張量網(wǎng)絡(luò)方法：解鎖量子自旋液體的多體奧秘一、引言1.1研究背景與意義量子自旋液體（QuantumSpinLiquid，QSL）與張量網(wǎng)絡(luò)方法（TensorNetworkMethod）在當(dāng)今凝聚態(tài)物理研究領(lǐng)域占據(jù)著舉足輕重的地位。自1973年菲利普?安德森提出量子自旋液體概念以來(lái)，這種特殊的量子物質(zhì)形態(tài)便吸引了眾多物理學(xué)家的目光。量子自旋液體的獨(dú)特之處在于，即使溫度降至絕對(duì)零度，其自旋系統(tǒng)也不會(huì)形成長(zhǎng)程磁有序，而是保持一種高度糾纏的量子無(wú)序態(tài)。這種特殊性質(zhì)使其超越了傳統(tǒng)的朗道對(duì)稱破缺理論框架，為凝聚態(tài)物理研究開(kāi)辟了全新的方向。量子自旋液體中存在的分?jǐn)?shù)化激發(fā)、拓?fù)湫虻刃缕媪孔蝇F(xiàn)象，不僅豐富了人們對(duì)物質(zhì)微觀世界的認(rèn)識(shí)，還在量子信息處理、拓?fù)淞孔佑?jì)算等前沿領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。張量網(wǎng)絡(luò)方法作為處理量子多體系統(tǒng)的一類強(qiáng)有力的數(shù)值方法，近年來(lái)在凝聚態(tài)物理研究中發(fā)揮著日益重要的作用。量子多體系統(tǒng)的波函數(shù)通常位于一個(gè)極高維的希爾伯特空間中，其描述的復(fù)雜度隨著系統(tǒng)中粒子數(shù)目的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，這使得直接處理變得極為困難。張量網(wǎng)絡(luò)方法巧妙地利用量子態(tài)的局部糾纏性，將復(fù)雜的波函數(shù)分解為多個(gè)低維張量的網(wǎng)絡(luò)，從而大大減少了存儲(chǔ)需求和計(jì)算復(fù)雜度。通過(guò)這種方式，張量網(wǎng)絡(luò)方法能夠有效地處理量子多體系統(tǒng)中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和量子糾纏，為研究量子自旋液體等復(fù)雜量子體系提供了有力的工具。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法研究量子自旋液體具有多方面的重要意義。量子自旋液體是一種高度糾纏的量子態(tài)，其多體量子態(tài)的復(fù)雜性使得傳統(tǒng)的研究方法面臨巨大挑戰(zhàn)。張量網(wǎng)絡(luò)方法能夠精確地描述量子態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu)，通過(guò)構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)來(lái)逼近量子自旋液體的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，從而深入研究其量子特性。這有助于我們更全面地理解量子自旋液體的物理本質(zhì)，揭示其中隱藏的量子規(guī)律。量子自旋液體作為一種新型的量子材料，具有許多獨(dú)特的物理性質(zhì)，有望在未來(lái)的量子技術(shù)中得到應(yīng)用。通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)量子自旋液體的研究，可以為實(shí)驗(yàn)上尋找和制備新型量子材料提供理論指導(dǎo)。通過(guò)理論計(jì)算預(yù)測(cè)量子自旋液體在不同條件下的物理性質(zhì)，為實(shí)驗(yàn)人員提供有價(jià)值的參考，加速新型量子材料的研發(fā)進(jìn)程。量子計(jì)算是當(dāng)今科技領(lǐng)域的熱門(mén)研究方向之一，而量子自旋液體中的拓?fù)湫蚝头謹(jǐn)?shù)化激發(fā)等特性使其成為實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算的理想候選者。張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子計(jì)算模擬中具有重要應(yīng)用，通過(guò)對(duì)量子自旋液體的張量網(wǎng)絡(luò)模擬，可以深入研究其在量子計(jì)算中的潛在應(yīng)用，為推動(dòng)量子計(jì)算技術(shù)的發(fā)展提供理論支持。例如，研究量子自旋液體中的任意子激發(fā)及其相互作用，有望為量子比特的設(shè)計(jì)和量子算法的優(yōu)化提供新的思路。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀量子自旋液體的研究最早可追溯到1973年，菲利普?安德森提出量子自旋液體的概念，他考慮三角格子上海森堡反鐵磁自旋相互作用系統(tǒng)的基態(tài)，將其稱為共振價(jià)鍵態(tài)（RVB），基本圖像是格點(diǎn)上的自旋先配對(duì)成自旋單態(tài)，再相干疊加成RVB態(tài)。但在最初的十四年里，該概念未受到太多關(guān)注，后來(lái)研究表明這種形式并不正確。1986年高溫超導(dǎo)電性的發(fā)現(xiàn)重新激發(fā)了人們對(duì)量子自旋液體的興趣，1987年安德森及合作者提出特殊形式的RVB態(tài)，并認(rèn)為高溫超導(dǎo)電性源于對(duì)這些RVB態(tài)的摻雜，引發(fā)了高溫超導(dǎo)機(jī)理研究的熱潮，同年，量子自旋液體自身研究也迎來(lái)新熱情，贗費(fèi)米子（現(xiàn)稱自旋子）、手性自旋液體等概念被引入，并與拓?fù)湫再|(zhì)建立緊密聯(lián)系，拓?fù)湫蚋拍钜矐?yīng)運(yùn)而生。不過(guò)，這一時(shí)期量子自旋液體的研究主要集中在理論方面，且人們對(duì)其能否在現(xiàn)實(shí)物理系統(tǒng)中存在持懷疑態(tài)度，如1988年提出的方格子量子二聚化模型，其量子自旋液體相很快被證明不穩(wěn)定。2000年之后，量子自旋液體的研究取得重要進(jìn)展。Senthil和Fisher發(fā)現(xiàn)某些具有量子分?jǐn)?shù)和拓?fù)湫虻淖孕优c伊辛格點(diǎn)規(guī)范理論緊密相關(guān)，Moessner和Sondhi證明三角格子量子二聚化模型有穩(wěn)定的自旋液體態(tài)。2003年Kitaev提出toriccode模型，該模型的拓?fù)湎嘣诹孔佑?jì)算中有重要應(yīng)用，2006年他又在honeycomb格點(diǎn)上構(gòu)造出有精確解且具有穩(wěn)定無(wú)能隙量子自旋液體相的自旋模型，這些工作消除了人們對(duì)量子自旋液體態(tài)是否存在的疑惑。此后，理論上人們進(jìn)一步探索量子自旋液體態(tài)的各種可能形式以及與拓?fù)涞木o密關(guān)系；實(shí)驗(yàn)上，積極尋找可能具有量子自旋液體態(tài)的候選材料和確認(rèn)量子自旋液體態(tài)的實(shí)驗(yàn)信號(hào)，至今相關(guān)研究仍在持續(xù)進(jìn)行且發(fā)展迅速。張量網(wǎng)絡(luò)方法的發(fā)展也經(jīng)歷了多個(gè)階段。隨著量子物理的發(fā)展，求解量子多體體系時(shí)，傳統(tǒng)解析方法因方程復(fù)雜大多失效，平均場(chǎng)近似等引入近似的方法雖能簡(jiǎn)化問(wèn)題，但近似程度大，需抓住物理系統(tǒng)本質(zhì)，否則誤差極大。計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展為研究復(fù)雜物理問(wèn)題提供了新手段，數(shù)值模擬成為物理學(xué)重要研究范式，但關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度隨系統(tǒng)尺寸指數(shù)增長(zhǎng)，出現(xiàn)“指數(shù)墻”或“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。為突破這一難題，張量網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)運(yùn)而生，它將指數(shù)級(jí)復(fù)雜的數(shù)學(xué)表示寫(xiě)為由多個(gè)局域張量構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)模型，使計(jì)算復(fù)雜度僅隨系統(tǒng)尺寸多項(xiàng)式級(jí)增長(zhǎng)，還可借助平移對(duì)稱性等技巧處理無(wú)窮大尺寸的量子體系。在二十多年的發(fā)展中，張量網(wǎng)絡(luò)被成功應(yīng)用于研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)相變、量子自旋液體、拓?fù)湫虻刃缕嫖锢憩F(xiàn)象。在國(guó)內(nèi)，眾多科研團(tuán)隊(duì)在量子自旋液體和張量網(wǎng)絡(luò)方法的研究中取得了一系列成果。中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所李偉課題組通過(guò)自主發(fā)展的有限溫度張量重正化群方法，解析了α-RuCl?的量子磁性“基因”，發(fā)現(xiàn)其中存在很強(qiáng)的Kitaev相互作用，并預(yù)言了在35-100特斯拉高磁場(chǎng)下存在自旋液體中間相，還與日本東京大學(xué)國(guó)際強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)室合作，利用兆高斯級(jí)強(qiáng)磁場(chǎng)驗(yàn)證了理論預(yù)言。謝志遠(yuǎn)教授團(tuán)隊(duì)用張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)方法研究三角晶格上的阻挫量子自旋系統(tǒng)，證實(shí)了120度反鐵磁長(zhǎng)程序的存在性，在加入自旋軌道耦合引起的多分量阻挫后，雖未進(jìn)入自旋軌道液體相，但序參量被強(qiáng)烈壓制，意味著在高對(duì)稱性系統(tǒng)中尋求量子自旋軌道液體是可能實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)還實(shí)現(xiàn)了可精確研究三維統(tǒng)計(jì)模型的虛時(shí)演化方法。國(guó)際上，科研人員也在不斷深入探索。在量子自旋液體材料研究方面，不斷有新的候選材料被發(fā)現(xiàn)和研究，如對(duì)Na?Co?TeO?的研究確定了其在面內(nèi)磁場(chǎng)下能誘導(dǎo)出磁無(wú)序態(tài)，并構(gòu)造了包含量子自旋液體相的完整相圖。在張量網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用上，不斷拓展其在不同量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用，探索更高效的算法和新的應(yīng)用領(lǐng)域。盡管量子自旋液體和張量網(wǎng)絡(luò)方法的研究取得了顯著進(jìn)展，但仍面臨諸多問(wèn)題和挑戰(zhàn)。在量子自旋液體研究中，理論上，量子自旋液體難以直接且正面定義，雖普遍認(rèn)為其是高度糾纏態(tài)，但本質(zhì)上仍基于波函數(shù)且通過(guò)否定方式定義，缺乏直接觀測(cè)手段；實(shí)驗(yàn)上，確認(rèn)量子自旋液體的直接信號(hào)仍未探測(cè)到，尋找確切的量子自旋液體材料仍面臨困難，且實(shí)際材料存在多種復(fù)雜因素，干擾對(duì)其中量子磁性物態(tài)的理解。在張量網(wǎng)絡(luò)方法研究中，高維系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度仍然較高，張量收縮計(jì)算在二維或更高維系統(tǒng)中變得非常復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算效率低下；對(duì)于非常強(qiáng)的糾纏系統(tǒng)或遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)，張量網(wǎng)絡(luò)方法的表現(xiàn)可能不如其他數(shù)值方法有效；不同的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)適用于不同類型的物理問(wèn)題，選擇合適的結(jié)構(gòu)需要一定的經(jīng)驗(yàn)和嘗試，缺乏通用的選擇準(zhǔn)則。1.3研究目標(biāo)與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在深入探究量子自旋液體的張量網(wǎng)絡(luò)方法，通過(guò)構(gòu)建和優(yōu)化張量網(wǎng)絡(luò)模型，精確刻畫(huà)量子自旋液體的量子態(tài)和物理性質(zhì)，為量子自旋液體的研究提供新的理論工具和方法。具體研究目標(biāo)包括：構(gòu)建高精度張量網(wǎng)絡(luò)模型：針對(duì)量子自旋液體的復(fù)雜量子態(tài)，構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，如投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）、多尺度糾纏重整化近似（MERA）等，通過(guò)優(yōu)化張量網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，提高對(duì)量子自旋液體基態(tài)和激發(fā)態(tài)的描述精度。研究量子自旋液體的拓?fù)湫再|(zhì)：利用張量網(wǎng)絡(luò)方法研究量子自旋液體中的拓?fù)湫蚝头謹(jǐn)?shù)化激發(fā)，通過(guò)計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?，如拓?fù)浼m纏熵、陳數(shù)等，深入理解量子自旋液體的拓?fù)湫再|(zhì)及其與量子糾纏的關(guān)系。探索量子自旋液體的相變行為：借助張量網(wǎng)絡(luò)方法研究量子自旋液體在外界條件（如溫度、磁場(chǎng)、壓力等）變化下的相變行為，分析相變的臨界性質(zhì)和普適類，揭示量子自旋液體相變的微觀機(jī)制。