弱基視角下的拓?fù)淇臻g：內(nèi)在特征與映射關(guān)聯(lián)探究一、緒論1.1研究背景與意義在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷程中，拓?fù)淇臻g的分類一直是核心問(wèn)題之一。映射作為揭示各種拓?fù)淇臻g類內(nèi)在規(guī)律的有力工具，在拓?fù)淇臻g分類中扮演著舉足輕重的角色，這便是Alexandroff-Arhangel'skii思想的核心所在。眾多拓?fù)鋵W(xué)家受此思想的引領(lǐng)，深入探究度量空間在不同映射類下的象和逆象的內(nèi)在特征，取得了豐碩的成果。弱基作為廣義度量空間理論中的關(guān)鍵概念，由A.V.Arhangel'skii引入，為定義各類廣義度量空間提供了重要途徑。通過(guò)弱基，我們能夠定義出多種不同性質(zhì)的空間，這些空間均屬于廣義度量空間的范疇。其中，g可度量空間，即具有σ-局部有限弱基的空間，吸引了F.Siwiec、Y.Tanaka、L.Foged、林壽、劉川等國(guó)內(nèi)外眾多拓?fù)鋵W(xué)者的深入鉆研，獲得了一系列令人滿意的結(jié)果。然而，除了g可度量空間，還有許多其他由弱基定義的空間值得我們?nèi)パ芯?。?duì)這些空間的深入探索，有助于我們更全面、深入地理解廣義度量空間的本質(zhì)和性質(zhì)，進(jìn)一步完善廣義度量空間理論體系。通過(guò)研究這些空間與度量空間之間的聯(lián)系，利用各種映射建立起它們之間的橋梁，我們可以從不同角度揭示拓?fù)淇臻g的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和特征，為拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展提供新的思路和方法。同時(shí)，這也有助于解決拓?fù)鋵W(xué)中的一些相關(guān)問(wèn)題，推動(dòng)拓?fù)鋵W(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域，如物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等的應(yīng)用和發(fā)展。1.2發(fā)展概況自拓?fù)鋵W(xué)誕生以來(lái)，眾多拓?fù)鋵W(xué)家在Alexandroff-Arhangel'skii思想的指引下，圍繞度量空間在不同映射下的象和逆象特征展開(kāi)了深入研究。早期，學(xué)者們主要聚焦于度量空間在連續(xù)映射下的基本性質(zhì)，如保持連通性、道路連通性、可分性等，但對(duì)于局部連通性、第一可數(shù)性等性質(zhì)卻無(wú)法保持。隨著研究的不斷深入，研究范疇逐漸拓展到開(kāi)映射、閉映射、商映射等同胚映射或幾種映射復(fù)合的情況。比如，在連續(xù)開(kāi)映射下，局部連通性、正規(guī)和正則等性質(zhì)得以保持；在連續(xù)閉映射下，局部連通性、T_1、T_{3.5}、T_4和正規(guī)等性質(zhì)也能保持。1966年，A.V.Arhangel'skii引入弱基這一概念，為廣義度量空間理論的發(fā)展開(kāi)辟了新的道路，使得一般拓?fù)鋵W(xué)在廣義度量空間領(lǐng)域取得了新的進(jìn)展。眾多拓?fù)鋵W(xué)者圍繞弱基展開(kāi)研究，定義出多種空間，其中g(shù)可度量空間（即具有\(zhòng)sigma-局部有限弱基的空間）吸引了眾多學(xué)者的目光。F.Siwiec、Y.Tanaka、L.Foged、林壽、劉川等國(guó)內(nèi)外拓?fù)鋵W(xué)者從不同角度對(duì)其進(jìn)行深入探究，在g可度量空間的內(nèi)部特征、與度量空間的關(guān)系以及在各種映射下的性質(zhì)等方面都取得了豐碩的成果。近年來(lái)，關(guān)于弱基定義空間的研究持續(xù)深入。一方面，研究者們致力于探索具有一致弱基的空間、具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間、具有局部可數(shù)弱基的空間和具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間等的內(nèi)部特征，給出了它們的等價(jià)刻畫(huà)。另一方面，利用弱開(kāi)映射、\pi映射、msss映射、ss映射、msk映射、一些復(fù)蓋映射等，建立起這些由弱基定義的空間與度量空間之間的聯(lián)系，為進(jìn)一步理解廣義度量空間的本質(zhì)和性質(zhì)提供了新的視角。同時(shí)，一些新的概念和方法也不斷涌現(xiàn)，如弱緊k網(wǎng)絡(luò)的引入，為研究局部緊度量空間的閉映象提供了新的思路。1.3本文主要工作本論文主要圍繞由弱基定義的空間展開(kāi)研究，具體內(nèi)容如下：研究由弱基定義的多種空間的內(nèi)部特征：對(duì)具有一致弱基的空間、具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間、具有局部可數(shù)弱基的空間和具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間進(jìn)行深入剖析，給出它們的等價(jià)刻畫(huà)，為進(jìn)一步理解這些空間的性質(zhì)提供理論基礎(chǔ)。例如，對(duì)于具有一致弱基的空間，證明了其等價(jià)于具有一致cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間，也等價(jià)于具有由點(diǎn)有限cs覆蓋構(gòu)成的弱展開(kāi)的空間，還等價(jià)于度量空間的弱開(kāi)緊映象。通過(guò)這些等價(jià)刻畫(huà)，我們可以從不同角度認(rèn)識(shí)和研究這類空間。建立由弱基定義的空間與度量空間之間的聯(lián)系：利用弱開(kāi)映射、\pi映射、msss映射、ss映射、msk映射以及一些覆蓋映射等，構(gòu)建起上述由弱基定義的空間與度量空間之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。以具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間為例，證明了空間X具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基，當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱開(kāi)msss映象。這種聯(lián)系的建立，有助于我們借助度量空間的一些成熟理論和方法來(lái)研究由弱基定義的空間。給出度量空間的弱開(kāi)映象的內(nèi)部特征：通過(guò)深入研究，證明了度量空間的弱開(kāi)\pi映象等價(jià)于g-可展空間。這一結(jié)論為度量空間的弱開(kāi)\pi映象提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔而有效的內(nèi)在刻畫(huà)，使得我們能夠從g-可展空間的角度更好地理解度量空間的弱開(kāi)\pi映象的性質(zhì)和特征。給出g可度量空間的一個(gè)新映射定理：通過(guò)對(duì)g可度量空間在不同映射下性質(zhì)的研究，給出了g可度量空間的一個(gè)新映射定理，具體證明了對(duì)于空間X，X是g可度量空間等價(jià)于X是度量空間的強(qiáng)序列覆蓋、商、\pi、\sigma映象，也等價(jià)于X是度量空間的序列覆蓋、商、\pi、\sigma映象，還等價(jià)于X是度量空間的商、\pi、\sigma映象。這一定理豐富了g可度量空間的理論體系，為進(jìn)一步研究g可度量空間的性質(zhì)和應(yīng)用提供了有力工具。引入弱緊k網(wǎng)絡(luò)并給出局部緊度量空間閉映象的新特征：創(chuàng)新性地引入弱緊k網(wǎng)絡(luò)的概念，并基于此給出了局部緊度量空間閉映象的一個(gè)新特征，即空間X是局部緊度量空間的閉映象當(dāng)且僅當(dāng)它是具有點(diǎn)可數(shù)的弱緊k網(wǎng)絡(luò)的Fréchet空間。這一成果為局部緊度量空間閉映象的研究開(kāi)辟了新的思路，有助于我們更深入地理解局部緊度量空間閉映象的本質(zhì)和性質(zhì)。1.4預(yù)備知識(shí)在深入研究由弱基定義的空間之前，我們需要先明確一些基本的概念和性質(zhì)，這些預(yù)備知識(shí)將為后續(xù)的討論提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。拓?fù)淇臻g：設(shè)X是一個(gè)集合，\tau是X的一個(gè)子集族，滿足以下三個(gè)條件：X本身與空集\varnothing都屬于\tau。\tau中任意多個(gè)元素的并集仍屬于\tau。\tau中有限個(gè)元素的交集仍屬于\tau。則稱偶對(duì)(X,\tau)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，\tau稱為X上的拓?fù)?，\tau中的元素稱為開(kāi)集。例如，實(shí)數(shù)集\mathbb{R}上可以定義通常的歐幾里得拓?fù)洌渲虚_(kāi)區(qū)間(a,b)是開(kāi)集，任意多個(gè)開(kāi)區(qū)間的并集以及有限個(gè)開(kāi)區(qū)間的交集也都是開(kāi)集。映射：設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X\rightarrowY是一個(gè)從X到Y(jié)的函數(shù)。如果對(duì)于Y中的任意開(kāi)集V，其原像f^{-1}(V)=\{x\inX:f(x)\inV\}是X中的開(kāi)集，則稱f是一個(gè)連續(xù)映射。連續(xù)映射保持了拓?fù)淇臻g中的某種連續(xù)性，它在拓?fù)鋵W(xué)中具有重要的地位。比如，在實(shí)數(shù)空間中，函數(shù)y=x^2是一個(gè)連續(xù)映射，對(duì)于實(shí)數(shù)空間中的開(kāi)集，其原像在定義域中也是開(kāi)集。弱基：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，\mathcal{B}=\{\mathcal{B}_x:x\inX\}是X的子集族，其中\(zhòng)mathcal{B}_x是x的子集族。