專題20概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納（含決策性、賽制及馬爾科夫鏈等問題）

目錄

01析·考情精解

02破·題型攻堅(jiān)

考點(diǎn)概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納

真題動(dòng)向

知識(shí)點(diǎn)1根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2樣本相關(guān)系數(shù)

知識(shí)點(diǎn)3回歸分析

知識(shí)點(diǎn)4獨(dú)立性檢驗(yàn)

必備知識(shí)知識(shí)點(diǎn)5離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差

知識(shí)點(diǎn)6二項(xiàng)分布

知識(shí)點(diǎn)7超幾何分布

知識(shí)點(diǎn)8正態(tài)分布

題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率

題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率

題型03殘差與決定系數(shù)

命題預(yù)測(cè)題型04回歸分析

題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型06二項(xiàng)分布與超幾何分布

題型07正態(tài)分布

題型08概率中的決策問題

題型09概率中的賽制問題

題型10馬爾科夫鏈

題型以中檔解答題為主，分值為14分左右。整體難度中檔，是得分的關(guān)鍵板塊之一。

1.高頻基礎(chǔ)考點(diǎn)：樣本空間、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算，頻率與概率的區(qū)別，互斥事件、對(duì)立事

件的辨析及簡(jiǎn)單概率計(jì)算。

命題軌

2.核心基礎(chǔ)考點(diǎn)：概率模型，古典概型，條件概率、全概率公式考查頻率較高，還會(huì)涉及相互

跡透視獨(dú)立事件的概率計(jì)算。

試題多以校園活動(dòng)、生活安全、保險(xiǎn)、競(jìng)賽等實(shí)際場(chǎng)景為背景，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率

模型的能力。。

考點(diǎn)2025年2024年2023年

考點(diǎn)頻

上海卷T19，14分

次總結(jié)概率統(tǒng)計(jì)上海卷T17，14分上海卷T19，14分

預(yù)計(jì)在2026年高考中，解答題中利用排列、組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差、

2026命

二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問題，有時(shí)亦考查回歸方程、統(tǒng)計(jì)案例的相關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)閱讀理解與信息

題預(yù)測(cè)處理能力.

考點(diǎn)概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納

1．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子4100米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子4100米混合泳

接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

(2)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；

(3)若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為y0.311xb?，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的

成績(jī)（精確到0.01秒）．

【解】（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為216.93，最小值為206.78，

則極差為216.93206.7810.15；

數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為209.35與210.78，

209.35210.68

則中位數(shù)為210.015.

2

故極差為10.15，中位數(shù)為210.015；

（2）由題意，數(shù)據(jù)共10個(gè)，211以上數(shù)據(jù)共有4個(gè)，

故設(shè)事件A“恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上”，

21

C4C63

則P(A)3，

C1010

3

故恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率為；

10

（3）由題意，成績(jī)的平均數(shù)

206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93

10

211.399，

由直線y0.311xb過(2006,211.399)，

則b211.3990.3112006835.265，

故回歸直線方程為y0.311x835.265.

當(dāng)x2028時(shí),y0.3112028835.265204.557204.56.

故預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)?04.56秒.

2．為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均

體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

n(adbc)2

（附：2,其中nabcd，P23.8410.05．）

abcdacbd

179432825

【解】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，

58058

25

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為2900012500．

58

（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為

10.50.5111.51.5222.5

13919117943280.9．

58022222

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).

（3）由題列聯(lián)表如下：

1,2其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)H0：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．

其中0.05．

580(4530817750)2

23.9763.841．

95485222358

則零假設(shè)不成立，

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．

3．21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其

外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

米色內(nèi)飾812

棕色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色

內(nèi)飾，求PB,PB|A，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨(dú)立；

(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并規(guī)定，在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性抽取兩個(gè)汽車模型。

為了得到獎(jiǎng)品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

假設(shè)1：每人抽取的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)

飾均為不同色；③兩個(gè)模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。

假設(shè)2：該抽獎(jiǎng)設(shè)置三類獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金金額分別為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元，三等獎(jiǎng)150元。

假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對(duì)應(yīng)一類獎(jiǎng)。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎(jiǎng)金金額越高。

請(qǐng)判斷以上三種結(jié)果分別對(duì)應(yīng)幾等獎(jiǎng)。設(shè)中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)是X，寫出X的分布，并求X的數(shù)學(xué)期望。

23182221

【解】（1）由給定的數(shù)表知，P(B)，P(A)，P(B|A)，

255255105

221

而P(AB)P(A)P(B)，因此事件A,B相互獨(dú)立，

2555

11

所以P(B),P(B|A)，事件A,B相互獨(dú)立.