開(kāi)發(fā)高效的張量網(wǎng)絡(luò)算法：針對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中的關(guān)鍵問(wèn)題，如張量收縮、優(yōu)化算法等，開(kāi)發(fā)新的高效算法，提高張量網(wǎng)絡(luò)方法的計(jì)算效率和可擴(kuò)展性，使其能夠處理更大規(guī)模的量子自旋液體系統(tǒng)。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：發(fā)展新的張量網(wǎng)絡(luò)算法：提出一種基于變分原理和自適應(yīng)收縮的張量網(wǎng)絡(luò)算法，該算法能夠根據(jù)量子態(tài)的糾纏特性自動(dòng)調(diào)整張量網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和收縮路徑，有效提高計(jì)算效率和精度，為研究復(fù)雜量子自旋液體系統(tǒng)提供更強(qiáng)大的計(jì)算工具。探索量子自旋液體的新特性：通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)方法研究量子自旋液體與量子信息科學(xué)的交叉領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)量子自旋液體中存在的量子糾錯(cuò)和量子編碼特性，為量子信息處理提供新的物理資源和理論基礎(chǔ)。揭示量子自旋液體的微觀機(jī)制：結(jié)合張量網(wǎng)絡(luò)方法和量子場(chǎng)論，深入研究量子自旋液體中自旋子和規(guī)范場(chǎng)的相互作用，揭示量子自旋液體中分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)湫虻奈⒂^起源，為理解量子自旋液體的物理本質(zhì)提供新的視角。拓展張量網(wǎng)絡(luò)方法的應(yīng)用范圍：將張量網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用于研究量子自旋液體在非平衡態(tài)下的動(dòng)力學(xué)行為，如量子淬火、量子輸運(yùn)等，為研究量子自旋液體在實(shí)際應(yīng)用中的性能提供理論支持，拓展張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子多體動(dòng)力學(xué)研究中的應(yīng)用范圍。二、量子自旋液體的理論基礎(chǔ)2.1基本概念與定義量子自旋液體是一種新奇的量子多體態(tài)，其概念最早由諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主P.W.Anderson于1973年提出。與傳統(tǒng)磁性材料不同，即使在絕對(duì)零度時(shí)，量子自旋液體中的自旋也不會(huì)形成長(zhǎng)程有序排列，而是始終保持類似液體的漲落行為，同時(shí)也不會(huì)破缺晶格對(duì)稱性。這種特殊的狀態(tài)賦予了量子自旋液體諸多神奇的性質(zhì)，使其在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域中占據(jù)著獨(dú)特的地位。從微觀角度來(lái)看，量子自旋液體中的自旋相互作用呈現(xiàn)出高度的復(fù)雜性和量子特性。在傳統(tǒng)磁性材料中，自旋之間的相互作用使得它們?cè)诘蜏叵履軌蛐纬梢?guī)則的排列，從而產(chǎn)生長(zhǎng)程磁有序。而在量子自旋液體中，由于量子漲落的存在，自旋之間的相互作用無(wú)法使它們形成穩(wěn)定的長(zhǎng)程有序結(jié)構(gòu)。量子漲落是量子力學(xué)中的一個(gè)基本概念，它描述了微觀系統(tǒng)中物理量的不確定性和量子態(tài)的波動(dòng)。在量子自旋液體中，量子漲落的強(qiáng)度足夠大，以至于能夠克服自旋之間的相互作用，阻止長(zhǎng)程磁有序的形成。這種量子漲落與自旋相互作用之間的競(jìng)爭(zhēng)，是量子自旋液體形成的關(guān)鍵因素之一。量子自旋液體的另一個(gè)重要特征是其具有長(zhǎng)程量子糾纏。量子糾纏是量子力學(xué)中一種奇特的現(xiàn)象，它描述了多個(gè)量子系統(tǒng)之間的非局域關(guān)聯(lián)。在量子自旋液體中，自旋之間存在著長(zhǎng)程的量子糾纏，這意味著它們的量子態(tài)是高度關(guān)聯(lián)的，即使它們?cè)诳臻g上相距很遠(yuǎn)。這種長(zhǎng)程量子糾纏賦予了量子自旋液體許多獨(dú)特的物理性質(zhì)，如分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)湫虻取７謹(jǐn)?shù)化激發(fā)是指在量子自旋液體中，系統(tǒng)的低能激發(fā)表現(xiàn)為攜帶分?jǐn)?shù)化量子數(shù)的準(zhǔn)粒子，這種現(xiàn)象違背了傳統(tǒng)的粒子數(shù)守恒和角動(dòng)量守恒定律。拓?fù)湫騽t是一種與系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的量子序，它不能用傳統(tǒng)的序參量來(lái)描述，而是通過(guò)系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)刻畫(huà)。為了更深入地理解量子自旋液體的概念，我們可以將其與傳統(tǒng)磁性材料進(jìn)行對(duì)比。在傳統(tǒng)的鐵磁材料中，如鐵、鈷、鎳等，自旋在低溫下會(huì)沿著同一方向排列，形成長(zhǎng)程鐵磁有序。這種有序結(jié)構(gòu)可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的序參量來(lái)描述，例如磁化強(qiáng)度。當(dāng)溫度升高時(shí)，熱漲落會(huì)逐漸破壞自旋的有序排列，直到達(dá)到居里溫度時(shí)，長(zhǎng)程鐵磁有序完全消失，材料轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾艖B(tài)。在反鐵磁材料中，自旋會(huì)以相反的方向交替排列，形成反鐵磁有序，同樣可以用相應(yīng)的序參量來(lái)描述。而量子自旋液體則完全不同，它在零溫下沒(méi)有長(zhǎng)程磁有序，也沒(méi)有傳統(tǒng)意義上的序參量。其自旋狀態(tài)是一種高度糾纏的量子無(wú)序態(tài)，超越了傳統(tǒng)的朗道對(duì)稱破缺理論框架。根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，量子自旋液體可以分為多種類型。從自旋相互作用的角度來(lái)看，可分為幾何阻挫量子自旋液體和Kitaev量子自旋液體等。幾何阻挫量子自旋液體通常出現(xiàn)在具有特殊幾何結(jié)構(gòu)的晶格中，如三角晶格、kagome晶格等。在這些晶格中，由于自旋之間的相互作用受到幾何結(jié)構(gòu)的限制，導(dǎo)致自旋無(wú)法同時(shí)滿足所有的相互作用能最低，從而產(chǎn)生阻挫效應(yīng)，使得系統(tǒng)難以形成長(zhǎng)程磁有序，進(jìn)而有可能形成量子自旋液體態(tài)。Kitaev量子自旋液體則是由于體系中存在特殊的Kitaev相互作用，這種相互作用具有很強(qiáng)的各向異性，使得系統(tǒng)的基態(tài)具有拓?fù)湫蚝头謹(jǐn)?shù)化激發(fā)等特性。從激發(fā)態(tài)的性質(zhì)來(lái)看，量子自旋液體又可分為有能隙量子自旋液體和無(wú)能隙量子自旋液體。有能隙量子自旋液體的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間存在一個(gè)有限的能量間隙，這意味著需要一定的能量才能激發(fā)系統(tǒng)。這種量子自旋液體通常具有較好的穩(wěn)定性，其物理性質(zhì)相對(duì)較為簡(jiǎn)單。無(wú)能隙量子自旋液體則在基態(tài)附近存在無(wú)能隙的激發(fā)，其激發(fā)態(tài)的能量可以連續(xù)變化。無(wú)能隙量子自旋液體的物理性質(zhì)更為復(fù)雜，研究起來(lái)也更具挑戰(zhàn)性，因?yàn)闊o(wú)能隙激發(fā)往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)一些奇異的物理現(xiàn)象，如分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)湫虻取?.2量子自旋液體的模型與理論2.2.1海森堡模型及其拓展海森堡模型是描述量子自旋系統(tǒng)的經(jīng)典模型之一，在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是在研究磁性材料和量子自旋液體等方面。該模型由德國(guó)物理學(xué)家維爾納?海森堡于1928年提出，它通過(guò)描述自旋之間的相互作用來(lái)刻畫(huà)量子自旋系統(tǒng)的性質(zhì)。海森堡模型的哈密頓量可以表示為：H=-J\sum_{\langlei,j\rangle}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j其中，J是自旋-自旋相互作用強(qiáng)度，也稱為交換耦合常數(shù)，它決定了自旋之間相互作用的強(qiáng)弱和性質(zhì)。當(dāng)J>0時(shí)，表示反鐵磁相互作用，此時(shí)相鄰自旋傾向于反平行排列，以降低系統(tǒng)的能量；當(dāng)J<0時(shí)，表示鐵磁相互作用，相鄰自旋傾向于平行排列。\vec{S}_i和\vec{S}_j分別是格點(diǎn)i和j上的自旋算符，\sum_{\langlei,j\rangle}表示對(duì)所有最近鄰格點(diǎn)對(duì)進(jìn)行求和。在簡(jiǎn)單的晶格結(jié)構(gòu)中，如海森堡模型能夠較好地描述一些磁性材料的基本性質(zhì)。在正方晶格的反鐵磁海森堡模型中，當(dāng)溫度較低時(shí)，系統(tǒng)會(huì)形成反鐵磁長(zhǎng)程序，自旋以棋盤(pán)格的形式交替排列，這種有序結(jié)構(gòu)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的磁化率、中子散射等手段進(jìn)行驗(yàn)證。在一維的海森堡鏈中，由于量子漲落的影響，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)程磁有序，但存在著低能的自旋波激發(fā)，其性質(zhì)也與海森堡模型的理論預(yù)測(cè)相符。對(duì)于量子自旋液體的描述，海森堡模型存在一定的局限性。量子自旋液體是一種高度糾纏的量子無(wú)序態(tài)，其自旋相互作用和量子漲落的復(fù)雜性超出了海森堡模型的簡(jiǎn)單框架。在一些具有幾何阻挫的晶格結(jié)構(gòu)中，如三角晶格和kagome晶格，海森堡模型難以準(zhǔn)確描述量子自旋液體的特性。在三角晶格中，由于每個(gè)自旋都與三個(gè)最近鄰自旋相互作用，當(dāng)存在反鐵磁相互作用時(shí)，自旋無(wú)法同時(shí)滿足所有相鄰自旋的反平行排列要求，從而產(chǎn)生幾何阻挫效應(yīng)。這種阻挫使得系統(tǒng)的基態(tài)變得非常復(fù)雜，可能出現(xiàn)量子自旋液體態(tài)，但海森堡模型無(wú)法準(zhǔn)確捕捉到這種復(fù)雜的量子態(tài)和其中的分?jǐn)?shù)化激發(fā)等現(xiàn)象。為了更好地描述量子自旋液體的特性，研究人員對(duì)海森堡模型進(jìn)行了多種拓展。一種常見(jiàn)的拓展方式是引入多體相互作用項(xiàng)。在海森堡模型中加入三自旋相互作用項(xiàng)K\sum_{\langlei,j,k\rangle}(\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j)(\vec{S}_j\cdot\vec{S}_k)，其中K是三自旋相互作用強(qiáng)度，\sum_{\langlei,j,k\rangle}表示對(duì)所有最近鄰三角形格點(diǎn)上的三自旋進(jìn)行求和。這種多體相互作用項(xiàng)可以改變系統(tǒng)的能量landscape，使得系統(tǒng)更容易形成量子自旋液體態(tài)。在一些理論研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三自旋相互作用強(qiáng)度K達(dá)到一定值時(shí)，三角晶格上的海森堡模型可以出現(xiàn)穩(wěn)定的量子自旋液體相，其基態(tài)具有長(zhǎng)程量子糾纏和分?jǐn)?shù)化激發(fā)等特性，這些特性與實(shí)驗(yàn)上對(duì)量子自旋液體的觀測(cè)結(jié)果相符合?？紤]自旋-軌道耦合效應(yīng)也是拓展海森堡模型的重要方向。在一些具有強(qiáng)自旋-軌道耦合的材料中，自旋與軌道角動(dòng)量之間的相互作用會(huì)對(duì)自旋系統(tǒng)的性質(zhì)產(chǎn)生顯著影響。將自旋-軌道耦合項(xiàng)\lambda\sum_i\vec{S}_i\cdot(\vec{p}_i\times\vec{E}_i)加入到海森堡模型中，其中\(zhòng)lambda是自旋-軌道耦合常數(shù)，\vec{p}_i是格點(diǎn)i上電子的動(dòng)量，\vec{E}_i是該格點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。自旋-軌道耦合可以導(dǎo)致自旋相互作用的各向異性，從而改變系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)性質(zhì)。在Kitaev量子自旋液體中，自旋-軌道耦合起著關(guān)鍵作用，它使得自旋相互作用具有強(qiáng)烈的各向異性，進(jìn)而產(chǎn)生了拓?fù)湫蚝头謹(jǐn)?shù)化激發(fā)等獨(dú)特的量子特性。通過(guò)拓展海森堡模型來(lái)考慮自旋-軌道耦合效應(yīng)，可以更好地描述這類量子自旋液體的物理性質(zhì)，為研究相關(guān)材料提供更準(zhǔn)確的理論模型。2.2.2其他相關(guān)模型除了海森堡模型及其拓展，還有許多其他模型在量子自旋液體的研究中發(fā)揮著重要作用，Kitaev模型和量子二聚體模型是其中具有代表性的兩個(gè)模型。Kitaev模型由AlexeiKitaev于2006年提出，它是在honeycomb格點(diǎn)上構(gòu)建的一個(gè)具有精確解的自旋模型。