如果滿足：U是X的開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意x\inU，存在B\in\mathcal{B}_x，使得B\subseteqU，則稱\mathcal{B}是X的弱基。弱基為定義廣義度量空間提供了重要的途徑，是廣義度量空間理論中的一個(gè)關(guān)鍵概念。cs網(wǎng)絡(luò)：設(shè)\mathcal{P}是拓?fù)淇臻gX的子集族，如果對(duì)于X中的任意點(diǎn)x，以及收斂于x的序列\(zhòng){x_n\}，和包含x的任意開(kāi)集U，存在P\in\mathcal{P}，使得\{x_n\}從某項(xiàng)開(kāi)始都在P中，且P\subseteqU，則稱\mathcal{P}是X的cs網(wǎng)絡(luò)。cs網(wǎng)絡(luò)在刻畫(huà)空間的序列收斂性質(zhì)方面具有重要作用。sn網(wǎng)絡(luò)：設(shè)\mathcal{P}是拓?fù)淇臻gX的子集族，如果對(duì)于X中的任意點(diǎn)x，以及收斂于x的序列\(zhòng){x_n\}，存在P\in\mathcal{P}，使得\{x_n\}從某項(xiàng)開(kāi)始都在P中，且x\inP，則稱\mathcal{P}是X的sn網(wǎng)絡(luò)。sn網(wǎng)絡(luò)與空間的序列收斂特征緊密相關(guān)。k網(wǎng)絡(luò)：設(shè)\mathcal{P}是拓?fù)淇臻gX的子集族，如果對(duì)于X中的任意緊子集K和包含K的任意開(kāi)集U，存在有限個(gè)P_1,P_2,\cdots,P_n\in\mathcal{P}，使得K\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}P_i\subseteqU，則稱\mathcal{P}是X的k網(wǎng)絡(luò)。k網(wǎng)絡(luò)在研究空間的緊性相關(guān)性質(zhì)時(shí)起著關(guān)鍵作用。這些基本概念和性質(zhì)是我們后續(xù)研究由弱基定義的空間及其相關(guān)結(jié)果的基石，它們之間相互關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了拓?fù)鋵W(xué)中廣義度量空間理論的基礎(chǔ)框架。在后續(xù)的章節(jié)中，我們將基于這些預(yù)備知識(shí)，深入探討由弱基定義的各種空間的內(nèi)部特征，以及它們與度量空間之間的聯(lián)系。二、具有一致弱基的空間2.1引言在廣義度量空間理論的研究領(lǐng)域中，具有一致弱基的空間作為一類特殊的拓?fù)淇臻g，占據(jù)著重要的位置。自A.V.Arhangel'skii引入弱基這一概念后，眾多拓?fù)鋵W(xué)者圍繞由弱基定義的空間展開(kāi)了深入探索，具有一致弱基的空間便是其中備受關(guān)注的研究對(duì)象之一。這類空間的研究與廣義度量空間理論的發(fā)展緊密相連。廣義度量空間理論旨在通過(guò)各種廣義度量性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)和分類拓?fù)淇臻g，揭示不同拓?fù)淇臻g之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別。具有一致弱基的空間，憑借其獨(dú)特的性質(zhì)，為我們理解廣義度量空間的結(jié)構(gòu)和特征提供了新的視角。它與其他廣義度量空間，如g可度量空間、具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間等，既存在相似之處，又有著顯著的差異。深入研究具有一致弱基的空間，有助于我們進(jìn)一步完善廣義度量空間的理論體系，豐富對(duì)拓?fù)淇臻g分類的認(rèn)識(shí)。從拓?fù)淇臻g的映射角度來(lái)看，具有一致弱基的空間與度量空間之間存在著特殊的聯(lián)系。通過(guò)弱開(kāi)映射、緊映射等不同類型的映射，我們可以建立起具有一致弱基的空間與度量空間之間的橋梁，從而借助度量空間的一些成熟理論和方法來(lái)研究具有一致弱基的空間。這種聯(lián)系的研究，不僅有助于我們更深入地理解具有一致弱基的空間的內(nèi)部特征，還能為解決一些拓?fù)鋵W(xué)中的相關(guān)問(wèn)題提供新的思路和方法。例如，在研究拓?fù)淇臻g的可度量性問(wèn)題時(shí)，具有一致弱基的空間的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論可以為我們提供重要的參考和依據(jù)。此外，具有一致弱基的空間在拓?fù)鋵W(xué)的其他分支以及相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域也有著潛在的應(yīng)用價(jià)值。在拓?fù)淙旱难芯恐校負(fù)淇臻g的性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響是一個(gè)重要的研究方向，具有一致弱基的空間的性質(zhì)可能會(huì)為拓?fù)淙旱难芯刻峁┬碌难芯糠较蚝头椒?。在?jì)算機(jī)科學(xué)中的圖形學(xué)、人工智能等領(lǐng)域，對(duì)空間結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究也有著重要的應(yīng)用需求，具有一致弱基的空間的理論成果可能會(huì)在這些領(lǐng)域中得到應(yīng)用和拓展。綜上所述，對(duì)具有一致弱基的空間的研究具有重要的理論意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值，它將為廣義度量空間理論的發(fā)展以及相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的研究提供有力的支持和推動(dòng)。2.2主要結(jié)果在本部分，我們將給出具有一致弱基空間的等價(jià)條件，并進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。這些等價(jià)條件從不同角度刻畫(huà)了具有一致弱基的空間，為我們深入理解這類空間的性質(zhì)提供了有力的工具。定理2.2.1：對(duì)于空間X，下述條件是等價(jià)的：X具有一致弱基。X是具有一致cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間。X具有由點(diǎn)有限cs覆蓋構(gòu)成的弱展開(kāi)。X是度量空間的弱開(kāi)緊映象。證明：證明：設(shè)\{\mathcal{B}_n\}是空間X的一致弱基。對(duì)于X中任意收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}以及包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈{\mathcal{B}_n\}是一致弱基，所以存在m\inN，使得當(dāng)n\geqm時(shí)，對(duì)于任意y\in\{x_n:n\geqm\}\cup\{x\}，存在B\in\mathcal{B}_n，滿足y\inB\subseteqU。令\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，下面證明\mathcal{P}是X的一致cs網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于X中收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}和包含x的開(kāi)集U，由上述可知存在m\inN和B\in\mathcal{B}_m，使得\{x_n:n\geqm\}\subseteqB\subseteqU，所以\mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)閈{\mathcal{B}_n\}是一致弱基，所以\mathcal{P}是一致的，即X是具有一致cs網(wǎng)絡(luò)的空間。對(duì)于任意x\inX，\{\mathcal{B}_n(x)\}是x處的弱鄰域基，所以X是g第一可數(shù)空間。綜上，(1)\Rightarrow(2)成立。證明：設(shè)\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n是X的一致cs網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)\mathcal{P}_n是X的局部有限集族。對(duì)于x\inX，令\mathcal{U}_n=\{P\in\mathcal{P}_n:x\inP\}。首先證明\{\mathcal{U}_n\}是X的點(diǎn)有限cs覆蓋。對(duì)于X中收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}，因?yàn)閈mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)，所以存在m\inN和P\in\mathcal{P}_m，使得\{x_n:n\geqm\}\subseteqP且x\inP，即P\in\mathcal{U}_m，所以\{\mathcal{U}_n\}是cs覆蓋。又因?yàn)閈mathcal{P}_n是局部有限的，所以\mathcal{U}_n是點(diǎn)有限的。接下來(lái)證明\{\mathcal{U}_n\}是X的弱展開(kāi)。對(duì)于x\inX和包含x的開(kāi)集U，由于\mathcal{P}是一致cs網(wǎng)絡(luò)，存在m\inN，使得當(dāng)n\geqm時(shí)，對(duì)于任意y\in\{x_n:n\geqm\}\cup\{x\}（這里\{x_n\}是任意收斂于x的序列），存在P\in\mathcal{P}_n，滿足y\inP\subseteqU，即st(x,\mathcal{U}_n)\subseteqU，所以\{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)。綜上，(2)\Rightarrow(3)成立。證明：設(shè)\{\mathcal{U}_n\}是X的由點(diǎn)有限cs覆蓋構(gòu)成的弱展開(kāi)。記\mathcal{U}_n=\{U_{\alpha}^n:\alpha\in\Lambda_n\}。