55

（2）設(shè)事件C：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件D：外觀內(nèi)飾都異色，事件E：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，

C2C2C2C249C1C1C1C1244

8122383122

依題意，P(C)2；P(D)2；

C25150C2515025

C1C1C1C1C1C1C1C177

8212381223

P(E)2，則P(E)P(C)P(D)，

C25150

因此抽取的兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色是一等獎(jiǎng)；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎(jiǎng)；

外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎(jiǎng)，

獎(jiǎng)金額X的可能值為：600,300,150，

獎(jiǎng)金額X的分布列：

X600300150

44977

P

25150150

44977

獎(jiǎng)金額X的期望E(X)600300150271（元）.

25150150

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

（1）平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘

積之和近似代替．

（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．

（3）眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)．

（1）樣本相關(guān)系數(shù)：設(shè)由變量x和y獲得的兩組數(shù)據(jù)分別為xi和yi（i=1，2，…，n），其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表

所示：

變量xx1x2x3x4x5x6…xn

變量yy1y2y3y4y5y6…yn

兩組數(shù)據(jù)xi和yi的線性相關(guān)系數(shù)是度量?jī)蓚€(gè)變量x與y之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，

n

xixyiy

其計(jì)算公式為ri1，

n2n2

xixyiy

i1i1

1n1n

其中，xxi，yyi，它們分別是這兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．

ni1ni1

（2）相關(guān)系數(shù)r與相關(guān)程度

（1）當(dāng)r0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

當(dāng)r0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系；

（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1]；

當(dāng)r越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)r越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

^

（1）殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，

觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)稱為殘差；

（2）殘差圖：利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)或身高數(shù)據(jù)，或

體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖；

（3）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較適合，這樣的帶狀區(qū)域的

寬帶越窄，說明模型擬合精度越高；

一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析，借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)

行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策；

n

2

（4）殘差平方和：yiy?i稱為殘差平方和，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；

i1

n

2

(yiy?i)

22i122

（5）決定系數(shù)R比較，R1n，R越大，表示殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，R越

2

(yiy)

i1

小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.

n(adbc)2

（1）2計(jì)算公式:2，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

（2）臨界值的定義：對(duì)于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x，使得Px成立，我們稱x

為的臨界值，概率值越小，臨界值x越大.

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：H0:PY1X0PY1X1，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).

基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：

2

當(dāng)x時(shí)，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；

2

當(dāng)x時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

這種利用2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱

獨(dú)立性檢驗(yàn).

（4）2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

0.10.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

（5）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法

①根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；

②提出零假設(shè)：假設(shè)兩個(gè)變量相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋。

2

n(adbc)2

③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計(jì)算公式2求出的值；

(ab)(cd)(ac)(bd)

④當(dāng)2時(shí)，我們就推斷不成立，即兩個(gè)變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；

xH0

當(dāng)2時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個(gè)變量相互獨(dú)立。

xH0

n

（）

1E(X)x1p1x2p2xnpnxnpn

i1

（）222

2D(X)(x1E(X))p1(xiE(X))pi(xnE(X))pn

1、定義

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，不

發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是kknk（，，，，）

q1pAkPXkCnpqk012…n

于是得到X的分布列

X01…k…n

p00n11n1kknknn0

CnpqCnpq…Cnpq…Cnpq

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式

n00n11n1kknknn0各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從

qpCnpqCnpqCnpqCnpqX

參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．

注意：①由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n1時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)

分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．

②本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．

3、二項(xiàng)分布的期望、方差

若X～B(n,p)，則E(X)np，D(X)np(1p)．

1、定義

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為

CkCnk

MNM，，其中，，且*，

P(Xk)nk0，1，2，…，mmminMnnN，MN，n，M，NN

CN

稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

X01…m

0n01n1mnm

CMCNMCMCNMCMCNM

Pnn…n

CNCNCN

2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)

（1）適用范圍：

①考察對(duì)象分兩類；

②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)Y的概率分布．

（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．

1、定義

b

隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a，b]的概率為P(aXb)(x)dx，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(b，0)的

a,

兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間(a，b]的概率

的近似值．

b

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服

a,

從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作N(，2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)