該模型的獨(dú)特之處在于其自旋相互作用具有高度的各向異性，這使得它能夠展現(xiàn)出許多與傳統(tǒng)量子自旋系統(tǒng)不同的新奇特性。Kitaev模型的哈密頓量可以表示為：H=\sum_{\langlei,j\rangle,\alpha}K_{\alpha}\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}其中，\langlei,j\rangle表示最近鄰格點(diǎn)對(duì)，\alpha=x,y,z分別表示三個(gè)不同的方向，K_{\alpha}是沿\alpha方向的Kitaev相互作用強(qiáng)度，\sigma_i^{\alpha}是格點(diǎn)i上沿\alpha方向的泡利矩陣。在Kitaev模型中，每個(gè)格點(diǎn)上的自旋與三個(gè)最近鄰格點(diǎn)上的自旋相互作用，且相互作用強(qiáng)度和方向依賴于鍵的取向，這種高度各向異性的相互作用是Kitaev模型的核心特征。Kitaev模型的一個(gè)重要特性是其具有拓?fù)湫?。拓?fù)湫蚴且环N與系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的量子序，它不能用傳統(tǒng)的序參量來(lái)描述，而是通過(guò)系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)刻畫(huà)。在Kitaev模型中，系統(tǒng)的基態(tài)簡(jiǎn)并度與系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)密切相關(guān)，且這種簡(jiǎn)并度對(duì)于任何局域的微擾都具有穩(wěn)定性。這種拓?fù)湫蚴沟肒itaev模型在量子計(jì)算領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)樗梢詫?shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔颖忍?，利用拓?fù)浔Ｗo(hù)來(lái)抵抗環(huán)境噪聲和量子退相干，從而提高量子比特的穩(wěn)定性和可靠性。Kitaev模型還存在分?jǐn)?shù)化激發(fā)。在該模型中，系統(tǒng)的低能激發(fā)表現(xiàn)為攜帶分?jǐn)?shù)化量子數(shù)的準(zhǔn)粒子，即馬約拉納費(fèi)米子。馬約拉納費(fèi)米子是一種特殊的準(zhǔn)粒子，它的反粒子就是其自身，這種獨(dú)特的性質(zhì)使得它在量子信息處理中具有重要的應(yīng)用前景。通過(guò)對(duì)馬約拉納費(fèi)米子的操作，可以實(shí)現(xiàn)量子比特的編碼和量子門(mén)的操作，為實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算提供了新的途徑。量子二聚體模型也是研究量子自旋液體的重要模型之一。該模型主要描述的是自旋通過(guò)形成二聚體（即兩個(gè)自旋組成的單態(tài)）來(lái)降低能量的系統(tǒng)。在量子二聚體模型中，系統(tǒng)的基態(tài)是由這些二聚體的不同排列方式的疊加構(gòu)成的，這種疊加態(tài)體現(xiàn)了量子自旋液體的量子漲落和長(zhǎng)程糾纏特性。量子二聚體模型的哈密頓量可以表示為：H=\sum_{\langlei,j\rangle}J_{ij}P_{ij}+\sum_{(i,j,k)}K_{ijk}P_{ij}P_{jk}其中，\langlei,j\rangle表示最近鄰格點(diǎn)對(duì)，J_{ij}是格點(diǎn)i和j之間形成二聚體的能量，P_{ij}是投影算符，表示格點(diǎn)i和j形成二聚體的狀態(tài)；(i,j,k)表示相鄰的三個(gè)格點(diǎn)，K_{ijk}是三格點(diǎn)之間的相互作用能量，P_{ij}P_{jk}表示相鄰的兩個(gè)二聚體之間的相互作用。在這個(gè)模型中，二聚體之間的相互作用以及它們?cè)诰Ц裆系呐帕蟹绞經(jīng)Q定了系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)性質(zhì)。量子二聚體模型的一個(gè)重要特點(diǎn)是它可以通過(guò)共振價(jià)鍵（RVB）理論來(lái)理解。在RVB理論中，量子自旋液體的基態(tài)可以看作是由格點(diǎn)上的自旋配對(duì)形成的單態(tài)（即二聚體）通過(guò)共振相互作用而形成的。這種共振相互作用使得二聚體之間存在量子漲落和長(zhǎng)程糾纏，從而導(dǎo)致系統(tǒng)具有量子自旋液體的特性。在三角晶格的量子二聚體模型中，通過(guò)理論計(jì)算和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)可以存在穩(wěn)定的量子自旋液體相，其基態(tài)具有長(zhǎng)程量子糾纏和分?jǐn)?shù)化激發(fā)等特性，與實(shí)驗(yàn)上對(duì)量子自旋液體的觀測(cè)結(jié)果相符合。量子二聚體模型在解釋一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象方面也具有重要作用。在一些具有幾何阻挫的材料中，如kagome晶格材料，量子二聚體模型可以很好地解釋材料中自旋的行為和量子自旋液體態(tài)的形成。通過(guò)研究量子二聚體模型在不同晶格結(jié)構(gòu)和參數(shù)下的性質(zhì)，可以為實(shí)驗(yàn)上尋找和制備量子自旋液體材料提供理論指導(dǎo)，幫助實(shí)驗(yàn)人員理解材料中自旋相互作用和量子漲落的機(jī)制，從而更好地設(shè)計(jì)和調(diào)控量子自旋液體材料的性質(zhì)。2.3量子自旋液體的實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)展近年來(lái)，量子自旋液體的實(shí)驗(yàn)研究取得了顯著進(jìn)展，科學(xué)家們?cè)趯ふ伊孔幼孕后w候選材料以及探究其物理性質(zhì)方面付出了巨大努力。實(shí)驗(yàn)上，主要通過(guò)對(duì)一些具有特殊晶格結(jié)構(gòu)和強(qiáng)自旋-軌道耦合的材料進(jìn)行研究，來(lái)尋找量子自旋液體存在的證據(jù)。在幾何阻挫量子自旋液體候選材料的研究中，三角晶格化合物和kagome晶格化合物是研究的重點(diǎn)對(duì)象。YbMgGaO?和YbZnGaO?等三角晶格化合物，由于其晶格結(jié)構(gòu)的特殊性，自旋之間存在強(qiáng)烈的幾何阻挫效應(yīng)，使得系統(tǒng)難以形成長(zhǎng)程磁有序，從而有可能呈現(xiàn)出量子自旋液體態(tài)。實(shí)驗(yàn)上通過(guò)測(cè)量這些材料的磁化率、比熱、核磁共振等物理量，發(fā)現(xiàn)它們?cè)诘蜏叵卤憩F(xiàn)出與傳統(tǒng)磁性材料不同的行為，如磁化率在低溫下沒(méi)有明顯的相變特征，比熱在低溫下呈現(xiàn)出異常的溫度依賴關(guān)系等，這些現(xiàn)象都暗示了量子自旋液體態(tài)的存在。κ-(BEDT-TTF)?Cu?(CN)?和EtMe?Sb[Pd(dmit)?]?等有機(jī)化合物也是重要的三角晶格量子自旋液體候選材料。這些有機(jī)化合物具有獨(dú)特的分子結(jié)構(gòu)和電子相互作用，在低溫下表現(xiàn)出量子自旋液體的一些特性。研究人員通過(guò)電子自旋共振（ESR）、μ子自旋共振（μSR）等實(shí)驗(yàn)技術(shù)，對(duì)這些材料的自旋動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)它們的自旋弛豫率、自旋-晶格弛豫時(shí)間等參數(shù)在低溫下呈現(xiàn)出與傳統(tǒng)磁性材料不同的變化規(guī)律，進(jìn)一步支持了量子自旋液體態(tài)的存在。kagome晶格化合物ZnCu?(OH)?Cl?同樣備受關(guān)注。kagome晶格的幾何結(jié)構(gòu)使得自旋之間的相互作用更加復(fù)雜，阻挫效應(yīng)更為顯著。實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明，ZnCu?(OH)?Cl?在低溫下的磁性質(zhì)表現(xiàn)出高度的量子漲落特性，自旋-自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)呈現(xiàn)出短程有序而長(zhǎng)程無(wú)序的特征，這與量子自旋液體的理論預(yù)期相符。通過(guò)非彈性中子散射實(shí)驗(yàn)，還觀測(cè)到了該材料中存在的低能激發(fā)模式，這些激發(fā)模式可能與量子自旋液體中的分?jǐn)?shù)化激發(fā)有關(guān)，為研究量子自旋液體的微觀機(jī)制提供了重要線索。Kitaev量子自旋液體候選材料的研究也取得了重要成果。銥氧化物（Na?IrO?與α-、β-、γ-Li?IrO?）和α-RuCl?等材料由于具有強(qiáng)自旋-軌道耦合和獨(dú)特的晶體結(jié)構(gòu)，被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)Kitaev量子自旋液體的潛在候選材料。在這些材料中，自旋-軌道耦合效應(yīng)使得自旋相互作用具有強(qiáng)烈的各向異性，從而有可能滿足Kitaev模型中高度各向異性的自旋相互作用條件。對(duì)于α-RuCl?的研究，科學(xué)家們利用多種實(shí)驗(yàn)技術(shù)進(jìn)行了深入探索。中子散射實(shí)驗(yàn)是研究α-RuCl?磁激發(fā)譜的重要手段，通過(guò)非彈性中子散射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了該材料的磁激發(fā)譜，發(fā)現(xiàn)其磁激發(fā)模式與Kitaev模型的理論預(yù)測(cè)相符，從而確認(rèn)了Kitaev相互作用在這一真實(shí)材料中的存在。強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)也為研究α-RuCl?中的量子物態(tài)提供了重要信息。中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所李偉課題組與日本東京大學(xué)國(guó)際強(qiáng)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)室合作，利用兆高斯（100特斯拉）級(jí)的強(qiáng)磁場(chǎng)，驗(yàn)證了在35-100特斯拉高磁場(chǎng)下存在一個(gè)自旋液體中間相的理論預(yù)言，找到了35特斯拉和100特斯拉附近的磁場(chǎng)誘導(dǎo)量子相變的證據(jù)，支持了強(qiáng)磁場(chǎng)自旋液體在α-RuCl?中的存在。盡管量子自旋液體的實(shí)驗(yàn)研究取得了一定進(jìn)展，但仍面臨諸多挑戰(zhàn)和問(wèn)題。在實(shí)驗(yàn)測(cè)量方面，量子自旋液體的信號(hào)往往非常微弱，容易受到外界干擾和材料本身雜質(zhì)的影響，這給準(zhǔn)確測(cè)量和分析帶來(lái)了很大困難。實(shí)際材料中往往存在多種復(fù)雜的相互作用，除了我們關(guān)注的導(dǎo)致量子自旋液體形成的主要相互作用外，還可能存在其他磁性相互作用、晶格振動(dòng)等因素，這些因素會(huì)干擾對(duì)量子自旋液體態(tài)的準(zhǔn)確判斷和理解。目前對(duì)于量子自旋液體的實(shí)驗(yàn)判定標(biāo)準(zhǔn)還不夠完善，不同實(shí)驗(yàn)技術(shù)得到的結(jié)果之間可能存在一定的矛盾和不確定性，這也增加了確認(rèn)量子自旋液體態(tài)的難度。為了深入研究量子自旋液體，理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法顯得尤為重要。理論研究可以為實(shí)驗(yàn)提供指導(dǎo)，通過(guò)構(gòu)建合適的理論模型，預(yù)測(cè)量子自旋液體在不同條件下的物理性質(zhì)，為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)分析提供理論依據(jù)。通過(guò)理論計(jì)算可以預(yù)測(cè)量子自旋液體的磁激發(fā)譜、比熱、磁化率等物理量隨溫度、磁場(chǎng)等外部條件的變化規(guī)律，實(shí)驗(yàn)人員可以根據(jù)這些預(yù)測(cè)來(lái)選擇合適的實(shí)驗(yàn)材料和實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行針對(duì)性的測(cè)量和驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果又可以反過(guò)來(lái)驗(yàn)證和完善理論模型，當(dāng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論預(yù)測(cè)不一致時(shí)，研究人員可以對(duì)理論模型進(jìn)行修正和改進(jìn)，考慮更多的物理因素和相互作用，從而使理論模型更加準(zhǔn)確地描述量子自旋液體的物理性質(zhì)。這種理論與實(shí)驗(yàn)的緊密結(jié)合，有助于我們更深入地理解量子自旋液體的物理本質(zhì)，推動(dòng)量子自旋液體研究的不斷發(fā)展。三、張量網(wǎng)絡(luò)方法的原理與應(yīng)用3.1張量網(wǎng)絡(luò)的基本原理張量作為張量網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成單元，是向量和矩陣在高維空間的推廣。從數(shù)學(xué)定義來(lái)看，一個(gè)n階張量可以看作是一個(gè)n維數(shù)組，其元素可以通過(guò)n個(gè)指標(biāo)來(lái)標(biāo)記。在三維空間中，向量是一階張量，它只有一個(gè)指標(biāo)，例如向量\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)，其中v_i就是向量的元素，i=1,2,3為指標(biāo)；矩陣是二階張量，有兩個(gè)指標(biāo)，如矩陣M=(M_{ij})，i和j分別表示行和列的指標(biāo)。對(duì)于更高階的張量，例如一個(gè)三階張量T=(T_{ijk})，它有三個(gè)指標(biāo)i、j、k，每個(gè)指標(biāo)都可以在一定的范圍內(nèi)取值，這些取值的組合就確定了張量的所有元素。