2026屆上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、盧高、東昌等七校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.244．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則：①．圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為②．圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為③．若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的有（）個(gè)A.1 B.2C.3 D.45．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，6．已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.7．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒(méi)有次品 D.至少一件次品8．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.110．設(shè)，，且，則等于（）A. B.C. D.11．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A. B.C. D.12．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)___________14．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_________；直線__________過(guò)定點(diǎn).15．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其中，，，則______16．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若恰好是的中點(diǎn)，求直線的方程.21．（12分）已知空間三點(diǎn).（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長(zhǎng)和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標(biāo).22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出小明等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車的時(shí)長(zhǎng)，即可計(jì)算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B2、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解【詳解】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，所以，又，所以故選：B4、A【解析】由題意求出的垂直平分線可得△的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率判斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故①錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過(guò)與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯(cuò)誤故選：A5、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.7、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒(méi)有次品“故選：C8、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問(wèn)題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.9、B【解析】計(jì)算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計(jì)算，判斷為否，計(jì)算，輸出.故選：B.10、A【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.11、B【解析】取即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，不等式為故選：B12、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用兩條直線平行的充要條件，列式求解即可【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得故答案為：14、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：；.15、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1516、【解析】，而，所以，，故填：.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為18、（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對(duì)參數(shù)分類討論，即可由每種情況下的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意求得，利用進(jìn)行放縮，只需證即，再利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)證明從而得到恒成立，則問(wèn)題得解.【小問(wèn)1詳解】以為，其定義域?yàn)?，又，故?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故在恒成立，即；因?yàn)?，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，也即；令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的處理；本題第二問(wèn)處理的關(guān)鍵是通過(guò)分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，屬綜合困難題.19、（1）證明見(jiàn)詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡(jiǎn)變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）把的通項(xiàng)公式代入，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.20、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關(guān)系，在雙曲線中方程是非標(biāo)準(zhǔn)的方程，注意套公式時(shí)容易出錯(cuò).（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得斜率值.【小問(wèn)1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),橢圓，雙曲線.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P,Q恰好重合，坐標(biāo)為，所以不符合條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達(dá)定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達(dá)定理得，所以由于是的中點(diǎn)，所以,所以，即，化簡(jiǎn)得，所以直線方程為或.21、（1）周長(zhǎng)為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長(zhǎng)，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)為.因?yàn)?，因?yàn)椋?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標(biāo)為或.22、（1）；（2）最大值為.【解析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的斜率為k，則令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)因，所以于是，所以則直線的斜率為當(dāng)且僅當(dāng)，