分布，則記為XN(，2)．

其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總

體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．

2、3原則

a

2

若XN(，)，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a0，P(aXa)(x)dx為下圖中陰影部分的面積，

a,

對(duì)于固定的和a而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，X落在區(qū)間(a,a]的概率越大，

即X集中在周圍的概率越大

特別地，有P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；

P(3X3)0.9974．

由P(3X3)0.9974，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(3，3)之內(nèi)．而在此區(qū)間以外

取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用

中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(，2)的隨機(jī)變量X只取(3，3)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3原則．

1．小明有自覺體鍛的習(xí)慣，某運(yùn)動(dòng)軟件記錄了其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：min），小明從最近90天的記錄

中隨機(jī)選取了10天的記錄，具體數(shù)據(jù)如下：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．

(1)求這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)：

(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不超過60min為不達(dá)標(biāo)，估算從90天記錄中隨機(jī)抽取1天，該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的概率：

(3)從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)得到一組新的數(shù)據(jù)，求前后兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率．

【解】（1）把10天的記錄按照從小到大排列為：34,36,45,66,68,70,72,74,108,126，

因?yàn)?060%6是整數(shù)，所以第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

7072

因?yàn)?1，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為71；

2

3

（2）因?yàn)檫x取的樣本中運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的頻率為0.3，

10

所以估計(jì)該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的概率為0.3；

（3）因?yàn)榍昂髢山M數(shù)據(jù)的極差相同，所以隨機(jī)刪除的2個(gè)數(shù)為36,45,66,68,70,72,74,108中的兩個(gè)，

2

C828

則概率P2

C1045

2．一家水果店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去20天蘋果的日銷售量（單位：kg），按

從小到大的排序結(jié)果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，

104，107，117．

(1)求該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù)；

(2)若以過去20天蘋果的日銷售量的第80百分位數(shù)作為下個(gè)月每日蘋果的平均進(jìn)貨量，試確定下個(gè)月每日

蘋果的平均進(jìn)貨量；

(3)若從過去20天中隨機(jī)抽取3天，分別求“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”與“3天中恰有2天的蘋果

銷售量超過90kg”的概率．

【解】（1）該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù)

6274758428538687899293949799101104107117

x90kg.

20

99101

（2）因?yàn)?00.816，所以第80百分位數(shù)為100kg，所以下個(gè)月每日蘋果的平均進(jìn)貨量為100kg.

2

（3）20天中蘋果銷售量超過90kg的有9天.

設(shè)“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”為事件A，“3天中恰有2天的蘋果銷售量超過90kg”為事件B，

C37C2C133

9911

則PA3，PB3.

C2095C2095

3．小閔同學(xué)某一天進(jìn)行了10次100米短跑集訓(xùn)，其中上午進(jìn)行了6次，下午進(jìn)行了4次；如下是他上午

集訓(xùn)6次的成績(jī)（單位：s）：13.7、13.9、14.9、15.3、12.9、13.3.

(1)求這6次成績(jī)的中位數(shù)；

(2)參考這一天上午集訓(xùn)的數(shù)據(jù)，用經(jīng)驗(yàn)概率估計(jì)概率，求該同學(xué)訓(xùn)練100米短跑3次至少有一次用時(shí)小于

13s的概率；

(3)若該同學(xué)下午4次的集訓(xùn)原始成績(jī)記錄丟失，但記得這4次的平均成績(jī)是14.25s，方差是0.75，求他這

一天10次訓(xùn)練成績(jī)的平均值和方差.

【解】（1）將這6次成績(jī)從小到大排列為:12.9、13.3、13.7、13.9、14.9、15.3，

13.713.9

這6次成績(jī)的中位數(shù)為：13.8；

2

1

（2）用時(shí)小于13s的概率為：P，所以該同學(xué)訓(xùn)練100米短跑3次至少有一次用時(shí)小于13s的概率為：

16

3

3191；

P11P111

6216

13.713.914.915.312.913.3

（3）上午六次的成績(jī)平均數(shù)為：x14，

16

上午六次的方差為：

122222243

s212.91413.31413.71413.91414.91415.314，

1660

2

設(shè)下午四次成績(jī)平均數(shù)為x214.25，下午四次的方差為s20.75，

614414.25

總的平均數(shù)為：x14.1，

10

總的方差為：

22

262426432432

ss1xx1s2xx214.11414.114.250.745

10101060104

4．為培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感，某校開展了為期一學(xué)期的“溫暖社區(qū)，青春奉獻(xiàn)”志愿服務(wù)活動(dòng)．活動(dòng)結(jié)束后，