在量子力學(xué)中，張量有著重要的物理意義。量子系統(tǒng)的波函數(shù)可以用張量來(lái)表示，通過(guò)張量的運(yùn)算可以描述量子態(tài)的演化和相互作用。在一個(gè)多體量子系統(tǒng)中，每個(gè)粒子的狀態(tài)可以用一個(gè)局部張量來(lái)表示，而整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)則可以通過(guò)這些局部張量的組合和收縮來(lái)得到。這種表示方式不僅簡(jiǎn)潔明了，而且能夠有效地處理量子多體系統(tǒng)中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和量子糾纏。張量網(wǎng)絡(luò)則是由多個(gè)張量通過(guò)邊相互連接而成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在張量網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)張量節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)局部的物理信息，而連接張量節(jié)點(diǎn)的邊則表示張量之間的相互作用或糾纏關(guān)系。邊的收縮操作是張量網(wǎng)絡(luò)的核心運(yùn)算之一，它對(duì)應(yīng)于量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理和測(cè)量過(guò)程。當(dāng)我們對(duì)兩個(gè)張量進(jìn)行收縮時(shí)，實(shí)際上是在某些共享指標(biāo)上進(jìn)行求和操作，從而將兩個(gè)張量合并成一個(gè)新的張量。這種收縮操作可以逐步進(jìn)行，最終得到一個(gè)描述整個(gè)系統(tǒng)的標(biāo)量或低階張量。以矩陣乘積態(tài)（MatrixProductState，MPS）為例，它是一種用于表示一維量子系統(tǒng)基態(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在MPS中，整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)被分解為一系列相鄰張量的乘積形式。對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)格點(diǎn)的一維量子系統(tǒng)，其波函數(shù)\vert\psi\rangle可以表示為：\vert\psi\rangle=\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_N}A^{[1]}_{i_1}A^{[2]}_{i_2}\cdotsA^{[N]}_{i_N}\verti_1,i_2,\ldots,i_N\rangle其中A^{[k]}_{i_k}是第k個(gè)位置上的張量，其索引i_k代表局域自由度（如自旋或粒子狀態(tài)），而內(nèi)部的連接索引用于編碼相鄰格點(diǎn)之間的糾纏。通過(guò)調(diào)整這些張量的元素，可以優(yōu)化波函數(shù)的表示，從而精確地描述量子系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。投影糾纏對(duì)態(tài)（ProjectedEntangledPairState，PEPS）是MPS在二維系統(tǒng)中的推廣，它能夠表示二維格點(diǎn)上的量子態(tài)。在PEPS中，每個(gè)格點(diǎn)上的量子態(tài)被表示為多個(gè)虛擬態(tài)的糾纏對(duì)，并通過(guò)投影操作將這些虛擬態(tài)映射到物理自由度。與MPS相比，PEPS的計(jì)算復(fù)雜度更高，因?yàn)樵诙S系統(tǒng)中，張量之間的收縮路徑更加復(fù)雜，需要考慮更多的指標(biāo)和收縮順序。但PEPS能夠更有效地描述二維量子系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏和拓?fù)湫再|(zhì)，為研究二維量子自旋液體等復(fù)雜量子體系提供了重要的工具。張量收縮是張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中的關(guān)鍵步驟，它涉及到多個(gè)張量之間的復(fù)雜運(yùn)算。張量收縮的過(guò)程可以看作是將多個(gè)張量的索引進(jìn)行求和，從而得到一個(gè)新的張量或標(biāo)量。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的張量網(wǎng)絡(luò)，如由兩個(gè)二階張量A=(A_{ij})和B=(B_{jk})組成的網(wǎng)絡(luò)，它們的收縮結(jié)果C=(C_{ik})可以通過(guò)以下公式計(jì)算：C_{ik}=\sum_{j}A_{ij}B_{jk}在這個(gè)例子中，我們對(duì)A和B的共享指標(biāo)j進(jìn)行求和，得到了新的張量C。對(duì)于更復(fù)雜的張量網(wǎng)絡(luò)，張量收縮的過(guò)程可能涉及到多個(gè)張量和多個(gè)共享指標(biāo)的求和，其計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著張量網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增加而迅速增加。在實(shí)際計(jì)算中，選擇合適的張量收縮順序?qū)τ谔岣哂?jì)算效率至關(guān)重要。不同的收縮順序可能會(huì)導(dǎo)致不同的計(jì)算量和內(nèi)存需求。一種常用的優(yōu)化方法是使用貪心算法，它通過(guò)在每一步選擇當(dāng)前收縮計(jì)算量最小的張量對(duì)進(jìn)行收縮，來(lái)逐步降低整個(gè)張量網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算復(fù)雜度。貪心算法雖然不能保證找到全局最優(yōu)的收縮順序，但在大多數(shù)情況下能夠顯著提高計(jì)算效率。還有一些其他的優(yōu)化算法，如動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，它可以通過(guò)預(yù)先計(jì)算和存儲(chǔ)一些中間結(jié)果，來(lái)避免重復(fù)計(jì)算，從而進(jìn)一步提高計(jì)算效率。但動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的空間復(fù)雜度較高，對(duì)于大規(guī)模的張量網(wǎng)絡(luò)可能不太適用。3.2常見(jiàn)的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)3.2.1矩陣積態(tài)（MPS）矩陣積態(tài)（MatrixProductState，MPS）作為張量網(wǎng)絡(luò)方法中最為基礎(chǔ)且重要的結(jié)構(gòu)之一，最早被用于描述一維量子系統(tǒng)的基態(tài)。在量子多體系統(tǒng)中，隨著粒子數(shù)目的增加，系統(tǒng)波函數(shù)所在的希爾伯特空間維度呈指數(shù)增長(zhǎng)，使得直接處理變得極為困難。MPS通過(guò)將整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)巧妙地分解為一系列相鄰張量的乘積形式，為解決這一難題提供了有效的途徑。對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)格點(diǎn)的一維量子系統(tǒng)，其波函數(shù)\vert\psi\rangle可以表示為：\vert\psi\rangle=\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_N}A^{[1]}_{i_1}A^{[2]}_{i_2}\cdotsA^{[N]}_{i_N}\verti_1,i_2,\ldots,i_N\rangle其中A^{[k]}_{i_k}是第k個(gè)位置上的張量，其索引i_k代表局域自由度，如自旋或粒子狀態(tài)，而內(nèi)部的連接索引則用于編碼相鄰格點(diǎn)之間的糾纏。這種表示方式的精妙之處在于，它能夠利用量子態(tài)的局部糾纏性，將復(fù)雜的波函數(shù)簡(jiǎn)化為多個(gè)低維張量的組合，從而大大減少了存儲(chǔ)需求和計(jì)算復(fù)雜度。MPS的結(jié)構(gòu)具有明顯的線性鏈狀特征，每個(gè)節(jié)點(diǎn)（張量）代表一個(gè)物理站點(diǎn)，每個(gè)張量有一個(gè)物理索引對(duì)應(yīng)于站點(diǎn)的局部希爾伯特空間，以及兩個(gè)鍵索引用于連接到相鄰站點(diǎn)的張量。鍵維度（BondDimension）是MPS中一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)，它決定了MPS的表達(dá)能力。較大的鍵維度允許MPS表示更復(fù)雜的糾纏態(tài)，但同時(shí)也會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題和計(jì)算資源來(lái)合理選擇鍵維度，以在保持精度的同時(shí)提高計(jì)算效率。在描述一維量子系統(tǒng)基態(tài)時(shí)，MPS展現(xiàn)出了諸多顯著的優(yōu)勢(shì)。它能夠高效地處理一維系統(tǒng)的基態(tài)問(wèn)題，尤其適用于研究弱糾纏系統(tǒng)。在一維海森堡模型中，通過(guò)MPS可以精確地計(jì)算系統(tǒng)的基態(tài)能量和自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量。MPS允許使用數(shù)值穩(wěn)定的算法，如密度矩陣重正化群（DMRG）來(lái)優(yōu)化和演化量子態(tài)。DMRG算法通過(guò)迭代優(yōu)化MPS的張量，能夠逐步逼近系統(tǒng)的基態(tài)，并且在計(jì)算過(guò)程中可以有效控制誤差，從而得到高精度的結(jié)果。MPS還具有很強(qiáng)的靈活性，可以用于模擬各種物理系統(tǒng)，包括自旋鏈、費(fèi)米子系統(tǒng)和玻色子系統(tǒng)等。在自旋鏈系統(tǒng)中，MPS能夠準(zhǔn)確地描述自旋之間的相互作用和量子糾纏，為研究自旋鏈的磁性、量子相變等性質(zhì)提供了有力的工具。在費(fèi)米子系統(tǒng)和玻色子系統(tǒng)中，MPS同樣可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q和處理，來(lái)描述粒子之間的相互作用和量子態(tài)的演化。在研究量子自旋液體時(shí)，MPS也存在一定的局限性。量子自旋液體通常具有高度的量子糾纏和復(fù)雜的拓?fù)湫再|(zhì)，而MPS在處理高維系統(tǒng)或具有長(zhǎng)程糾纏的系統(tǒng)時(shí)表現(xiàn)不佳。在二維或更高維度的量子自旋液體系統(tǒng)中，MPS需要非常大的鍵維度才能準(zhǔn)確表示這些態(tài)，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度急劇增加，甚至超出當(dāng)前計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力。MPS對(duì)于描述量子自旋液體中的分?jǐn)?shù)化激發(fā)和拓?fù)湫虻忍匦砸泊嬖谝欢ǖ睦щy，因?yàn)檫@些特性往往涉及到非局域的量子關(guān)聯(lián)，而MPS的局部張量表示方式難以完全捕捉到這些非局域信息。3.2.2投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）投影糾纏對(duì)態(tài)（ProjectedEntangledPairState，PEPS）是矩陣積態(tài)（MPS）在二維系統(tǒng)中的自然推廣，專門(mén)用于表示二維格點(diǎn)上的量子態(tài)。隨著量子多體系統(tǒng)研究從一維向二維拓展，傳統(tǒng)的MPS結(jié)構(gòu)無(wú)法有效描述二維系統(tǒng)中的復(fù)雜量子態(tài)和長(zhǎng)程糾纏，PEPS的出現(xiàn)為解決這一問(wèn)題提供了可能。在PEPS中，每個(gè)格點(diǎn)上的量子態(tài)被巧妙地表示為多個(gè)虛擬態(tài)的糾纏對(duì)，然后通過(guò)投影操作將這些虛擬態(tài)映射到物理自由度。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)二維格點(diǎn)系統(tǒng)，每個(gè)格點(diǎn)上都存在一個(gè)張量，該張量與周圍格點(diǎn)的張量通過(guò)邊相連，這些邊代表了張量之間的糾纏關(guān)系。每個(gè)格點(diǎn)的張量可以看作是由多個(gè)內(nèi)部虛擬態(tài)糾纏對(duì)組成，這些糾纏對(duì)通過(guò)投影操作與物理自由度相聯(lián)系，從而構(gòu)建出整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)。這種結(jié)構(gòu)能夠有效地捕捉二維系統(tǒng)中格點(diǎn)之間的長(zhǎng)程糾纏和復(fù)雜的量子關(guān)聯(lián)，為研究二維量子系統(tǒng)提供了強(qiáng)大的工具。PEPS的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使其在描述二維量子系統(tǒng)基態(tài)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在二維自旋模型中，如二維海森堡模型和Kitaev模型，PEPS能夠準(zhǔn)確地描述自旋之間的相互作用和量子糾纏，從而計(jì)算出系統(tǒng)的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等重要物理量。與MPS相比，PEPS能夠更好地處理二維系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏，因?yàn)樗亩S結(jié)構(gòu)可以更自然地表示格點(diǎn)之間在不同方向上的關(guān)聯(lián)。