令M=\{(x,\alpha)\inX\times\prod_{n\inN}\Lambda_n:x\in\bigcap_{n\inN}U_{\alpha(n)}^n\}，M作為X\times\prod_{n\inN}\Lambda_n的子空間，\prod_{n\inN}\Lambda_n賦予離散拓?fù)涞某朔e拓?fù)洌訫是可度量空間。定義f:M\rightarrowX，f((x,\alpha))=x，顯然f是滿射。先證明f是連續(xù)的。對(duì)于X中的開(kāi)集U，設(shè)(x,\alpha)\inf^{-1}(U)，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，所以存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU。令V=\{y\inX:y\in\bigcap_{n=1}^mU_{\alpha(n)}^n\}\times\{\beta\in\prod_{n\inN}\Lambda_n:\beta(n)=\alpha(n),n=1,\cdots,m\}，V是M中的開(kāi)集，且(x,\alpha)\inV\subseteqf^{-1}(U)，所以f是連續(xù)的。再證明f是弱開(kāi)的。對(duì)于M中的開(kāi)集W，設(shè)x\inf(W)，則存在(x,\alpha)\inW。因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqf(W)，所以f是弱開(kāi)的。最后證明f是緊映射。對(duì)于x\inX，\{U\in\mathcal{U}_n:x\inU\}是有限集，設(shè)為\{U_{\alpha_1}^n,\cdots,U_{\alpha_k}^n\}。令F=\{(x,\beta)\inM:\beta(n)\in\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\},n\inN\}，F(xiàn)是M中的緊集，且f(F)=\{x\}，所以f是緊映射。綜上，X是度量空間M的弱開(kāi)緊映象，(3)\Rightarrow(4)成立。證明：設(shè)f:M\rightarrowX是度量空間M到空間X的弱開(kāi)緊映象。對(duì)于n\inN，令\mathcal{B}_n=\{f(B(x,\frac{1}{n})):x\inM\}，其中B(x,\frac{1}{n})是以x為中心，\frac{1}{n}為半徑的開(kāi)球。首先證明\{\mathcal{B}_n\}是X的弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集U，若x\inU，因?yàn)閒是弱開(kāi)的，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{B}_m)\subseteqU。反之，若對(duì)于任意x\inA，存在n_x\inN，使得f(B(x,\frac{1}{n_x}))\subseteqA，令W=\bigcup_{x\inA}B(x,\frac{1}{n_x})，則f(W)=A，且W是M中的開(kāi)集，因?yàn)閒是連續(xù)的，所以A是X中的開(kāi)集，所以\{\mathcal{B}_n\}是弱基。然后證明\{\mathcal{B}_n\}是一致的。對(duì)于X中收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}，因?yàn)閒是緊映射，f^{-1}(\{x_n\}\cup\{x\})是M中的緊集。對(duì)于\epsilon\gt0，存在有限個(gè)B(x_i,\epsilon)，i=1,\cdots,k，使得f^{-1}(\{x_n\}\cup\{x\})\subseteq\bigcup_{i=1}^kB(x_i,\epsilon)。存在m\inN，當(dāng)n\geqm時(shí)，\{x_n\}\subseteqf(\bigcup_{i=1}^kB(x_i,\epsilon))，所以\{\mathcal{B}_n\}是一致的。綜上，X具有一致弱基，(4)\Rightarrow(1)成立。綜上，定理2.2.1中四個(gè)條件相互等價(jià)，完成了對(duì)具有一致弱基空間等價(jià)條件的證明。這些等價(jià)條件在研究具有一致弱基空間的性質(zhì)、與其他空間的關(guān)系以及解決相關(guān)拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題時(shí)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。例如，在判斷一個(gè)空間是否具有一致弱基時(shí)，可以根據(jù)具體情況選擇上述等價(jià)條件中的某一個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，為研究工作提供了靈活性和便利性。三、度量空間的弱開(kāi)π映象3.1引言與定義在拓?fù)鋵W(xué)的研究中，通過(guò)映射來(lái)刻畫(huà)度量空間的象，一直是廣義度量空間領(lǐng)域的重要課題。不同類型的映射，如開(kāi)映射、閉映射、商映射等，為我們揭示度量空間與其他拓?fù)淇臻g之間的聯(lián)系提供了多種視角。而弱開(kāi)映射與\pi映射的組合，即度量空間的弱開(kāi)\pi映象，作為其中的一個(gè)研究方向，近年來(lái)受到了拓?fù)鋵W(xué)者的關(guān)注。弱開(kāi)映射是一種特殊的映射，它在保持拓?fù)淇臻g某些性質(zhì)的同時(shí)，又具有與開(kāi)映射不同的特性。對(duì)于弱開(kāi)映射，存在目標(biāo)空間的弱基\mathcal{B}=\bigcup\{\mathcal{B}_y:y\inY\}，且對(duì)每一y\inY，存在x(y)\inf^{-1}(y)，滿足對(duì)x(y)的任何開(kāi)鄰域U，存在B_y\in\mathcal{B}_y使得B_y\subseteqf(U)。這種映射在建立具有某種弱基的空間類與度量空間的關(guān)系中發(fā)揮了重要作用。\pi映射同樣具有獨(dú)特的性質(zhì)。若(X,d)是度量空間，對(duì)于映射f:X\rightarrowY，稱f為\pi映射，如果對(duì)于每一y\inY及含y的開(kāi)集U，有d(f^{-1}(y),X-f^{-1}(U))\gt0。\pi映射在探討度量空間的象或逆映象時(shí)，為我們提供了一種新的度量空間與其他空間之間的聯(lián)系橋梁。將弱開(kāi)映射與\pi映射相結(jié)合，研究度量空間的弱開(kāi)\pi映象，有助于我們進(jìn)一步理解廣義度量空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。通過(guò)對(duì)度量空間的弱開(kāi)\pi映象的研究，我們可以深入探討這類空間的內(nèi)部特征，揭示它們與其他廣義度量空間，如具有\(zhòng)sigma-局部有限弱基的g可度量空間、具有一致弱基的空間等之間的內(nèi)在聯(lián)系。這不僅可以豐富廣義度量空間的理論體系，還能為解決一些拓?fù)鋵W(xué)中的相關(guān)問(wèn)題提供新的思路和方法。例如，在研究拓?fù)淇臻g的可度量化問(wèn)題時(shí)，度量空間的弱開(kāi)\pi映象的相關(guān)結(jié)論可能會(huì)為我們提供重要的參考依據(jù)。此外，度量空間的弱開(kāi)\pi映象的研究，也與拓?fù)鋵W(xué)中的其他領(lǐng)域有著潛在的關(guān)聯(lián)。在拓?fù)淙旱难芯恐?，拓?fù)淇臻g的映射性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響是一個(gè)重要的研究方向，度量空間的弱開(kāi)\pi映象的性質(zhì)可能會(huì)為拓?fù)淙旱难芯刻峁┬碌难芯糠较蚝头椒?。在?jì)算機(jī)科學(xué)中的圖形學(xué)、人工智能等領(lǐng)域，對(duì)空間結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究也有著重要的應(yīng)用需求，度量空間的弱開(kāi)\pi映象的理論成果可能會(huì)在這些領(lǐng)域中得到應(yīng)用和拓展。3.2主要定理在本部分，我們將給出度量空間弱開(kāi)\pi映象的等價(jià)條件，這些條件從不同角度刻畫(huà)了度量空間的弱開(kāi)\pi映象，為我們深入理解這類空間提供了重要依據(jù)。定理3.2.1：對(duì)空間X，下述條件是等價(jià)的：X是度量空間的弱開(kāi)\pi映象。X具有由cs覆蓋組成的弱展開(kāi)。X具有由sn覆蓋組成的弱展開(kāi)。X是Cauchy空間。X是g可展空間。證明：證明：設(shè)f:M\rightarrowX是度量空間M到空間X的弱開(kāi)\pi映射。對(duì)n\inN，令\mathcal{U}_n=\{f(B(x,\frac{1}{n})):x\inM\}，其中B(x,\frac{1}{n})是以x為中心，\frac{1}{n}為半徑的開(kāi)球。先證明\{\mathcal{U}_n\}是X的cs覆蓋。設(shè)\{x_i\}是X中收斂于x的序列。因?yàn)閒是\pi映射，對(duì)于包含x的任意開(kāi)集U，d(f^{-1}(x),M-f^{-1}(U))\gt0。由于\{x_i\}收斂于x，存在m\inN，當(dāng)i\geqm時(shí)，x_i\inU。又因?yàn)閒是弱開(kāi)的，存在k\inN，使得st(x,\mathcal{U}_k)\subseteqU。對(duì)于y\inf^{-1}(x)，存在z\inM，使得x\inf(B(z,\frac{1}{k}))，且f^{-1}(x)\capB(z,\frac{1}{k})\neq\varnothing。由于d(f^{-1}(x),M-f^{-1}(U))\gt0，存在n\geqk，使得B(z,\frac{1}{n})\subseteqf^{-1}(U)，從而f(B(z,\frac{1}{n}))\subseteqU。因?yàn)閈{x_i\}收斂于x，從某項(xiàng)開(kāi)始\{x_i\}都在f(B(z,\frac{1}{n}))中，所以\{\mathcal{U}_n\}是cs覆蓋。再證明\{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)。對(duì)于x\inX和包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閒是弱開(kāi)的，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU，所以\{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)。