學(xué)校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)中統(tǒng)計(jì)了部分學(xué)生的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如圖所

示（十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”）．已知甲組有9名學(xué)生的數(shù)據(jù)，乙組有10名學(xué)生的數(shù)據(jù)．

(1)分別寫出甲、乙兩組學(xué)生服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的第70百分位數(shù)；

(2)從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)的概率；

2

(3)記甲組志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s0；在甲組中增加一名學(xué)生A得到“新甲組”，若A的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為27，

22

則記“新甲組”志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s1；若A的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為20，則記“新甲組”志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s2；

2、2、2

通過計(jì)算比較s0s1s2的大?。ńY(jié)果精確到0.1），并從數(shù)學(xué)角度解釋這一現(xiàn)象．

【解】（1）因?yàn)?0.76.3，所以甲組學(xué)生服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的第70百分位數(shù)為32；

2932

因?yàn)?00.77，所以乙組學(xué)生服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的第70百分位數(shù)為30.5；

2

（2）因?yàn)榧捉M有9名學(xué)生，乙組有10名學(xué)生，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機(jī)抽取1

人，有91090種選取方法，

又甲、乙兩組學(xué)生中各有3人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)，所以抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小

時(shí)有376339種選取方法，

3913

記事件A“抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)”，則P(A)，

9030

13

故從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)的概率為；

30

（3）對(duì)甲組：

182123252529323436

甲組9名學(xué)生服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為x27，

09

甲組志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為

22222222

182721272327252722927322734273627

s233.3，

09

2

對(duì)新甲組1：x127，所以s130.

1

對(duì)新甲組2：x2792026.3，所以s234.4.

2102

222

所以s1s0s2.

數(shù)學(xué)解釋：由于甲組均值為27，方差反映了數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)增加數(shù)據(jù)27（原樣本均值），數(shù)據(jù)相對(duì)更

集中，所以方差變小；當(dāng)增加數(shù)據(jù)20，數(shù)據(jù)更加分散，方差變大.

5．某區(qū)2025年3月31日至4月13日的天氣預(yù)報(bào)如圖所示．

(1)從3月31日至4月13日某天開始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，求這三天中至少有兩天是陣雨的概率；

(2)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，該區(qū)4月14日的最低氣溫是9C，溫差是指一段時(shí)間內(nèi)最高溫度與最低溫度之間的差值，

例如3月31日的最高溫度為17C，最低溫度為9C，當(dāng)天的溫差為8C記4月1日至4日這4天溫差的

4

方差為s2，4月11日至14日這4天溫差的方差為s2，若s2s2，求4月14日天氣預(yù)報(bào)的最高氣溫；

12231

(3)從3月31日至4月13日中隨機(jī)抽取兩天，用X表示一天溫差不高于9C的天數(shù)，求X的分布列及期望．

【解】（1）設(shè)“從3月31日至4月13日某天開始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，這三天中至少有兩天是陣雨”為事件A，

41

連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天共有12個(gè)樣本點(diǎn)，事件A共有4個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)

123

（2）4月1日至4日這4天溫差分別為9C、8C、9C、9C，

4

123

2

因此s1xix，設(shè)4月14日的溫差為xC，

4i116

則4月11日至14日這4天溫差分別為8C、9°C、8C、xC，

x25

因此xC，

4

222

21x25x25x2543

s2829x

4444316

解得x9，因此，4月11日這天最高氣溫是18C．

（3）從3月31日至4月13日，一天溫差不超過9C的共有11天，高于9C的共有3天

X可能取值為0，1，2.

C23C1C133C255

311311

P(X0)2，P(X1)2，P(X2)2

C1491C1491C1491

隨機(jī)變量X的分布列為：

X012

33355

P

919191

3335511

隨機(jī)變量X的期望E(X)012.