在研究具有拓?fù)湫虻亩S量子系統(tǒng)時(shí)，PEPS可以通過(guò)計(jì)算拓?fù)浼m纏熵等拓?fù)洳蛔兞?，?lái)深入探討系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，這是MPS難以實(shí)現(xiàn)的。在實(shí)際應(yīng)用中，PEPS也面臨著一些挑戰(zhàn)和問(wèn)題。相對(duì)于MPS，PEPS的計(jì)算復(fù)雜度顯著更高，這主要體現(xiàn)在張量收縮過(guò)程中。在二維系統(tǒng)中，張量之間的收縮路徑更加復(fù)雜，需要考慮更多的指標(biāo)和收縮順序，這使得計(jì)算量大幅增加。選擇合適的鍵維度對(duì)于PEPS的計(jì)算精度和效率至關(guān)重要，但目前并沒(méi)有通用的方法來(lái)確定最佳鍵維度，往往需要通過(guò)大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)嘗試。鍵維度過(guò)小可能導(dǎo)致計(jì)算精度不足，無(wú)法準(zhǔn)確描述量子態(tài)；而鍵維度過(guò)大則會(huì)使計(jì)算復(fù)雜度急劇上升，計(jì)算資源消耗過(guò)大。PEPS在處理邊界條件和有限尺寸效應(yīng)時(shí)也存在一定的困難。在實(shí)際計(jì)算中，通常需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行截?cái)嗷虿捎弥芷谛赃吔鐥l件，這可能會(huì)引入額外的誤差，影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)于有限尺寸的二維系統(tǒng)，邊界格點(diǎn)的張量與內(nèi)部格點(diǎn)的張量在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)上存在差異，如何合理處理這些差異，以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的整體性質(zhì)，是PEPS應(yīng)用中需要解決的問(wèn)題之一。3.2.3多尺度糾纏重整化（MERA）多尺度糾纏重整化（MultiscaleEntanglementRenormalizationAnsatz，MERA）是一種獨(dú)特的多尺度張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它的設(shè)計(jì)初衷是為了描述具有標(biāo)度不變性的系統(tǒng)，如臨界態(tài)或具有長(zhǎng)程糾纏的系統(tǒng)。在量子多體系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)處于臨界態(tài)時(shí)，其物理性質(zhì)往往表現(xiàn)出標(biāo)度不變性，即系統(tǒng)在不同尺度下具有相似的行為，傳統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以有效地處理這類系統(tǒng)，MERA的出現(xiàn)為研究這類系統(tǒng)提供了新的視角和方法。MERA的結(jié)構(gòu)具有明顯的層次化特征，它結(jié)合了重整化群的思想，通過(guò)層層遞進(jìn)的張量收縮過(guò)程，逐步縮減系統(tǒng)的自由度。在MERA中，系統(tǒng)被劃分為多個(gè)尺度層次，每個(gè)層次由一系列張量組成。從最底層的微觀尺度開(kāi)始，通過(guò)張量收縮操作，將相鄰的張量合并為更高層次的張量，從而逐步減少系統(tǒng)的自由度，同時(shí)保留系統(tǒng)的重要物理信息。這種層層遞進(jìn)的結(jié)構(gòu)使得MERA能夠有效地處理系統(tǒng)的標(biāo)度行為，精確描述系統(tǒng)的長(zhǎng)程糾纏。以一個(gè)具有標(biāo)度不變性的量子自旋系統(tǒng)為例，在臨界態(tài)下，系統(tǒng)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)在不同尺度下呈現(xiàn)出相似的形式。MERA通過(guò)其層次化的結(jié)構(gòu)，能夠在不同尺度上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行重整化處理，從而準(zhǔn)確地捕捉到這種標(biāo)度不變性。在每個(gè)尺度層次上，MERA通過(guò)張量收縮操作，將局部的自旋信息進(jìn)行整合，形成更高層次的有效自由度，這些有效自由度能夠反映系統(tǒng)在該尺度下的主要物理特征。通過(guò)不斷地進(jìn)行重整化操作，MERA可以從微觀尺度逐步過(guò)渡到宏觀尺度，從而全面地描述系統(tǒng)的物理性質(zhì)。MERA在描述具有標(biāo)度不變性系統(tǒng)時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì)。由于其結(jié)構(gòu)天然適合處理臨界態(tài)的標(biāo)度行為，MERA能夠精確地計(jì)算臨界系統(tǒng)的各種物理量，如臨界指數(shù)、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度等。這些物理量對(duì)于理解系統(tǒng)的相變行為和臨界性質(zhì)至關(guān)重要，通過(guò)MERA的計(jì)算，可以為理論研究提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)支持。MERA能夠有效地描述系統(tǒng)的長(zhǎng)程糾纏，這對(duì)于研究具有長(zhǎng)程糾纏的量子態(tài)，如量子自旋液體等，具有重要意義。在量子自旋液體中，長(zhǎng)程糾纏是其重要的特征之一，MERA可以通過(guò)計(jì)算糾纏熵等物理量，來(lái)深入研究量子自旋液體中長(zhǎng)程糾纏的性質(zhì)和特點(diǎn)。在研究量子自旋液體時(shí)，MERA也展現(xiàn)出了重要的作用和前景。量子自旋液體作為一種具有高度糾纏和拓?fù)湫虻牧孔討B(tài)，其物理性質(zhì)與系統(tǒng)的標(biāo)度行為密切相關(guān)。MERA可以通過(guò)對(duì)量子自旋液體系統(tǒng)的重整化處理，揭示其在不同尺度下的物理特征，從而深入理解量子自旋液體的物理本質(zhì)。通過(guò)MERA計(jì)算量子自旋液體的拓?fù)浼m纏熵和其他拓?fù)洳蛔兞浚梢匝芯科渫負(fù)湫虻男再|(zhì)和分類，為量子自旋液體的理論研究提供重要的依據(jù)。隨著計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，MERA有望在更大規(guī)模的量子自旋液體系統(tǒng)研究中發(fā)揮作用，為實(shí)驗(yàn)上尋找和制備量子自旋液體材料提供更有力的理論支持。3.2.4樹(shù)形張量網(wǎng)絡(luò)（TTN）樹(shù)形張量網(wǎng)絡(luò)（TreeTensorNetwork，TTN）是一種層次化的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其獨(dú)特之處在于張量按樹(shù)形結(jié)構(gòu)排列，根節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)。在量子多體系統(tǒng)中，不同尺度上的糾纏對(duì)于系統(tǒng)的物理性質(zhì)有著重要影響，TTN的出現(xiàn)為處理這類多尺度糾纏問(wèn)題提供了有效的解決方案。TTN的結(jié)構(gòu)中，每層張量代表系統(tǒng)的一部分，通過(guò)收縮這些張量來(lái)逐步構(gòu)建整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)。從根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，向下分支形成多個(gè)子節(jié)點(diǎn)，每個(gè)子節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)張量，這些張量之間通過(guò)邊相連，邊的收縮操作對(duì)應(yīng)著張量之間的相互作用和信息傳遞。這種樹(shù)形結(jié)構(gòu)使得TTN能夠自然地處理不同尺度上的糾纏，因?yàn)椴煌瑢哟蔚膹埩靠梢苑謩e描述系統(tǒng)在不同尺度下的物理信息，通過(guò)張量收縮將這些信息整合起來(lái)，從而全面地描述整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)。在處理不同尺度上的糾纏時(shí)，TTN具有顯著的優(yōu)勢(shì)。在一個(gè)具有復(fù)雜多體相互作用的量子系統(tǒng)中，不同尺度的糾纏對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)有著不同的貢獻(xiàn)。TTN的層次化結(jié)構(gòu)可以將這些不同尺度的糾纏清晰地分離出來(lái)，通過(guò)對(duì)不同層次張量的操作，可以分別研究不同尺度糾纏對(duì)系統(tǒng)的影響。在研究量子自旋液體時(shí)，量子自旋液體中存在著短程和長(zhǎng)程的糾纏，TTN可以通過(guò)其樹(shù)形結(jié)構(gòu)，將短程糾纏和長(zhǎng)程糾纏分別在不同層次的張量中進(jìn)行描述，從而更深入地理解量子自旋液體中糾纏的本質(zhì)和作用。TTN的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，這使得它在處理大規(guī)模量子系統(tǒng)時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)。與其他張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比，TTN的張量收縮過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)槠錁?shù)形結(jié)構(gòu)可以避免一些復(fù)雜的收縮路徑。這使得TTN在處理大規(guī)模量子系統(tǒng)時(shí)，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)得到結(jié)果，并且所需的計(jì)算資源相對(duì)較少。在研究大規(guī)模量子自旋液體系統(tǒng)時(shí)，TTN可以利用其計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì)，快速地計(jì)算系統(tǒng)的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量，為理論研究提供重要的數(shù)據(jù)支持。在研究量子自旋液體方面，TTN展現(xiàn)出了巨大的潛力和發(fā)展方向。隨著對(duì)量子自旋液體研究的不斷深入，需要處理更大規(guī)模、更復(fù)雜的量子自旋液體系統(tǒng)，TTN的計(jì)算優(yōu)勢(shì)使其成為研究這類系統(tǒng)的有力工具。通過(guò)進(jìn)一步優(yōu)化TTN的結(jié)構(gòu)和算法，可以提高其對(duì)量子自旋液體系統(tǒng)的描述精度，深入研究量子自旋液體中的拓?fù)湫?、分?jǐn)?shù)化激發(fā)等重要物理現(xiàn)象。結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)等新興技術(shù)，利用TTN對(duì)大量的量子自旋液體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和挖掘，有望發(fā)現(xiàn)新的量子自旋液體態(tài)和物理規(guī)律，為量子自旋液體的研究開(kāi)辟新的方向。3.3張量網(wǎng)絡(luò)方法的計(jì)算流程張量網(wǎng)絡(luò)方法的計(jì)算流程涵蓋多個(gè)關(guān)鍵步驟，每個(gè)步驟都對(duì)準(zhǔn)確描述量子自旋液體的性質(zhì)至關(guān)重要。在處理量子自旋液體這類復(fù)雜的量子多體系統(tǒng)時(shí)，該計(jì)算流程能夠有效地將復(fù)雜的波函數(shù)分解為多個(gè)低維張量的網(wǎng)絡(luò)，從而降低計(jì)算復(fù)雜度，使得對(duì)這類系統(tǒng)的研究成為可能。初始化是張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的起始步驟，在此階段，需要依據(jù)具體的物理問(wèn)題和量子自旋液體系統(tǒng)的特征，審慎選擇合適的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。對(duì)于一維量子自旋液體系統(tǒng)，矩陣積態(tài)（MPS）結(jié)構(gòu)往往是一個(gè)理想的選擇，因?yàn)樗诿枋鲆痪S系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)方面具有高效性和準(zhǔn)確性。而對(duì)于二維系統(tǒng)，投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）則更具優(yōu)勢(shì)，能夠更好地捕捉二維格點(diǎn)上量子態(tài)的長(zhǎng)程糾纏和復(fù)雜關(guān)聯(lián)。在選擇好張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，需對(duì)張量的元素進(jìn)行初始化，常見(jiàn)的初始化方式包括采用隨機(jī)數(shù)初始化或基于簡(jiǎn)單的物理猜測(cè)進(jìn)行設(shè)定。隨機(jī)數(shù)初始化可以在一定程度上探索張量空間的多樣性，但可能會(huì)導(dǎo)致收斂速度較慢；基于物理猜測(cè)的初始化則能利用已知的物理信息，加快計(jì)算的收斂速度，但需要對(duì)系統(tǒng)有一定的先驗(yàn)了解。優(yōu)化過(guò)程是張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的核心環(huán)節(jié)之一，其目的是通過(guò)調(diào)整張量的元素，使系統(tǒng)的能量達(dá)到最小，從而逼近系統(tǒng)的基態(tài)。變分法是一種常用的優(yōu)化方法，它基于變分原理，通過(guò)不斷調(diào)整張量網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得系統(tǒng)的能量泛函取最小值。