌根據(jù)價(jià)格、質(zhì)量、銷(xiāo)量、口碑等方面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)，了解品牌之間的相似性和差異性，為市場(chǎng)細(xì)分、目標(biāo)市場(chǎng)選擇、產(chǎn)品定位等決策提供依據(jù)。2.系統(tǒng)聚類(lèi)法步驟：-計(jì)算10個(gè)品牌之間的距離矩陣（如歐氏距離）。-初始每個(gè)品牌自成一類(lèi)。-合并距離最近的兩類(lèi)，重新計(jì)算新類(lèi)與其他類(lèi)的距離，