綜上，X具有由cs覆蓋組成的弱展開(kāi)，(1)\Rightarrow(2)成立。證明：設(shè)\{\mathcal{U}_n\}是X的由cs覆蓋組成的弱展開(kāi)。對(duì)于x\inX，令\mathcal{V}_n=\{st(x,\mathcal{U}_n)\}。先證明\{\mathcal{V}_n\}是sn覆蓋。設(shè)\{x_i\}是X中收斂于x的序列。因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是cs覆蓋，存在m\inN和U\in\mathcal{U}_m，使得\{x_i\}從某項(xiàng)開(kāi)始都在U中。又因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，存在k\geqm，使得st(x,\mathcal{U}_k)\subseteqU，即\{x_i\}從某項(xiàng)開(kāi)始都在st(x,\mathcal{U}_k)中，所以\{\mathcal{V}_n\}是sn覆蓋。再證明\{\mathcal{V}_n\}是弱展開(kāi)。對(duì)于x\inX和包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU，即st(x,\mathcal{V}_m)\subseteqU，所以\{\mathcal{V}_n\}是弱展開(kāi)。綜上，X具有由sn覆蓋組成的弱展開(kāi)，(2)\Rightarrow(3)成立。證明：設(shè)\{\mathcal{U}_n\}是X的由sn覆蓋組成的弱展開(kāi)。對(duì)于x\inX，令\mathcal{F}_n=\{\overline{st(x,\mathcal{U}_n)}\}。先證明\{\mathcal{F}_n\}滿足Cauchy空間的條件。設(shè)\{x_i\}是X中的序列。對(duì)于任意n\inN，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是sn覆蓋，若\{x_i\}無(wú)限次地進(jìn)入\overline{st(x,\mathcal{U}_n)}，則存在x\inX，使得\{x_i\}有子序列收斂于x。假設(shè)\{x_i\}不是Cauchy序列，則存在\epsilon\gt0，對(duì)于任意m\inN，存在i,j\geqm，使得x_i,x_j不在同一個(gè)\overline{st(x,\mathcal{U}_k)}（對(duì)于任意k，滿足diam(\overline{st(x,\mathcal{U}_k)})\lt\epsilon）中。但因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，這與\{x_i\}的性質(zhì)矛盾，所以\{x_i\}是Cauchy序列。又因?yàn)槿鬨{x_i\}是Cauchy序列，由\{\mathcal{U}_n\}是弱展開(kāi)，可知\{x_i\}收斂，所以X是Cauchy空間，(3)\Rightarrow(4)成立。證明：設(shè)X是Cauchy空間。對(duì)于x\inX，令\mathcal{B}_n(x)=\{U：U是x的開(kāi)鄰域，且對(duì)于任意Cauchy序列\(zhòng){x_i\}，若\{x_i\}最終在U中，則\{x_i\}收斂\}。先證明\{\mathcal{B}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。對(duì)于包含x的開(kāi)集V，因?yàn)閄是Cauchy空間，存在n\inN，使得對(duì)于任意Cauchy序列\(zhòng){x_i\}，若\{x_i\}最終在st(x,\mathcal{B}_n(x))中，則\{x_i\}收斂且極限為x，從而st(x,\mathcal{B}_n(x))\subseteqV，所以\{\mathcal{B}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。再證明X是g可展空間。對(duì)于x\inX和包含x的開(kāi)集V，存在n\inN，使得st(x,\mathcal{B}_n(x))\subseteqV，滿足g可展空間的定義，所以X是g可展空間，(4)\Rightarrow(5)成立。證明：設(shè)X是g可展空間，\{\mathcal{U}_n\}是X的g展開(kāi)。記\mathcal{U}_n=\{U_{\alpha}^n:\alpha\in\Lambda_n\}。令M=\{(x,\alpha)\inX\times\prod_{n\inN}\Lambda_n:x\in\bigcap_{n\inN}U_{\alpha(n)}^n\}，M作為X\times\prod_{n\inN}\Lambda_n的子空間，\prod_{n\inN}\Lambda_n賦予離散拓?fù)涞某朔e拓?fù)?，所以M是可度量空間。定義f:M\rightarrowX，f((x,\alpha))=x，顯然f是滿射。先證明f是連續(xù)的。對(duì)于X中的開(kāi)集U，設(shè)(x,\alpha)\inf^{-1}(U)，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是g展開(kāi)，所以存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU。令V=\{y\inX:y\in\bigcap_{n=1}^mU_{\alpha(n)}^n\}\times\{\beta\in\prod_{n\inN}\Lambda_n:\beta(n)=\alpha(n),n=1,\cdots,m\}，V是M中的開(kāi)集，且(x,\alpha)\inV\subseteqf^{-1}(U)，所以f是連續(xù)的。再證明f是弱開(kāi)的。對(duì)于M中的開(kāi)集W，設(shè)x\inf(W)，則存在(x,\alpha)\inW。因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是g展開(kāi)，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqf(W)，所以f是弱開(kāi)的。最后證明f是\pi映射。對(duì)于x\inX及含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n\}是g展開(kāi)，存在m\inN，使得st(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU。對(duì)于\alpha\inf^{-1}(x)，若\beta\inM且\beta與\alpha在m之前的坐標(biāo)相同，則f(\beta)\inst(x,\mathcal{U}_m)\subseteqU，所以d(f^{-1}(x),M-f^{-1}(U))\gt0，f是\pi映射。綜上，X是度量空間M的弱開(kāi)\pi映象，(5)\Rightarrow(1)成立。綜上，定理3.2.1中五個(gè)條件相互等價(jià)，完成了對(duì)度量空間弱開(kāi)\pi映象等價(jià)條件的證明。這些等價(jià)條件在研究度量空間弱開(kāi)\pi映象的性質(zhì)、與其他空間的關(guān)系以及解決相關(guān)拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題時(shí)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。例如，在判斷一個(gè)空間是否是度量空間的弱開(kāi)\pi映象時(shí)，可以根據(jù)具體情況選擇上述等價(jià)條件中的某一個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，為研究工作提供了靈活性和便利性。四、具有σ-局部可數(shù)弱基的空間與msss映射4.1定義在拓?fù)鋵W(xué)的廣義度量空間研究中，具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間以及msss映射是兩個(gè)重要的概念，它們對(duì)于揭示拓?fù)淇臻g的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)起著關(guān)鍵作用。定義4.1.1：設(shè)\mathcal{P}是拓?fù)淇臻gX的子集族。如果對(duì)于X的每個(gè)開(kāi)集U及U中的每一點(diǎn)x，存在P\in\mathcal{P}，使得x\inP\subseteqU，則稱\mathcal{P}是X的弱基。若\mathcal{P}還滿足\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n，且每個(gè)\mathcal{P}_n是局部可數(shù)的，即對(duì)于X中的每一點(diǎn)x，\{P\in\mathcal{P}_n:x\inP\}是可數(shù)的，則稱\mathcal{P}是X的\sigma-局部可數(shù)弱基。例如，考慮實(shí)數(shù)空間\mathbb{R}，賦予通常的歐幾里得拓?fù)?。設(shè)\mathcal{P}_n=\{(a,b):a,b\in\mathbb{Q},|b-a|\lt\frac{1}{n}\}，\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n。對(duì)于\mathbb{R}中的任意開(kāi)集U以及U中的點(diǎn)x，根據(jù)有理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，一定存在n\inN以及(a,b)\in\mathcal{P}_n，使得x\in(a,b)\subseteqU，并且每個(gè)\mathcal{P}_n是局部可數(shù)的，所以\mathcal{P}是\mathbb{R}的\sigma-局部可數(shù)弱基。定義4.1.2：設(shè)f:X\rightarrowY是拓?fù)淇臻g之間的映射。如果存在度量空間序列\(zhòng){X_i:i\inN\}，X=\prod_{i\inN}X_i，且對(duì)于Y的每一點(diǎn)y，存在y在Y中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){V_n\}，使得對(duì)每一n\inN，p_i(f^{-1}(V_n))是4.2具有σ-局部可數(shù)弱基的空間具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間在廣義度量空間理論中占據(jù)著重要地位，它與度量空間之間存在著緊密的聯(lián)系，通過(guò)msss映射可以建立起二者之間的橋梁。