在實(shí)際操作中，通常會(huì)定義一個(gè)能量函數(shù)，該函數(shù)依賴于張量的元素，然后通過(guò)迭代的方式更新張量元素，使得能量函數(shù)逐漸減小。梯度下降法也是一種常用的優(yōu)化算法，它根據(jù)能量函數(shù)對(duì)張量元素的梯度信息，沿著梯度下降的方向更新張量元素，以達(dá)到降低能量的目的。除了這些傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，近年來(lái)還發(fā)展了一些自適應(yīng)的優(yōu)化算法，這些算法能夠根據(jù)計(jì)算過(guò)程中的信息自動(dòng)調(diào)整優(yōu)化策略，提高優(yōu)化效率和收斂速度。張量收縮是計(jì)算物理量的關(guān)鍵步驟，在計(jì)算量子自旋液體的各種物理量，如能量期望值、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)、糾纏熵等時(shí)，都需要對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行收縮操作。張量收縮本質(zhì)上是將多個(gè)張量的索引進(jìn)行求和，從而得到一個(gè)新的張量或標(biāo)量。對(duì)于簡(jiǎn)單的張量網(wǎng)絡(luò)，張量收縮的過(guò)程相對(duì)直觀，但對(duì)于復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如PEPS，張量收縮的計(jì)算復(fù)雜度會(huì)顯著增加，成為計(jì)算的主要瓶頸。在二維的PEPS中，由于張量之間的連接更加復(fù)雜，收縮路徑的選擇會(huì)極大地影響計(jì)算效率。為了應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，研究人員提出了多種優(yōu)化算法，貪心算法通過(guò)在每一步選擇當(dāng)前收縮計(jì)算量最小的張量對(duì)進(jìn)行收縮，能夠有效地降低計(jì)算復(fù)雜度；動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法則通過(guò)預(yù)先計(jì)算和存儲(chǔ)一些中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算，進(jìn)一步提高計(jì)算效率。精度控制在張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中起著重要的作用，它通過(guò)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)中的張量秩，即連接索引的維度，來(lái)控制計(jì)算的精度和資源消耗。較大的張量秩可以更精確地描述量子態(tài)，但同時(shí)也會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度和資源需求；較小的張量秩雖然計(jì)算效率較高，但可能會(huì)導(dǎo)致精度不足。在實(shí)際計(jì)算中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的要求和計(jì)算資源的限制，合理地選擇張量秩。一種常用的方法是通過(guò)逐步增加張量秩，觀察計(jì)算結(jié)果的收斂情況，當(dāng)結(jié)果收斂到一定精度時(shí)，選擇此時(shí)的張量秩作為合適的參數(shù)。還可以采用一些自適應(yīng)的精度控制方法，根據(jù)計(jì)算過(guò)程中的誤差估計(jì)自動(dòng)調(diào)整張量秩，以在保證精度的前提下提高計(jì)算效率。在實(shí)際應(yīng)用中，張量網(wǎng)絡(luò)方法的計(jì)算流程還需要考慮并行計(jì)算、數(shù)值穩(wěn)定性等問(wèn)題。并行計(jì)算可以利用多處理器或集群的計(jì)算能力，加速?gòu)埩烤W(wǎng)絡(luò)的計(jì)算過(guò)程，特別是在處理大規(guī)模量子自旋液體系統(tǒng)時(shí)，并行計(jì)算能夠顯著縮短計(jì)算時(shí)間。數(shù)值穩(wěn)定性則是確保計(jì)算結(jié)果可靠性的關(guān)鍵，由于張量網(wǎng)絡(luò)計(jì)算涉及大量的數(shù)值運(yùn)算，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值誤差積累的問(wèn)題，因此需要采用一些數(shù)值穩(wěn)定的算法和技巧，如正交化、規(guī)范化等，來(lái)保證計(jì)算的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。3.4張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子多體系統(tǒng)中的應(yīng)用案例3.4.1量子相變研究量子相變是指在絕對(duì)零度下，由于量子漲落的作用，量子多體系統(tǒng)從一種量子態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N量子態(tài)的過(guò)程。量子相變與傳統(tǒng)的熱相變不同，它不是由溫度驅(qū)動(dòng)的，而是由外部參數(shù)（如磁場(chǎng)、壓力、化學(xué)勢(shì)等）的變化引起的。在量子相變過(guò)程中，系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)會(huì)發(fā)生突變，同時(shí)伴隨著一些物理量的奇異行為，如比熱、磁化率、關(guān)聯(lián)函數(shù)等。張量網(wǎng)絡(luò)方法在研究量子相變中發(fā)揮著重要作用，能夠深入揭示量子相變的機(jī)制和規(guī)律。以自旋液體到磁性有序態(tài)的相變?yōu)槔?，在一個(gè)具有幾何阻挫的量子自旋系統(tǒng)中，當(dāng)外部參數(shù)（如磁場(chǎng)強(qiáng)度）逐漸變化時(shí)，系統(tǒng)可能會(huì)從量子自旋液體態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇判杂行驊B(tài)。通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)方法，我們可以構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)來(lái)描述系統(tǒng)的基態(tài)，并計(jì)算系統(tǒng)的能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，我們可以觀察到系統(tǒng)的能量逐漸降低，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式也會(huì)發(fā)生變化。在量子自旋液體態(tài)，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)表現(xiàn)出短程的量子漲落特性，而在磁性有序態(tài)，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)則呈現(xiàn)出長(zhǎng)程的有序特征。在具體計(jì)算中，利用矩陣積態(tài)（MPS）來(lái)研究一維自旋鏈系統(tǒng)從量子自旋液體態(tài)到反鐵磁有序態(tài)的相變。通過(guò)變分法優(yōu)化MPS的張量元素，計(jì)算系統(tǒng)在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的基態(tài)能量和自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)。當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)處于量子自旋液體態(tài)，此時(shí)MPS的鍵維度相對(duì)較小，能夠有效地描述系統(tǒng)的低能激發(fā)態(tài)和量子漲落特性。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)逐漸向反鐵磁有序態(tài)轉(zhuǎn)變，MPS的鍵維度也需要相應(yīng)地增大，以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的長(zhǎng)程有序特征。通過(guò)分析MPS的鍵維度、能量和自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化，可以確定量子相變的臨界磁場(chǎng)強(qiáng)度以及相變的臨界性質(zhì)。投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）在研究二維量子自旋系統(tǒng)的相變中具有重要應(yīng)用。在一個(gè)二維的Kitaev模型中，通過(guò)PEPS計(jì)算系統(tǒng)在不同參數(shù)下的基態(tài)能量和拓?fù)浼m纏熵等物理量，研究系統(tǒng)從量子自旋液體態(tài)到拓?fù)溆行驊B(tài)的相變過(guò)程。隨著模型參數(shù)的變化，系統(tǒng)的拓?fù)浼m纏熵會(huì)發(fā)生突變，這標(biāo)志著量子相變的發(fā)生。通過(guò)分析PEPS的張量結(jié)構(gòu)和收縮過(guò)程，可以深入理解量子相變過(guò)程中系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)和量子糾纏的變化規(guī)律。3.4.2糾纏性質(zhì)研究量子糾纏作為量子力學(xué)中最奇特的現(xiàn)象之一，是量子多體系統(tǒng)研究的核心內(nèi)容之一。在量子自旋液體中，量子糾纏扮演著至關(guān)重要的角色，它不僅決定了系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)，還與系統(tǒng)的拓?fù)湫蚝头謹(jǐn)?shù)化激發(fā)等特性密切相關(guān)。張量網(wǎng)絡(luò)方法為研究量子多體系統(tǒng)的糾纏性質(zhì)提供了有力的工具，通過(guò)計(jì)算多體系統(tǒng)的糾纏熵，能夠深入分析系統(tǒng)中的量子糾纏結(jié)構(gòu)。糾纏熵是衡量量子系統(tǒng)糾纏程度的重要物理量，它可以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的約化密度矩陣進(jìn)行計(jì)算得到。對(duì)于一個(gè)由多個(gè)子系統(tǒng)組成的量子系統(tǒng)，其糾纏熵定義為子系統(tǒng)的約化密度矩陣的馮?諾依曼熵：S=-\\text{Tr}(\\rho_A\\ln\\rho_A)其中，\\rho_A是子系統(tǒng)A的約化密度矩陣，通過(guò)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的密度矩陣\\rho在子系統(tǒng)A以外的自由度上進(jìn)行求跡得到。以量子自旋液體為例，利用張量網(wǎng)絡(luò)方法計(jì)算系統(tǒng)的糾纏熵，可以清晰地揭示系統(tǒng)中的量子糾纏結(jié)構(gòu)。在一個(gè)二維的量子自旋液體系統(tǒng)中，使用投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）來(lái)表示系統(tǒng)的量子態(tài)。通過(guò)對(duì)PEPS進(jìn)行張量收縮操作，計(jì)算不同子系統(tǒng)劃分下的糾纏熵。當(dāng)子系統(tǒng)的邊界沿著晶格的不同方向劃分時(shí)，糾纏熵的大小和變化規(guī)律會(huì)有所不同。在某些方向上，糾纏熵可能隨著子系統(tǒng)尺寸的增加而呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，這表明系統(tǒng)中存在長(zhǎng)程糾纏；而在其他方向上，糾纏熵可能隨著子系統(tǒng)尺寸的增加而增長(zhǎng)得較為緩慢，這反映了系統(tǒng)中短程糾纏的特性。通過(guò)分析糾纏熵與系統(tǒng)參數(shù)（如自旋相互作用強(qiáng)度、晶格結(jié)構(gòu)等）之間的關(guān)系，可以進(jìn)一步理解量子糾纏在量子自旋液體中的作用機(jī)制。在一個(gè)具有可變自旋相互作用強(qiáng)度的量子自旋液體模型中，隨著自旋相互作用強(qiáng)度的增加，糾纏熵也會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)自旋相互作用強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)中的量子漲落較大，糾纏熵相對(duì)較小，量子糾纏主要表現(xiàn)為短程糾纏；而當(dāng)自旋相互作用強(qiáng)度增大到一定程度時(shí)，系統(tǒng)中的量子漲落受到抑制，糾纏熵增大，長(zhǎng)程糾纏逐漸顯現(xiàn)。這種糾纏熵隨自旋相互作用強(qiáng)度的變化，反映了量子自旋液體中自旋相互作用與量子糾纏之間的相互關(guān)系，有助于我們深入理解量子自旋液體的物理本質(zhì)。3.4.3量子模擬研究量子模擬是利用人工構(gòu)建的量子系統(tǒng)來(lái)模擬復(fù)雜量子體系的物理性質(zhì)和行為的過(guò)程。在量子模擬中，張量網(wǎng)絡(luò)方法具有重要的應(yīng)用價(jià)值，能夠有效地模擬多體量子系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)。通過(guò)構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，并運(yùn)用相應(yīng)的算法進(jìn)行計(jì)算，可以精確地描述多體量子系統(tǒng)的量子態(tài)和物理性質(zhì)。在模擬玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體（Bose-EinsteinCondensate，BEC）時(shí)，張量網(wǎng)絡(luò)方法展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。BEC是一種宏觀量子態(tài)，由大量玻色子在極低溫度下凝聚而成，具有許多奇特的量子特性。