2025年大學(xué)本科二年級(jí)（統(tǒng)計(jì)學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)綜合試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本大題共10小題，每小題3分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}將會(huì)（）A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.保持不變D.增減不定2.已知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且它們的分布函數(shù)分別為F_X(x)和F_Y(y)，則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)F_Z(z)為（）A.F_X(z)+F_Y(z)B.F_X(z)F_Y(z)C.1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))D.min(F_X(z),F_Y(z))3.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值X?的數(shù)學(xué)期望E(X?)為（）A.λB.nλC.λ/nD.n2λ4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則關(guān)于X的邊緣概率密度f_X(x)為（）A.∫f(x,y)dyB.∫f(x,y)dxC.f(x,y)D.15.已知隨機(jī)變量X的方差D(X)=4，Y=2X+3，則D(Y)等于（）A.4B.8C.16D.206.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則θ的矩估計(jì)量為（）A.X?B.2X?C.nX?/(n-1)D.(n+1)X?/n7.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則P{X<1.96}的值為（）A.0.95B.0.975C.0.025D.0.058.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列式子中正確的是（）A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A-B)=P(A)-P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A|B)=P(AB)/P(B)9.設(shè)總體X的均值為μ，方差為σ2，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，樣本方差S2=1/(n-1)∑(X_i-X?)2，則E(S2)等于（）A.σ2B.nσ2C.σ2/nD.(n-1)σ210.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，且f(x)為偶函數(shù)，則E(X)的值為（）A.0B.1C.2D.無法確定第II卷（非選擇題共70分）二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）答題要求：把答案填在題中橫線上。11.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則P{X>1}=________。12.已知隨機(jī)變量X的分布列為P{X=k}=C(5,k)(1/3)^k(2/3)^(5-k)，k=0,1,2,3,4,5，則C=________。13.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(1,4)，X_1,X_2,X_3是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則(X_1+X_2+X_3)/3服從的分布為________。14.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{X=i,Y=j}=1/6，i=1,2，j=1,2，則X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=________。15.設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0-1分布，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則p的極大似然估計(jì)量為________。三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）答題要求：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)={kx2,|x|<1;0,其他}，求：(1)常數(shù)k；(2)P{-1/2<X<1/2}；(3)X的分布函數(shù)F(x)。17.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={2e^(-x-2y),x>0,y>0;0,其他}，求：(1)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f_X(x)和f_Y(y)；(2)判斷X與Y是否相互獨(dú)立；(3)P{X<Y}。18.設(shè)總體X的概率密度為f(x)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0為未知參數(shù)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求θ的極大似然估計(jì)量。四、綜合題（本大題共1小題，15分）材料：某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測(cè)得樣本均值X?=16，樣本方差S2=9。答題要求：(1)求總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；(2)在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)假設(shè)H_0:μ=15，H_1:μ≠15。（已知t_{0.025}(24)=2.0639，z_{0.025}=1.96）五、證明題（本大題共1小題，5分）答題要求：證明應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，證明：Z=X2+Y2服從自由度為2的χ2分布。答案：1.C解析：P{|X-μ|<σ}=P{μ-σ<X<μ+σ}，其值只與正態(tài)分布的參數(shù)有關(guān)，與σ大小無關(guān)，所以保持不變。2.C解析：F_Z(z)=P{Z≤z}=P{max(X,Y)≤z}=P{X≤z,Y≤z}=F_X(z)F_Y(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))。3.A解析：E(X?)=E(X)=λ。4.A解析：f_X(x)=∫f(x,y)dy。5.C解析：D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16。6.B解析：E(X)=θ/2，令θ/2=X?，得θ=2X?。7.B解析：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得P{X<1.96}=0.975。8.D解析：根據(jù)條件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。9.A解析：E(S2)=σ2。10.A解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以E(X)=∫xf(x)dx=0。11.e^(-2)解析：P{X>1}=∫(1到+∞)2e^(-2x)dx=e^(-2)。12.1解析：由二項(xiàng)分布概率和為二項(xiàng)式展開式系數(shù)和，可得C=1。13.N(1,4/3)解析：(X_1+X_2+X_3)/3服從N(1,4/3)。14.0解析：先求E(X)、E(Y)、E(XY)，再根據(jù)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)計(jì)算得0。15.X?解析：似然函數(shù)L(p)=p^∑X_i(1-p)^(n-∑X_i)，對(duì)p求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，解得p的極大似然估計(jì)量為X?。16.(1)由∫(-1到1)kx2dx=1，解得k=3/2；(2)P{-1/2<X<1/2}=∫(-1/2到1/2)3/2x2dx=1/4；(3)當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)-1≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫(-1到x)3/2t2dt=1/2x3+1/2；當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=1。17.(1)f_X(x)=∫(0到+∞)2e^(-x-2y)dy=2e^(-x)，x>0；f_Y(y)=∫(0到+∞)2e^(-x-2y)dx=2e^(-2y)，y>0；(2)因?yàn)閒(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，所以X與Y相互獨(dú)立；(3)P{X<Y}=∫(0到+∞)∫(0到y(tǒng))2e^(-x-2y)dxdy=1/3。18.似然函數(shù)L(θ)=θ^n(∏X_i)^(θ-1)，取對(duì)數(shù)lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑lnX_i，對(duì)θ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，解得θ的極大似然估計(jì)量為n/(-∑lnX_i)。19.因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，則X2服從自由度為1的χ2分布，Y2服從自由度為1的χ2分布，根據(jù)χ2分布的可加性，Z