/廣東省清遠市博愛學校高中部2025?2026學年高二上學期12月教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷一、單選題1．已知等差數(shù)列的公差為1，，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20242．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．3．在空間直角坐標系中，已知，，則點B的坐標是A． B．C． D．4．三棱錐中，點面，且，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．5．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．2 C．3 D．6．直線（其中）被圓所截得的最短弦長等于（

）A． B． C． D．7．直線l：（參數(shù)，）的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知為坐標原點，雙曲線的左焦點為，右頂點為；過點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，且，直線與雙曲線的左支交于點，則的大小為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若三條直線l1：，l2：，l3：有2個公共點，則實數(shù)a的值可以為（

）A． B． C．1 D．210．已知曲線C：，則下列結論正確的是（

）A．若，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若，則C是圓，其半徑C．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則C是兩條直線11．如圖，在棱長為3的正四面體中，O為的中心，D為的中點，，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．過點作直線與交于A，B兩點，若，則直線的傾斜角為.13．若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是.14．如圖①是直角梯形，，，是邊長為1的菱形，且，以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，是線段上的動點，則到距離最小值為．四、解答題15．棱長為2的正四面體中，設，，．M，N分別是棱的中點．（1）用向量，，表示；（2）求．16．已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在拋物線上，且.（1）求焦點的坐標；（2）若過點的直線與只有一個交點，求的方程.17．如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．已知橢圓：（）．（1）若橢圓的焦距為6，求的值；（2）設，若橢圓上兩點M，N滿足，求點N橫坐標取最大值時的值．19．已知項數(shù)為m（，）的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”.（1）數(shù)列4，10，16，19是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”，若不存在，說明理由；（2）若為的“伴隨數(shù)列”，證明：；（3）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，且，，求m的最大值.

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意得.故選B.2．【答案】C【詳解】先將拋物線方程化為標準形式，再求焦點坐標.【詳解】由得，所以拋物線為開口向上的拋物線，且，所以焦點坐標為，故選C3．【答案】C【詳解】根據(jù)空間向量的坐標運算即可求解.【詳解】設，，則，而，所以，解得，所以，故選C.4．【答案】D【詳解】由題意三棱錐中，點面，且，所以，解得.故選D.5．【答案】A【詳解】因為，，所以，，，，……，所以數(shù)列的周期為，所以.故選A.6．【答案】B【詳解】因為可化為，所以直線恒過定點，由圓知圓心，半徑，由圓的幾何性質(zhì)知，當與直線垂直時，直線被圓所截得弦最短，此時弦長為,故選B7．【答案】B【詳解】直線，因為，所以，設直線的傾斜角為，則直線的斜率，因為，所以，或.故選B.8．【答案】B【詳解】如下圖所示：不妨取漸近線，則左焦點到漸近線距離；又，于是，可得,故離心率，因此漸近線方程為，直線斜率為1，其方程為，可得，又，則，所以直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程整理可得；易知是該方程的一個實數(shù)根，另一根即為；所以，可得，于是軸，又因為所以．故選B9．【答案】BD【詳解】由題意可得，三條直線中，有兩條直線相互平行，l1：的斜率為，l2：的斜率為，所以不平行，若平行，則，解得：，若平行，則，解得：，綜上：實數(shù)a的值為或.故選BD.10．【答案】ABD【詳解】對于A，若，則故曲線C：，即，表示橢圓，其焦點在y軸上，A正確；對于B，若，則曲線C：，即，表示半徑為的圓，B正確；對于C，若，不妨設，則曲線C：，即，表示焦點在x軸上的雙曲線則，故漸近線方程為，即，C錯誤；對于D，若，曲線C：，即，即，則C是兩條直線，D正確，故選ABD11．【答案】ABD【詳解】連接，，，對于選項A：因為，，故A正確；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項CD：，故C錯誤，D正確；故選ABD.12．【答案】【詳解】因為拋物線的焦點坐標，準線為，則直線過拋物線的焦點，且由題意可知直線的斜率不為0，不妨設直線為，，，聯(lián)立，消去，得，易知，則，故，因為，所以，即，故，所以直線的方程為，則直線的傾斜角為.13．【答案】【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，即或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.14．【答案】【詳解】折起前，連接菱形的對角線交于點，所以，所以折起后有，因為菱形的邊長為1，所以，又因為，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四邊形的面積固定，若以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，則此時點到平面的距離最大，則此時有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以兩兩互相垂直，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系：則，過點作于點，則，又因為，所以，即，所以，因為三點共線，所以不妨設，所以點到直線的距離，所以當時，，所以到距離最小值為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）連接，所以，因為，，，所以.（2）因為正四面體的邊長為，所以的夾角為，，所以，.16．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）因為拋物線，，所以，所以，可得所以焦點的坐標.（2）因為點在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過點的直線與只有一個交點，直線斜率不存在不合題意；設直線與有且只有一個交點，由，得，當時，，即，即，當時，，只有一個根符合題意；所以的方程為或，即或.17．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因為平面，所以平面．因為平面，所以．因為為的中點，且是等邊三角形，所以．因為平面，且，所以平面．（2）取的中點，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，故．設平面的法向量為，則令，得．設平面的法向量為，則令，得．設平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．18．【答案】（1）12（2）20【詳解】（1）設焦距為，則，解得．（2）要使點的橫坐標最大，需直線斜率存在．設，與橢圓聯(lián)立得，由韋達定理：．由知，故，要使點的橫坐標最大，在這里不妨取，所以，當且僅當時，等號成立．當時，，即，此時．19．【答案】（1）存在，“伴隨數(shù)列”是15,13,11,10（2）見詳解（3）的最大值為【詳解】（1），,,，均為正整數(shù)，所以數(shù)列4，10，16，19存在“伴隨數(shù)列”，且其“伴隨數(shù)列”是15,13,11,10.（2）因為數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，所以，且，