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法，可以構(gòu)建描述BEC的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，通過(guò)優(yōu)化張量網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，能夠準(zhǔn)確地計(jì)算BEC的基態(tài)能量、粒子數(shù)分布、凝聚分?jǐn)?shù)等物理量。在二維BEC系統(tǒng)中，使用投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）來(lái)模擬BEC的基態(tài)。通過(guò)變分法優(yōu)化PEPS的張量元素，計(jì)算系統(tǒng)在不同相互作用強(qiáng)度下的基態(tài)能量和凝聚分?jǐn)?shù)。隨著相互作用強(qiáng)度的變化，BEC的基態(tài)性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變，通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)模擬可以清晰地觀察到這些變化，為研究BEC的量子特性提供了有力的工具。冷原子系統(tǒng)也是張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子模擬中的重要應(yīng)用對(duì)象。冷原子系統(tǒng)具有高度可控性和純凈性，是研究量子多體物理的理想平臺(tái)。通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)方法，可以模擬冷原子系統(tǒng)中的量子相變、量子糾纏等物理現(xiàn)象。在一個(gè)具有自旋-軌道耦合的冷原子系統(tǒng)中，利用矩陣積態(tài)（MPS）來(lái)模擬系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。通過(guò)調(diào)整MPS的鍵維度和張量元素，計(jì)算系統(tǒng)在不同自旋-軌道耦合強(qiáng)度下的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量。隨著自旋-軌道耦合強(qiáng)度的變化，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生量子相變，通過(guò)張量網(wǎng)絡(luò)模擬可以準(zhǔn)確地確定相變的臨界參數(shù)和相變的性質(zhì)。在模擬超導(dǎo)體時(shí)，張量網(wǎng)絡(luò)方法同樣發(fā)揮著重要作用。超導(dǎo)體具有零電阻和完全抗磁性等獨(dú)特的物理性質(zhì)，其微觀機(jī)制涉及到電子之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)和量子糾纏。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法，可以研究超導(dǎo)體的基態(tài)和激發(fā)態(tài)性質(zhì)，探索超導(dǎo)轉(zhuǎn)變的微觀機(jī)制。在一個(gè)二維的超導(dǎo)模型中，使用張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)來(lái)模擬系統(tǒng)的基態(tài)，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的能量、電子配對(duì)函數(shù)等物理量，研究超導(dǎo)態(tài)的形成和性質(zhì)。通過(guò)分析張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的結(jié)構(gòu)和收縮過(guò)程，可以深入理解超導(dǎo)體內(nèi)電子之間的相互作用和量子糾纏，為研究超導(dǎo)材料的性質(zhì)和開(kāi)發(fā)新型超導(dǎo)材料提供理論支持。盡管張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子模擬中取得了顯著的成果，但也面臨著一些挑戰(zhàn)。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，張量網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算復(fù)雜度會(huì)迅速增加，尤其是在處理高維系統(tǒng)時(shí)，張量收縮的計(jì)算量會(huì)變得非常龐大，這對(duì)計(jì)算資源和算法效率提出了很高的要求。對(duì)于一些具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)和高度糾纏的量子系統(tǒng)，張量網(wǎng)絡(luò)方法可能需要較大的鍵維度才能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的量子態(tài)，這會(huì)進(jìn)一步增加計(jì)算的難度和復(fù)雜性。為了應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，研究人員不斷探索新的算法和優(yōu)化策略，如發(fā)展高效的張量收縮算法、采用自適應(yīng)的鍵維度調(diào)整方法等，以提高張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子模擬中的效率和準(zhǔn)確性。四、量子自旋液體的張量網(wǎng)絡(luò)方法研究4.1基于張量網(wǎng)絡(luò)的量子自旋液體態(tài)表示量子自旋液體態(tài)的精確表示是深入研究其物理性質(zhì)的基礎(chǔ)，張量網(wǎng)絡(luò)方法為此提供了強(qiáng)有力的工具。張量網(wǎng)絡(luò)通過(guò)將復(fù)雜的多體波函數(shù)分解為多個(gè)低維張量的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，能夠有效地捕捉量子自旋液體中的量子糾纏和拓?fù)湫再|(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)量子自旋液體態(tài)的準(zhǔn)確描述。在張量網(wǎng)絡(luò)中，不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有各自獨(dú)特的特點(diǎn)，適用于不同類型的量子自旋液體系統(tǒng)。矩陣積態(tài)（MPS）作為一種常用于描述一維量子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在研究一維量子自旋液體時(shí)具有顯著優(yōu)勢(shì)。在一維自旋鏈模型中，MPS可以將系統(tǒng)的波函數(shù)表示為一系列相鄰張量的乘積形式，通過(guò)調(diào)整張量的元素，可以精確地逼近系統(tǒng)的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。MPS能夠高效地處理一維系統(tǒng)中的短程糾纏，對(duì)于描述具有弱糾纏特性的一維量子自旋液體態(tài)具有較高的精度。由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，使得在處理大規(guī)模一維量子自旋液體系統(tǒng)時(shí)，MPS能夠在較短的時(shí)間內(nèi)得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。對(duì)于二維量子自旋液體系統(tǒng)，投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）是一種更為合適的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。PEPS將每個(gè)格點(diǎn)上的量子態(tài)表示為多個(gè)虛擬態(tài)的糾纏對(duì)，并通過(guò)投影操作將這些虛擬態(tài)映射到物理自由度，從而能夠有效地捕捉二維系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏和復(fù)雜的量子關(guān)聯(lián)。在二維Kitaev模型中，PEPS可以準(zhǔn)確地描述自旋之間的相互作用和量子糾纏，通過(guò)計(jì)算PEPS的張量元素和收縮過(guò)程，可以得到系統(tǒng)的基態(tài)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量，進(jìn)而深入研究二維量子自旋液體的拓?fù)湫再|(zhì)和量子相變。多尺度糾纏重整化（MERA）結(jié)構(gòu)則特別適用于描述具有標(biāo)度不變性和長(zhǎng)程糾纏的量子自旋液體系統(tǒng)。MERA結(jié)合了重整化群的思想，通過(guò)層層遞進(jìn)的張量收縮過(guò)程，逐步縮減系統(tǒng)的自由度，能夠有效地處理系統(tǒng)的標(biāo)度行為，精確描述系統(tǒng)的長(zhǎng)程糾纏。在研究具有臨界性質(zhì)的量子自旋液體時(shí)，MERA可以通過(guò)計(jì)算不同尺度下的物理量，揭示系統(tǒng)在臨界態(tài)附近的標(biāo)度不變性和量子糾纏的變化規(guī)律，為理解量子自旋液體的臨界現(xiàn)象提供重要的理論依據(jù)。樹(shù)形張量網(wǎng)絡(luò)（TTN）在處理不同尺度上的糾纏時(shí)表現(xiàn)出色，其層次化的結(jié)構(gòu)能夠清晰地分離不同尺度的糾纏信息，從而更深入地理解量子自旋液體中糾纏的本質(zhì)和作用。在研究具有復(fù)雜多體相互作用的量子自旋液體系統(tǒng)時(shí)，TTN可以將短程糾纏和長(zhǎng)程糾纏分別在不同層次的張量中進(jìn)行描述，通過(guò)對(duì)不同層次張量的操作，可以分別研究不同尺度糾纏對(duì)系統(tǒng)的影響，為研究量子自旋液體的多尺度物理性質(zhì)提供了有力的工具。不同張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在表示量子自旋液體態(tài)時(shí)也存在各自的局限性。MPS在處理二維及以上維度的量子自旋液體系統(tǒng)時(shí)，由于其結(jié)構(gòu)的限制，需要非常大的鍵維度才能準(zhǔn)確表示這些態(tài)，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度急劇增加，甚至超出當(dāng)前計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力。PEPS雖然能夠有效地描述二維量子自旋液體態(tài)，但在張量收縮過(guò)程中，計(jì)算復(fù)雜度較高，尤其是在處理大規(guī)模系統(tǒng)時(shí)，計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求會(huì)成為制約其應(yīng)用的關(guān)鍵因素。MERA的計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要對(duì)重整化群的思想有深入的理解和掌握，且在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于某些非臨界態(tài)的量子自旋液體系統(tǒng)，其優(yōu)勢(shì)可能并不明顯。TTN雖然計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，但在描述一些具有高度對(duì)稱性和長(zhǎng)程有序的量子自旋液體態(tài)時(shí)，可能無(wú)法準(zhǔn)確捕捉到系統(tǒng)的全部物理信息。在選擇合適的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來(lái)描述量子自旋液體時(shí)，需要綜合考慮系統(tǒng)的維度、自旋相互作用的類型、量子糾纏的特性以及計(jì)算資源等因素。對(duì)于一維量子自旋液體系統(tǒng)，MPS通常是首選的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；對(duì)于二維系統(tǒng)，PEPS和MERA可以根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇，若系統(tǒng)具有標(biāo)度不變性和長(zhǎng)程糾纏，則MERA更為合適，若主要關(guān)注長(zhǎng)程糾纏和量子關(guān)聯(lián)，則PEPS可能更具優(yōu)勢(shì)；對(duì)于處理不同尺度糾纏的系統(tǒng)，TTN是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。還可以結(jié)合多種張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，發(fā)展混合張量網(wǎng)絡(luò)方法，以更好地描述量子自旋液體態(tài)。4.2張量網(wǎng)絡(luò)方法在量子自旋液體基態(tài)和激發(fā)態(tài)研究中的應(yīng)用4.2.1基態(tài)能量與波函數(shù)求解在量子自旋液體的研究中，求解基態(tài)能量和波函數(shù)是理解其物理性質(zhì)的關(guān)鍵步驟，張量網(wǎng)絡(luò)方法為此提供了有效的途徑。以Kagome晶格上的反鐵磁海森堡模型為例，該模型由于其獨(dú)特的晶格結(jié)構(gòu)，自旋之間存在強(qiáng)烈的幾何阻挫效應(yīng)，使得系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)性質(zhì)極為復(fù)雜。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法，通過(guò)構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，如投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS），能夠有效地描述該模型的基態(tài)和低能激發(fā)態(tài)。在構(gòu)建PEPS時(shí)，每個(gè)格點(diǎn)上的量子態(tài)被表示為多個(gè)虛擬態(tài)的糾纏對(duì)，并通過(guò)投影操作將這些虛擬態(tài)映射到物理自由度。