下面我們將深入探討這類空間的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論。定理4.2.1：空間X具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基，當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱開(kāi)msss映象。證明：充分性：設(shè)X是度量空間M在弱開(kāi)msss映射f:M\rightarrowX下的象。因?yàn)镸是度量空間，所以M具有\(zhòng)sigma-局部有限基\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，其中每個(gè)\mathcal{B}_n是局部有限的。對(duì)于n\inN，令\mathcal{P}_n=\{f(B):B\in\mathcal{B}_n\}，\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n。首先證明\mathcal{P}是X的弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集U，若x\inU，由于f是弱開(kāi)的，存在M中的開(kāi)集V，使得f(V)\subseteqU且f^{-1}(x)\capV\neq\varnothing。因?yàn)閈mathcal{B}是M的基，存在B\in\mathcal{B}，使得f^{-1}(x)\capB\subseteqV，從而x\inf(B)\subseteqU。反之，若對(duì)于任意x\inA，存在B_x\in\mathcal{P}，使得x\inB_x\subseteqA，令W=\bigcup\{f^{-1}(B_x):x\inA\}，則f(W)=A，且W是M中的開(kāi)集，因?yàn)閒是連續(xù)的，所以A是X中的開(kāi)集，所以\mathcal{P}是弱基。然后證明\mathcal{P}是\sigma-局部可數(shù)的。對(duì)于x\inX，因?yàn)閒是msss映射，存在x在X中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){V_n\}，使得對(duì)每一n\inN，p_i(f^{-1}(V_n))是M的可分子空間（這里涉及到msss映射的定義，與度量空間序列相關(guān)）。由于\mathcal{B}_n是局部有限的，\{B\in\mathcal{B}_n:B\capf^{-1}(x)\neq\varnothing\}是可數(shù)的，從而\{f(B)\in\mathcal{P}_n:x\inf(B)\}是可數(shù)的，所以\mathcal{P}是\sigma-局部可數(shù)的。即X具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基。必要性：設(shè)\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n是X的\sigma-局部可數(shù)弱基，其中每個(gè)\mathcal{B}_n是局部可數(shù)的。令M=\{(x,\alpha)\inX\times\prod_{n\inN}\Lambda_n:x\in\bigcap_{n\inN}B_{\alpha(n)}^n,B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n\}，這里\Lambda_n是使得\mathcal{B}_n=\{B_{\alpha}^n:\alpha\in\Lambda_n\}的指標(biāo)集。M作為X\times\prod_{n\inN}\Lambda_n的子空間，\prod_{n\inN}\Lambda_n賦予離散拓?fù)涞某朔e拓?fù)?，所以M是可度量空間。定義f:M\rightarrowX，f((x,\alpha))=x，顯然f是滿射。先證明f是連續(xù)的。對(duì)于X中的開(kāi)集U，設(shè)(x,\alpha)\inf^{-1}(U)，因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在n\inN和B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n，使得x\inB_{\alpha(n)}^n\subseteqU。令V=\{y\inX:y\inB_{\alpha(n)}^n\}\times\{\beta\in\prod_{n\inN}\Lambda_n:\beta(n)=\alpha(n)\}，V是M中的開(kāi)集，且(x,\alpha)\inV\subseteqf^{-1}(U)，所以f是連續(xù)的。再證明f是弱開(kāi)的。對(duì)于M中的開(kāi)集W，設(shè)x\inf(W)，則存在(x,\alpha)\inW。因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在n\inN和B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n，使得x\inB_{\alpha(n)}^n\subseteqf(W)，所以f是弱開(kāi)的。最后證明f是msss映射。對(duì)于x\inX，存在x在X中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){U_n\}，因?yàn)閈mathcal{B}是\sigma-局部可數(shù)的，對(duì)于每個(gè)U_n，\{B\in\mathcal{B}:B\capU_n\neq\varnothing\}是可數(shù)的。設(shè)\{B_{\alpha_i}^n:i\inN\}是\{B\in\mathcal{B}:B\capU_n\neq\varnothing\}的一個(gè)枚舉。令V_n=\{y\inX:y\in\bigcup_{i\inN}B_{\alpha_i}^n\}，則p_i(f^{-1}(V_n))是M的可分子空間（這里通過(guò)\sigma-局部可數(shù)弱基的性質(zhì)構(gòu)造出滿足msss映射條件的開(kāi)鄰域列），所以f是msss映射。即X是度量空間M的弱開(kāi)msss映象。綜上，定理4.2.1得證。這個(gè)定理為我們研究具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間提供了重要的視角，通過(guò)與度量空間的弱開(kāi)msss映象建立等價(jià)關(guān)系，我們可以借助度量空間的一些性質(zhì)和結(jié)論來(lái)深入探討這類空間。例如，在研究空間的可度量化問(wèn)題時(shí)，如果一個(gè)空間被證明是度量空間的弱開(kāi)msss映象，那么我們就可以根據(jù)上述定理得出它具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基，從而進(jìn)一步分析其拓?fù)湫再|(zhì)。定理4.2.2：對(duì)于空間x，下述條件(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)成立：X具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基。X是具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間。X是具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間。證明：證明：設(shè)\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n是X的\sigma-局部可數(shù)弱基。對(duì)于X中收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}以及包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在m\inN和B\in\mathcal{B}_m，使得x\inB\subseteqU，且從某項(xiàng)開(kāi)始\{x_n\}都在B中。令\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，則\mathcal{P}是X的cs網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)閈mathcal{B}是\sigma-局部可數(shù)的，所以\mathcal{P}是\sigma-局部可數(shù)的。對(duì)于任意x\inX，\{\mathcal{B}_n(x)\}是x處的弱鄰域基，所以X是g第一可數(shù)空間。綜上，X是具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間，(1)\Rightarrow(2)成立。證明：設(shè)\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n是X的\sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)\mathcal{P}_n是局部可數(shù)的。對(duì)于x\inX，令\mathcal{U}_n(x)=\{P\in\mathcal{P}_n:x\inP\}。首先證明\{\mathcal{U}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。對(duì)于包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)，存在m\inN和P\in\mathcal{P}_m，使得x\inP\subseteqU，即P\in\mathcal{U}_m(x)，所以\{\mathcal{U}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。然后證明\bigcup_{n\inN}\mathcal{U}_n是\sigma-局部可數(shù)弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集V，若y\inV，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n(y)\}是y處的弱鄰域基，存在n\inN和P\in\mathcal{U}_n(y)，使得y\inP\subseteqV。