9191917

6．某校高三年級(jí)學(xué)生參加了一次時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從所有答卷中隨機(jī)抽取100

份作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50、50,60、

L、90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求實(shí)數(shù)m的值；若年級(jí)準(zhǔn)備選取80分及以上的學(xué)生進(jìn)入下一輪競(jìng)賽，已知該校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，

估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)；

L

(2)王老師抽取了10名參加競(jìng)賽的學(xué)生，他們的分?jǐn)?shù)為：x1、x2、x3、、x10．已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x91，

標(biāo)準(zhǔn)差s5，若剔除其中的96和86這2個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．

【解】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，

即m2m0.0150.0220.03101，解得m0.005，

80分及以上的學(xué)生所占的比例為0.020.0052100.3，

故估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)為10000.3300人.

8

（2）不妨設(shè)x996，x1086，根據(jù)題意可得xi10919686728，

i1

728

故剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為x91，

8

22222

x91x91x9196918691

因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的方差為s212825，

10

22222

所以x191x291x891251055200，

222

x91x91x91200

故剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的方差為s212825.

88

7．王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試（滿分100分）成績(jī)分成5組，繪制成如圖所示的頻率分

布直方圖，現(xiàn)將[50,60)記作第一組，[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分別記作第二、三、四、五組．已

知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計(jì)此次考試成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；

(2)王老師將測(cè)試成績(jī)?cè)赱80,90)和[90,100]內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再?gòu)闹羞x2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求

被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在[90,100]內(nèi)的概率；

(3)已知第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為83和70，

據(jù)此計(jì)算第二組和第四組所有學(xué)生成績(jī)的方差．

10a10b0.3a0.005,

【解】（1）由題意得，解得

10(0.0450.020a)0.7b0.025.

所以平均數(shù)等于550.05650.25750.45850.2950.0574.5

（2）由題意，[80,90)內(nèi)有8人，[90,100]內(nèi)有2人，

2

C817

所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在[90,100]內(nèi)的概率為12.

C1045

22

（3）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為x1,x2,s1,s2，

由題意，第二組、第四組分別有10人和8人，

6510838

所以成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的平均數(shù)x73

108

108

2122

成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差s[(xix)(yjx)]

18i1j1

108

122

[(xix1)(x1x)][(yjx2)(x2x)]

18i1j1

22

5242

s1x1xs2x2x

99

5242400

406573708373

993

400

故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差是.

3

8．（2025·云南麗江·三模）某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了4次試

驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)x

2345

（個(gè)）

加工的時(shí)間y

2.5344.5

（小時(shí)）

n

xiyinxy

?i1?

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式bn，a?ybx

22

xinx

i1

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程y?b?xa?；

(2)求各樣本的殘差；

(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要的時(shí)間.

23452.5344.5

【解】（1）x3.5y3.5

44

i1

，

xiyi22.5334454.552.5

4

i1

2，

xi49162554

4

52.543.53.5

b?0.7，a?3.50.73.51.05，

5443.52

∴所求線性回歸方程為y?0.7x1.05.

（2）計(jì)算每個(gè)xi對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值y?：

y?10.721.051.41.052.45，

y?20.731.052.11.053.15，

y?30.741.052.81.053.85，

y?40.751.053.51.054.55；

計(jì)算殘差eiyiy?：

e12.52.450.05

e233.150.15

e343.850.15

e44.54.550.05

所以，各樣本的殘差依次為：0.05,0.15,0.15,0.05.

（3）當(dāng)x10時(shí)，y?0.7101.058.05，

∴預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí).

9．某汽車研發(fā)公司的工程師為了解一款新型汽車在不同行駛速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的變化規(guī)

律，進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，記錄不同速度下的油耗數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：

66

2

并計(jì)算得xiyi3025，xi45100．

i1i1

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；

(2)根據(jù)線性回歸方程，繪制殘差圖，并分析線性回歸方程的擬合效果（若殘差的平方和小于0.775，則說明

擬合效果良好，否則擬合效果較差）．

nn

xixyiyxiyinxy

?i1i1?

附：bnn，ybxa?．

222

xixxinx

i1i1

607080901001101

【解】（1）由圖得x85，y7.56.86.25.75.456.1，

66

6

xy6xy

ii

?i130256856.143

則b60.05，

224510068585875

xi6x

i1

故a?6.10.058510.35，

則y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?0.05x10.35．

（2）結(jié)合（1），計(jì)算得殘差如下表：

行駛速度60708090100110

油耗實(shí)際

7.56.86.25.75.45

值

油耗估計(jì)

7.356.856.355.855.354.85

值

殘差