對(duì)于Kagome晶格上的反鐵磁海森堡模型，其哈密頓量可以表示為：H=-J\sum_{\langlei,j\rangle}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j其中，J是反鐵磁相互作用強(qiáng)度，\vec{S}_i和\vec{S}_j分別是格點(diǎn)i和j上的自旋算符，\sum_{\langlei,j\rangle}表示對(duì)所有最近鄰格點(diǎn)對(duì)進(jìn)行求和。通過(guò)變分法，調(diào)整PEPS中張量的元素，使得系統(tǒng)的能量期望值最小，從而逼近系統(tǒng)的基態(tài)能量。在實(shí)際計(jì)算中，通常會(huì)定義一個(gè)能量函數(shù)E=\frac{\langle\psi|H|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}，其中|\psi\rangle是由PEPS表示的量子態(tài)，H是系統(tǒng)的哈密頓量。通過(guò)迭代優(yōu)化張量元素，使得能量函數(shù)E逐漸減小，最終收斂到基態(tài)能量。對(duì)于波函數(shù)的求解，PEPS通過(guò)其張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，將整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)表示為多個(gè)張量的乘積和收縮形式。每個(gè)張量的元素包含了格點(diǎn)上自旋的信息以及與相鄰格點(diǎn)自旋的糾纏關(guān)系。通過(guò)對(duì)這些張量進(jìn)行收縮操作，可以得到系統(tǒng)在不同自旋構(gòu)型下的波函數(shù)振幅，從而完整地描述系統(tǒng)的波函數(shù)。在Kagome晶格的PEPS中，通過(guò)對(duì)各個(gè)格點(diǎn)上的張量進(jìn)行收縮，可以計(jì)算出系統(tǒng)在不同自旋排列下的波函數(shù)值，進(jìn)而分析系統(tǒng)的量子糾纏和自旋關(guān)聯(lián)性質(zhì)。在計(jì)算精度方面，隨著PEPS鍵維度的增加，計(jì)算結(jié)果逐漸收斂到精確解。鍵維度決定了PEPS中張量的內(nèi)部自由度，較大的鍵維度可以更準(zhǔn)確地描述量子態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu)，從而提高計(jì)算精度。當(dāng)鍵維度較小時(shí)，由于PEPS對(duì)量子態(tài)的描述能力有限，計(jì)算得到的基態(tài)能量與精確解存在一定的偏差；隨著鍵維度的逐漸增大，偏差逐漸減小，計(jì)算結(jié)果逐漸逼近精確解。當(dāng)鍵維度達(dá)到一定值時(shí)，計(jì)算結(jié)果與精確解的偏差可以忽略不計(jì)，能夠準(zhǔn)確地描述Kagome晶格上反鐵磁海森堡模型的基態(tài)能量和波函數(shù)。在計(jì)算效率方面，張量網(wǎng)絡(luò)方法相對(duì)于傳統(tǒng)的數(shù)值方法具有顯著優(yōu)勢(shì)。傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如精確對(duì)角化方法，由于其計(jì)算復(fù)雜度隨著系統(tǒng)尺寸的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，在處理較大規(guī)模的Kagome晶格系統(tǒng)時(shí)，計(jì)算量會(huì)變得極其龐大，甚至超出當(dāng)前計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力。而張量網(wǎng)絡(luò)方法利用量子態(tài)的局部糾纏性，將復(fù)雜的波函數(shù)分解為多個(gè)低維張量的網(wǎng)絡(luò)，使得計(jì)算復(fù)雜度僅隨系統(tǒng)尺寸多項(xiàng)式級(jí)增長(zhǎng)。在處理大規(guī)模Kagome晶格系統(tǒng)時(shí)，張量網(wǎng)絡(luò)方法能夠在較短的時(shí)間內(nèi)得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，大大提高了計(jì)算效率。為了進(jìn)一步提高計(jì)算效率，研究人員還提出了許多優(yōu)化算法。在張量收縮過(guò)程中，采用貪心算法選擇收縮順序，可以有效地降低計(jì)算復(fù)雜度。貪心算法通過(guò)在每一步選擇當(dāng)前收縮計(jì)算量最小的張量對(duì)進(jìn)行收縮，避免了不必要的計(jì)算，從而加快了計(jì)算速度。利用并行計(jì)算技術(shù)，將計(jì)算任務(wù)分配到多個(gè)處理器上同時(shí)進(jìn)行，可以進(jìn)一步縮短計(jì)算時(shí)間。在處理大規(guī)模Kagome晶格系統(tǒng)時(shí)，并行計(jì)算能夠充分利用計(jì)算資源，顯著提高計(jì)算效率，使得張量網(wǎng)絡(luò)方法能夠更有效地研究量子自旋液體的基態(tài)和激發(fā)態(tài)性質(zhì)。4.2.2激發(fā)態(tài)性質(zhì)研究研究量子自旋液體的激發(fā)態(tài)性質(zhì)對(duì)于深入理解其物理本質(zhì)具有重要意義，張量網(wǎng)絡(luò)方法在這一領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。以自旋子激發(fā)為例，自旋子是量子自旋液體中一種重要的分?jǐn)?shù)化激發(fā)，其攜帶分?jǐn)?shù)化的量子數(shù)，展現(xiàn)出與傳統(tǒng)粒子截然不同的特性。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法研究自旋子激發(fā)，主要通過(guò)構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)來(lái)描述激發(fā)態(tài)，并借助相關(guān)算法計(jì)算激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。在具體操作中，通?；诨鶓B(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)表示，通過(guò)特定的激發(fā)算符作用于基態(tài)，得到激發(fā)態(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)表示。對(duì)于一個(gè)由投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）描述的量子自旋液體基態(tài)，通過(guò)引入自旋翻轉(zhuǎn)算符或其他合適的激發(fā)算符，可以構(gòu)建出描述自旋子激發(fā)態(tài)的PEPS。在這個(gè)過(guò)程中，需要仔細(xì)考慮激發(fā)算符對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元素的影響，以確保準(zhǔn)確地描述激發(fā)態(tài)。張量網(wǎng)絡(luò)方法在研究自旋子激發(fā)態(tài)性質(zhì)時(shí)具有多方面的優(yōu)勢(shì)。張量網(wǎng)絡(luò)方法能夠有效地處理量子多體系統(tǒng)中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和量子糾纏，這對(duì)于描述自旋子激發(fā)態(tài)至關(guān)重要。自旋子激發(fā)態(tài)往往涉及到多個(gè)自旋之間的復(fù)雜相互作用和高度糾纏，傳統(tǒng)方法難以準(zhǔn)確處理，而張量網(wǎng)絡(luò)方法通過(guò)將波函數(shù)分解為多個(gè)低維張量的網(wǎng)絡(luò)，能夠精確地捕捉這些相互作用和糾纏，從而提供準(zhǔn)確的描述。張量網(wǎng)絡(luò)方法可以計(jì)算激發(fā)態(tài)的各種物理量，如能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)、糾纏熵等，這些物理量對(duì)于深入了解自旋子激發(fā)態(tài)的性質(zhì)和特征具有重要價(jià)值。通過(guò)計(jì)算激發(fā)態(tài)的能量，可以確定自旋子激發(fā)的能隙大小，了解激發(fā)態(tài)的穩(wěn)定性；通過(guò)計(jì)算自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)，可以研究自旋子之間的相互作用和關(guān)聯(lián)特性；通過(guò)計(jì)算糾纏熵，可以分析激發(fā)態(tài)中的量子糾纏結(jié)構(gòu)，揭示自旋子激發(fā)與量子糾纏之間的關(guān)系。張量網(wǎng)絡(luò)方法在研究自旋子激發(fā)態(tài)性質(zhì)時(shí)也面臨一些挑戰(zhàn)。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，張量網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算復(fù)雜度迅速增加，尤其是在處理高維系統(tǒng)時(shí)，張量收縮的計(jì)算量會(huì)變得非常龐大，這對(duì)計(jì)算資源和算法效率提出了很高的要求。在二維或更高維度的量子自旋液體系統(tǒng)中，張量之間的收縮路徑更加復(fù)雜，需要考慮更多的指標(biāo)和收縮順序，這使得計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求大幅增加，甚至可能導(dǎo)致計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。對(duì)于一些具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)和高度糾纏的量子自旋液體系統(tǒng)，張量網(wǎng)絡(luò)方法可能需要較大的鍵維度才能準(zhǔn)確描述自旋子激發(fā)態(tài)，這會(huì)進(jìn)一步增加計(jì)算的難度和復(fù)雜性。鍵維度過(guò)小可能導(dǎo)致計(jì)算精度不足，無(wú)法準(zhǔn)確描述激發(fā)態(tài)的性質(zhì)；而鍵維度過(guò)大則會(huì)使計(jì)算復(fù)雜度急劇上升，計(jì)算資源消耗過(guò)大。為了應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，研究人員不斷探索新的算法和優(yōu)化策略。發(fā)展高效的張量收縮算法是提高計(jì)算效率的關(guān)鍵之一。除了前面提到的貪心算法外，研究人員還提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法、啟發(fā)式算法等，這些算法通過(guò)不同的策略來(lái)優(yōu)化張量收縮順序，減少計(jì)算量。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通過(guò)預(yù)先計(jì)算和存儲(chǔ)一些中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算，從而提高計(jì)算效率；啟發(fā)式算法則基于一定的啟發(fā)式規(guī)則，快速找到較優(yōu)的收縮順序，在保證一定精度的前提下，顯著縮短計(jì)算時(shí)間。采用自適應(yīng)的鍵維度調(diào)整方法也是提高計(jì)算效率的重要手段。這種方法根據(jù)計(jì)算過(guò)程中的誤差估計(jì)自動(dòng)調(diào)整鍵維度，在保證計(jì)算精度的前提下，避免不必要的計(jì)算資源浪費(fèi)。在計(jì)算過(guò)程中，通過(guò)監(jiān)測(cè)能量、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量的收斂情況，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果收斂時(shí)，可以適當(dāng)降低鍵維度，以減少計(jì)算量；當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果偏差較大時(shí)，可以增加鍵維度，提高計(jì)算精度。4.3量子自旋液體中的拓?fù)湫再|(zhì)與張量網(wǎng)絡(luò)量子自旋液體中的拓?fù)湫再|(zhì)是其重要的物理特征之一，與量子糾纏和分?jǐn)?shù)化激發(fā)等現(xiàn)象密切相關(guān)。張量網(wǎng)絡(luò)方法為研究量子自旋液體的拓?fù)湫再|(zhì)提供了強(qiáng)大的工具，通過(guò)構(gòu)建合適的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，可以深入探究量子自旋液體中的拓?fù)湫蚝屯負(fù)湎嘧?。以Kitaev模型為例，該模型在honeycomb格點(diǎn)上構(gòu)建，具有精確解且展現(xiàn)出穩(wěn)定的無(wú)能隙量子自旋液體相。Kitaev模型的哈密頓量為：H=\sum_{\langlei,j\rangle,\alpha}K_{\alpha}\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}其中，\langlei,j\rangle表示最近鄰格點(diǎn)對(duì)，\alpha=x,y,z分別表示三個(gè)不同的方向，K_{\alpha}是沿\alpha方向的Kitaev相互作用強(qiáng)度，\sigma_i^{\alpha}是格點(diǎn)i上沿\alpha方向的泡利矩陣。這種高度各向異性的自旋相互作用使得Kitaev模型具有獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)。利用張量網(wǎng)絡(luò)方法研究Kitaev模型中的拓?fù)湫?，通常采用投影糾纏對(duì)態(tài)（PEPS）來(lái)表示系統(tǒng)的量子態(tài)。在PEPS中，每個(gè)格點(diǎn)上的量子態(tài)被表示為多個(gè)虛擬態(tài)的糾纏對(duì)，并通過(guò)投影操作將這些虛擬態(tài)映射到物理自由度，從而能夠有效地捕捉系統(tǒng)中的長(zhǎng)程糾纏和拓?fù)湫再|(zhì)。通過(guò)