反之，若對(duì)于任意y\inA，存在n_y\inN和P_y\in\mathcal{U}_{n_y}(y)，使得y\inP_y\subseteqA，令W=\bigcup\{P_y:y\inA\}，因?yàn)閈mathcal{P}是\sigma-局部可數(shù)的，W是X中的開(kāi)集，所以A是X中的開(kāi)集，所以\bigcup_{n\inN}\mathcal{U}_n是弱基，且是\sigma-局部可數(shù)的。即X具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基，(2)\Rightarrow(1)成立。證明：設(shè)\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n是X的\sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)\mathcal{P}_n是局部可數(shù)的。對(duì)于X中的緊子集K和包含K的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于K中的每個(gè)點(diǎn)x，存在m_x\inN和P_x\in\mathcal{P}_{m_x}，使得x\inP_x\subseteqU。由于K是緊的，存在有限個(gè)x_1,\cdots,x_k\inK，使得K\subseteq\bigcup_{i=1}^{k}P_{x_i}\subseteqU。令\mathcal{Q}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n，則\mathcal{Q}是X的k網(wǎng)絡(luò)，且是\sigma-局部可數(shù)的。又因?yàn)閄是g第一可數(shù)空間，所以X是具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間，(2)\Rightarrow(3)成立。綜上，定理4.2.2中條件(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)得證。這個(gè)定理進(jìn)一步揭示了具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間與具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)、\sigma-局部可數(shù)k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間之間的關(guān)系，為我們從不同角度理解和研究這類空間提供了便利。例如，在判斷一個(gè)空間是否具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基時(shí)，可以通過(guò)驗(yàn)證它是否是具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間來(lái)進(jìn)行，豐富了我們研究這類空間的方法和手段。4.3序列復(fù)蓋msss映射在拓?fù)淇臻g的研究中，序列復(fù)蓋msss映射作為一種特殊的映射類型，與具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間存在著緊密的聯(lián)系。這種聯(lián)系不僅有助于我們深入理解拓?fù)淇臻g的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，還為解決一些拓?fù)鋵W(xué)中的相關(guān)問(wèn)題提供了新的思路和方法。定理4.3.1：T_3空間X是度量空間的序列覆蓋msss-映象當(dāng)且僅當(dāng)它具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)cs^*-網(wǎng)。證明：必要性：設(shè)X是度量空間在序列覆蓋msss映射f:M\rightarrowX下的象。因?yàn)镸是度量空間，所以存在度量空間序列\(zhòng){X_i:i\inN\}，M=\prod_{i\inN}X_i，且對(duì)任意i\inN，X_i有\(zhòng)sigma-局部有限基\mathcal{P}_i。取\mathcal{B}_n=\{\prod_{i=1}^{n}p_i^{-1}(P_i)\times\prod_{i=n+1}^{\infty}X_i:P_i\in\mathcal{P}_i,i\leqn\}，\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，則\mathcal{B}是M的基。對(duì)于y\inX，由于f是msss映射，存在y在X中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){V_n\}，使得對(duì)每一n\inN，p_i(f^{-1}(V_n))五、具有局部可數(shù)弱基的空間5.1問(wèn)題的提出在拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域中，局部可分度量空間與具有局部可數(shù)弱基的空間之間存在著緊密的聯(lián)系。通過(guò)緊覆蓋映射、1-序列覆蓋映射、\pi映射和ss映射等不同類型的映射，我們建立了這兩類空間之間的關(guān)系。例如，已經(jīng)證明空間X具有局部可數(shù)弱基，當(dāng)且僅當(dāng)它是局部可分度量空間的緊覆蓋、商、緊、ss映象，也等價(jià)于是局部可分度量空間的商、緊、ss映象，還等價(jià)于是局部可分度量空間的商、\pi、ss映象以及局部可分度量空間的1序列覆蓋、商、ss映象。然而，盡管已經(jīng)取得了這些成果，對(duì)于具有局部可數(shù)弱基的空間，仍有許多未知的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ剿?。例如，在不同映射條件下，這類空間的更多內(nèi)在特征尚未被完全揭示。在一些特殊的映射，如msss映射、msk映射等情況下，具有局部可數(shù)弱基的空間會(huì)展現(xiàn)出怎樣獨(dú)特的性質(zhì)，目前還沒(méi)有深入的研究。此外，這類空間與其他廣義度量空間，如具有\(zhòng)sigma-局部可數(shù)弱基的空間、具有一致弱基的空間等之間，是否存在更深層次的聯(lián)系，也是值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題。從空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來(lái)看，具有局部可數(shù)弱基的空間的一些基本性質(zhì)，如它的可數(shù)性、分離性等，在不同條件下的變化規(guī)律也有待進(jìn)一步研究。例如，在某些特定的拓?fù)淇臻g類中，具有局部可數(shù)弱基的空間的可數(shù)性和分離性是否會(huì)受到影響，以及如何受到影響，這些問(wèn)題都尚未得到明確的答案。在應(yīng)用方面，具有局部可數(shù)弱基的空間在拓?fù)鋵W(xué)的其他分支，如拓?fù)淙骸⑼負(fù)湎蛄靠臻g等領(lǐng)域中，是否能發(fā)揮重要作用，也是一個(gè)值得研究的方向。同時(shí)，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)等相關(guān)學(xué)科中，這類空間的理論成果是否能得到應(yīng)用，以及如何應(yīng)用，也需要我們進(jìn)一步去探索和研究。綜上所述，雖然我們已經(jīng)對(duì)具有局部可數(shù)弱基的空間有了一定的認(rèn)識(shí)，但仍有許多問(wèn)題亟待解決，對(duì)這類空間的深入研究具有重要的理論意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。5.2結(jié)論通過(guò)深入研究，我們得到了具有局部可數(shù)弱基空間的一系列重要結(jié)論?？臻gX具有局部可數(shù)弱基，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下多個(gè)等價(jià)條件：它是局部可分度量空間的緊覆蓋、商、緊、ss映象；也是局部可分度量空間的商、緊、ss映象；還是局部可分度量空間的商、\pi、ss映象以及局部可分度量空間的1序列覆蓋、商、ss映象。證明：證明“具有局部可數(shù)弱基是局部可分度量空間的緊覆蓋、商、緊、ss映象”：設(shè)X具有局部可數(shù)弱基\mathcal{B}=\bigcup_{x\inX}\mathcal{B}_x。因?yàn)榫植靠煞侄攘靠臻g具有局部可數(shù)基，設(shè)M是局部可分度量空間，\mathcal{U}是M的局部可數(shù)基。定義映射f:M\rightarrowX，對(duì)于y\inM，由于\mathcal{B}是X的弱基，存在x\inX和B\in\mathcal{B}_x，使得f(y)\inB。因?yàn)閈mathcal{U}是局部可數(shù)的，對(duì)于y的某個(gè)鄰域U\in\mathcal{U}，可以構(gòu)造f使得f(U)\subseteqB。對(duì)于X中的緊集K，由于\mathcal{B}的局部可數(shù)性，存在M中的緊集L，使得f(L)=K，所以f是緊覆蓋映射。對(duì)于X中的開(kāi)集U，f^{-1}(U)在M中是開(kāi)集，所以f是商映射。對(duì)于y\inX，f^{-1}(y)是可分的，且f是緊的，所以f是緊、ss映象。證明“是局部可分度量空間的緊覆蓋、商、緊、ss映象具有局部可數(shù)弱基”：設(shè)f:M\rightarrowX是局部可分度量空間M到X的緊覆蓋、商、緊、ss映象。因?yàn)镸是局部可分度量空間，有局部可數(shù)基\mathcal{U}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{U}_n，其中每個(gè)\mathcal{U}_n是局部可數(shù)的。對(duì)于n\inN，令\mathcal{P}_n=\{f(U):U\in\mathcal{U}_n\}，\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n。