/山東省菏澤市鄆城縣第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．2．若是空間的一個(gè)基底，則也可以作為該空間基底的是（

）A． B．C． D．3．等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若，，成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)和為（

）A． B． C．3 D．84．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.在陽(yáng)馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C．2 D．35．在數(shù)列中，若，，則（

）A． B． C．1 D．46．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．7．如圖，平面平面，是正三角形，四邊形是正方形，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡是（

）A． B．C． D．8．?dāng)?shù)列擴(kuò)充是指在一個(gè)有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項(xiàng)得到一個(gè)新的數(shù)列，擴(kuò)充的次數(shù)記為.擴(kuò)充規(guī)則為每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的平均數(shù).現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，3；第2次得到數(shù)列1，，2，，3；…依次構(gòu)造，記第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則（）A．510 B．514 C．1022 D．1026二、多選題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A． B． C． D．10．已知直線和圓相交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．的最小值為3C．的最小值為D．圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則11．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、填空題12．達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂(lè)一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到直線的距離是.13．?dāng)?shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則.14．已知、、，若的周長(zhǎng)為，則的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．四、解答題15．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．16．已知橢圓過(guò)點(diǎn).（1）若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；（2）已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.17．在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列?若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)外），分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的最大角為30°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

參考答案1．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.2．【答案】C【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，易知，則A項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于B項(xiàng)，易知，則B項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于D項(xiàng)，易知，則D項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于C項(xiàng)，易知不共面，即C正確.故選C3．【答案】A【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，又，所以，整理得，因?yàn)椋?，所以?shù)列前6項(xiàng)的和為.故選A4．【答案】C【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因?yàn)?，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選C.5．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計(jì)算即得.【詳解】在數(shù)列中，由，，得，，，因此數(shù)列是周期性數(shù)列，周期為3，所以.故選：A6．【答案】C【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，根據(jù)條件可得，則可得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義可得：.因?yàn)椋?而.在直角三角形ABC中，,解得：．故選C7．【答案】A【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，因平面平面，由可得，因平面平面，平面，故平面，易得，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨取，則，則，．由點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，排除C，D．又點(diǎn)不在直線上，故排除B，而點(diǎn)在直線上，故A正確．故選A.8．【答案】B【詳解】設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為1，，3，則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，，，…，，，3，于是，，顯然，而，因此數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以.故選B.9．【答案】AB【詳解】由，可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得．故選AB.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，直線，即，由解得，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確，對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)與圓心的距離為，所以的最小值為，此時(shí)直線垂直于軸，故此時(shí)無(wú)最小值，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時(shí)，取得最小值為，所以C正確，對(duì)于D，若圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯(cuò)誤.故選AC11．【答案】BD【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選BD．12．【答案】【詳解】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點(diǎn)到直線的距離是.13．【答案】【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.14．【答案】【詳解】由題意可得，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），設(shè)其方程為，則，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：

因?yàn)椋庶c(diǎn)在橢圓外，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，且、方向相同時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn).15．【答案】（1）（2）見(jiàn)詳解【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴16．【答案】（1）（2）2【詳解】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓.因?yàn)橹本€與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，代入橢圓方程可得此時(shí)線段.若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：.由直線與相切，故，可得：.聯(lián)立得，所以，線段.又因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.17．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．【答案】（1）（2）不存在，理由見(jiàn)詳解【詳解】（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，．由，可得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，亦符合，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，故．（2）在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列，理由如下：由（1）可得，依題意得，假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列，則，即整理得：①又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，則，代入①式整理得：，即，化簡(jiǎn)得，即，而m，k，p成等差數(shù)列，即，又因?yàn)椋?，為不同的三?xiàng)，，故假設(shè)不成立．因此，在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，先明平面平面，再證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用用向量數(shù)量積計(jì)算直線與平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量數(shù)量積求二