首先證明\mathcal{P}是X的弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集V，若x\inV，由于f是商映射，f^{-1}(V)是M中的開(kāi)集，又因?yàn)閈mathcal{U}是M的基，存在U\in\mathcal{U}，使得f^{-1}(x)\capU\subseteqf^{-1}(V)，從而x\inf(U)\subseteqV。反之，若對(duì)于任意x\inA，存在P_x\in\mathcal{P}，使得x\inP_x\subseteqA，令W=\bigcup\{f^{-1}(P_x):x\inA\}，則f(W)=A，且W是M中的開(kāi)集，因?yàn)閒是連續(xù)的，所以A是X中的開(kāi)集，所以\mathcal{P}是弱基。然后證明\mathcal{P}是局部可數(shù)的。對(duì)于x\inX，因?yàn)閒是ss映象，f^{-1}(x)是可分的，又因?yàn)閈mathcal{U}_n是局部可數(shù)的，\{U\in\mathcal{U}_n:U\capf^{-1}(x)\neq\varnothing\}是可數(shù)的，從而\{f(U)\in\mathcal{P}_n:x\inf(U)\}是可數(shù)的，所以\mathcal{P}是局部可數(shù)的。即X具有局部可數(shù)弱基。證明其他等價(jià)條件的相互推導(dǎo)：對(duì)于“X是局部可分度量空間的商、緊、ss映象”“X是局部可分度量空間的商、\pi、ss映象”“X是局部可分度量空間的1序列覆蓋、商、ss映象”與“X具有局部可數(shù)弱基”的等價(jià)性證明，思路與上述類似。主要是利用不同映射（商映射、\pi映射、1-序列覆蓋映射等）的性質(zhì)，以及局部可分度量空間的局部可數(shù)基和X的局部可數(shù)弱基之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。例如，在證明“X是局部可分度量空間的商、\pi、ss映象\RightarrowX具有局部可數(shù)弱基”時(shí)，利用\pi映射對(duì)于開(kāi)集原像的距離性質(zhì)，結(jié)合局部可分度量空間的基的性質(zhì)，構(gòu)造出X的局部可數(shù)弱基；在證明“X具有局部可數(shù)弱基\RightarrowX是局部可分度量空間的1序列覆蓋、商、ss映象”時(shí)，根據(jù)1-序列覆蓋映射對(duì)于收斂序列的性質(zhì)，以及局部可數(shù)弱基的特點(diǎn)，構(gòu)造出滿足條件的映射。這些等價(jià)條件的建立，為我們深入理解具有局部可數(shù)弱基的空間提供了多重視角。通過(guò)這些等價(jià)刻畫(huà)，我們可以從局部可分度量空間的映象角度來(lái)認(rèn)識(shí)這類空間，也可以通過(guò)這類空間具有局部可數(shù)弱基的性質(zhì)去研究相關(guān)的映射和局部可分度量空間。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)我們判斷一個(gè)空間是否具有局部可數(shù)弱基時(shí)，可以根據(jù)具體情況選擇合適的等價(jià)條件進(jìn)行驗(yàn)證。例如，在研究某個(gè)拓?fù)淇臻g的性質(zhì)時(shí)，如果已知它是局部可分度量空間的某種映象，那么就可以利用上述等價(jià)結(jié)論得出它具有局部可數(shù)弱基，進(jìn)而利用局部可數(shù)弱基的性質(zhì)去進(jìn)一步分析該空間的其他性質(zhì)。同時(shí)，這些結(jié)論也為后續(xù)研究具有局部可數(shù)弱基的空間與其他拓?fù)淇臻g的關(guān)系，以及在拓?fù)鋵W(xué)其他分支和相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。六、具有σ-緊有限弱基的空間與msk映射6.1引言與定義在拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域中，廣義度量空間理論一直是備受關(guān)注的熱點(diǎn)方向。其中，對(duì)具有特定弱基的空間以及與之相關(guān)的映射的研究，有助于我們深入理解拓?fù)淇臻g的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間作為廣義度量空間中的一類特殊空間，其性質(zhì)和特征的研究具有重要的理論意義。同時(shí)，msk映射作為一種特殊的映射類型，在建立不同拓?fù)淇臻g之間的聯(lián)系方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用。定義6.1.1：設(shè)\mathcal{P}是拓?fù)淇臻gX的子集族。如果\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n，且對(duì)于每個(gè)n\inN，\mathcal{P}_n是緊有限的，即對(duì)于X的每個(gè)緊子集K，\{P\in\mathcal{P}_n:K\capP\neq\varnothing\}是有限的，則稱\mathcal{P}是X的\sigma-緊有限集族。若\mathcal{P}還滿足對(duì)于X的每個(gè)開(kāi)集U及U中的每一點(diǎn)x，存在P\in\mathcal{P}，使得x\inP\subseteqU，那么稱\mathcal{P}是X的\sigma-緊有限弱基。例如，考慮實(shí)數(shù)空間\mathbb{R}的一個(gè)子集族構(gòu)造。設(shè)\mathcal{P}_n=\{[a,b]:a,b\in\mathbb{Q},|b-a|\lt\frac{1}{n},[a,b]\cap[-n,n]\neq\varnothing\}，\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n。對(duì)于\mathbb{R}中的任意緊子集K，存在N\inN，使得K\subseteq[-N,N]。當(dāng)n\geqN時(shí)，\{[a,b]\in\mathcal{P}_n:K\cap[a,b]\neq\varnothing\}是有限的，所以\mathcal{P}是\sigma-緊有限集族。又因?yàn)閷?duì)于\mathbb{R}中的任意開(kāi)集U以及U中的點(diǎn)x，根據(jù)有理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，一定存在n\inN以及[a,b]\in\mathcal{P}_n，使得x\in[a,b]\subseteqU，所以\mathcal{P}是\mathbb{R}的\sigma-緊有限弱基。定義6.1.2：設(shè)f:X\rightarrowY是拓?fù)淇臻g之間的映射。稱f是msk-映射，如果對(duì)于Y的每一點(diǎn)y，存在y在Y中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){V_n\}，使得對(duì)每一n\inN，p_i(f^{-1}(V_n))是X的可分子空間，并且對(duì)于X中的每一收斂序列\(zhòng){x_i\}，若f(x_i)\rightarrowy，則存在\{x_i\}的子序列\(zhòng){x_{i_j}\}和X中的緊子集K，使得\{x_{i_j}\}\subseteqK且f(K)=\{y\}。這里p_i是從X到其某個(gè)因子空間的投影映射。msk-映射的定義綜合考慮了映射的像空間中開(kāi)鄰域的原像在因子空間上的可分性，以及原像中收斂序列與緊子集的關(guān)系。這種映射性質(zhì)使得它在研究具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間與度量空間之間的聯(lián)系時(shí)具有獨(dú)特的作用。通過(guò)msk-映射，我們可以將度量空間的一些性質(zhì)傳遞到具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間上，從而深入探討這類空間的拓?fù)湫再|(zhì)。6.2具有σ-緊有限弱基的空間具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間在廣義度量空間理論中具有獨(dú)特的地位，它與其他一些網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和度量空間的映射有著緊密的聯(lián)系。以下我們將詳細(xì)探討這類空間的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論。定理6.2.1：空間X具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱開(kāi)msk映象。證明：充分性：設(shè)X是度量空間M在弱開(kāi)msk映射f:M\rightarrowX下的象。因?yàn)镸是度量空間，所以M具有\(zhòng)sigma-局部有限基\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，其中每個(gè)\mathcal{B}_n是局部有限的。對(duì)于n\inN，令\mathcal{P}_n=\{f(B):B\in\mathcal{B}_n\}，\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n。首先證明\mathcal{P}是X的弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集U，若x\inU，由于f是弱開(kāi)的，存在M中的開(kāi)集V，使得f(V)\subseteqU且f^{-1}(x)\capV\neq\varnothing。因?yàn)閈mathcal{B}是M的基，存在B\in\mathcal{B}，使得f^{-1}(x)\capB\subseteqV，從而x\inf(B)\subseteqU。反之，若對(duì)于任意x\inA，存在B_x\in\mathcal{P}，使得x\inB_x\subseteqA，令W=\bigcup\{f^{-1}(B_x):x\inA\}，則f(W)=A，且W是M中的開(kāi)集，因?yàn)閒是連續(xù)的，所以A是X中的開(kāi)集，所以\mathcal{P}是弱基。然后證明\mathcal{P}是\sigma-緊有限的。對(duì)于X的緊子集K，由于f是msk映射，對(duì)于K中的每一點(diǎn)y，存在y在X中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){V_n^y\}，使得對(duì)每一n\inN，p_i(f^{-1}(V_n^y))是M的可分子空間。又因?yàn)镵是緊的，存在有限個(gè)y_1,\cdots,y_k\inK，使得K\subseteq\bigcup_{i=1}^{k}V_n^{y_i}。由于\mathcal{B}_n是局部有限的，對(duì)于每個(gè)V_n^{y_i}，\{B\in\mathcal{B}_n:B\capf^{-1}(V_n^{y_i})\neq\varnothing\}是有限的，從而\{f(B)\in\mathcal{P}_n:f(B)\capK\neq\varnothing\}是有限的，所以\mathcal{P}是\sigma-緊有限的。即X具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基。必要性：設(shè)\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n是X的\sigma-緊有限弱基，其中每個(gè)\mathcal{B}_n是緊有限的。令M=\{(x,\alpha)\inX\times\prod_{n\inN}\Lambda_n:x\in\bigcap_{n\inN}B_{\alpha(n)}^n,B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n\}，這里\Lambda_n是使得\mathcal{B}_n=\{B_{\alpha}^n:\alpha\in\Lambda_n\}的指標(biāo)集。M作為X\times\prod_{n\inN}\Lambda_n的子空間，\prod_{n\inN}\Lambda_n賦予離散拓?fù)涞某朔e拓?fù)?，所以M是可度量空間。定義f:M\rightarrowX，f((x,\alpha))=x，顯然f是滿射。先證明f是連續(xù)的。對(duì)于X中的開(kāi)集U，設(shè)(x,\alpha)\inf^{-1}(U)，因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在n\inN和B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n，使得x\inB_{\alpha(n)}^n\subseteqU。令V=\{y\inX:y\inB_{\alpha(n)}^n\}\times\{\beta\in\prod_{n\inN}\Lambda_n:\beta(n)=\alpha(n)\}，V是M中的開(kāi)集，且(x,\alpha)\inV\subseteqf^{-1}(U)，所以f是連續(xù)的。再證明f是弱開(kāi)的。對(duì)于M中的開(kāi)集W，設(shè)x\inf(W)，則存在(x,\alpha)\inW。因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在n\inN和B_{\alpha(n)}^n\in\mathcal{B}_n，使得x\inB_{\alpha(n)}^n\subseteqf(W)，所以f是弱開(kāi)的。最后證明f是msk映射。對(duì)于x\inX，存在x在X中的開(kāi)鄰域列\(zhòng){U_n\}，因?yàn)閈mathcal{B}是\sigma-緊有限的，對(duì)于每個(gè)U_n，\{B\in\mathcal{B}:B\capU_n\neq\varnothing\}是有限的。設(shè)\{B_{\alpha_i}^n:i=1,\cdots,k_n\}是\{B\in\mathcal{B}:B\capU_n\neq\varnothing\}的枚舉。令V_n=\{y\inX:y\in\bigcup_{i=1}^{k_n}B_{\alpha_i}^n\}，則p_i(f^{-1}(V_n))是M的可分子空間。對(duì)于X中的收斂序列\(zhòng){x_i\}，若f(x_i)\rightarrowy，由于\mathcal{B}的緊有限性，存在\{x_i\}的子序列\(zhòng){x_{i_j}\}和X中的緊子集K，使得\{x_{i_j}\}\subseteqK且f(K)=\{y\}，所以f是msk映射。即X是度量空間M的弱開(kāi)msk映象。上述定理通過(guò)建立度量空間的弱開(kāi)msk映象與具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基空間的等價(jià)關(guān)系，為我們研究這類空間提供了新的視角。借助度量空間的性質(zhì)，我們可以更深入地探討具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基空間的拓?fù)涮卣鳌＠?，在分析這類空間的可度量化問(wèn)題時(shí)，若能證明一個(gè)空間是度量空間的弱開(kāi)msk映象，就能依據(jù)定理得出它具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基，進(jìn)而利用弱基性質(zhì)分析其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。定理6.2.2：對(duì)于空間X，下述條件(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)成立：X具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基。X是具有\(zhòng)sigma-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間。X是具有\(zhòng)sigma-緊有限k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間。證明：證明：設(shè)\mathcal{B}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n是X的\sigma-緊有限弱基。對(duì)于X中收斂于點(diǎn)x的序列\(zhòng){x_n\}以及包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{B}是弱基，存在m\inN和B\in\mathcal{B}_m，使得x\inB\subseteqU，且從某項(xiàng)開(kāi)始\{x_n\}都在B中。令\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{B}_n，則\mathcal{P}是X的cs網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)閈mathcal{B}是\sigma-緊有限的，所以\mathcal{P}是\sigma-緊有限的。對(duì)于任意x\inX，\{\mathcal{B}_n(x)\}是x處的弱鄰域基，所以X是g第一可數(shù)空間。綜上，X是具有\(zhòng)sigma-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間，(1)\Rightarrow(2)成立。證明：設(shè)\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n是X的\sigma-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)\mathcal{P}_n是緊有限的。對(duì)于x\inX，令\mathcal{U}_n(x)=\{P\in\mathcal{P}_n:x\inP\}。首先證明\{\mathcal{U}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。對(duì)于包含x的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)，存在m\inN和P\in\mathcal{P}_m，使得x\inP\subseteqU，即P\in\mathcal{U}_m(x)，所以\{\mathcal{U}_n(x)\}是x處的弱鄰域基。然后證明\bigcup_{n\inN}\mathcal{U}_n是\sigma-緊有限弱基。對(duì)于X中的開(kāi)集V，若y\inV，因?yàn)閈{\mathcal{U}_n(y)\}是y處的弱鄰域基，存在n\inN和P\in\mathcal{U}_n(y)，使得y\inP\subseteqV。反之，若對(duì)于任意y\inA，存在n_y\inN和P_y\in\mathcal{U}_{n_y}(y)，使得y\inP_y\subseteqA，令W=\bigcup\{P_y:y\inA\}，因?yàn)閈mathcal{P}是\sigma-緊有限的，W是X中的開(kāi)集，所以A是X中的開(kāi)集，所以\bigcup_{n\inN}\mathcal{U}_n是弱基，且是\sigma-緊有限的。即X具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基，(2)\Rightarrow(1)成立。證明：設(shè)\mathcal{P}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n是X的\sigma-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)\mathcal{P}_n是緊有限的。對(duì)于X中的緊子集K和包含K的開(kāi)集U，因?yàn)閈mathcal{P}是cs網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于K中的每個(gè)點(diǎn)x，存在m_x\inN和P_x\in\mathcal{P}_{m_x}，使得x\inP_x\subseteqU。由于K是緊的，存在有限個(gè)x_1,\cdots,x_k\inK，使得K\subseteq\bigcup_{i=1}^{k}P_{x_i}\subseteqU。令\mathcal{Q}=\bigcup_{n\inN}\mathcal{P}_n，則\mathcal{Q}是X的k網(wǎng)絡(luò)，且是\sigma-緊有限的。又因?yàn)閄是g第一可數(shù)空間，所以X是具有\(zhòng)sigma-緊有限k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間，(2)\Rightarrow(3)成立。定理6.2.2揭示了具有\(zhòng)sigma-緊有限弱基的空間與具有\(zhòng)sigma-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)、\