/安徽省多校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若某社交APP的用戶數(shù)每月增長，則用戶數(shù)從100萬戶增加到1000萬戶需要的時間約為（

）A．15個月 B．25個月 C．35個月 D．45個月5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值是（

）A． B． C． D．36．記等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．10 B．18 C．26 D．627．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．68．已知和都是定義在上的奇函數(shù)，設(shè)則下列說法正確的是（

）A．是減函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．二、多選題9．在正三棱柱中，為AB的中點，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面10．已知函數(shù)，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱 B．的極大值為0C．存在 D．有最小值，無最大值11．已知數(shù)列滿足，則下列正確的有（

）A．任意 B．存在C． D．三、填空題12．已知向量，若與的夾角的余弦值為，則.13．已知四面體ABCD的頂點都在同一球面上，若該球的表面積為是邊長為3的正三角形，則四面體ABCD的體積的最大值為.14．若函數(shù)的極大值為0，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若，求的最值和單調(diào)區(qū)間.16．已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記[x]表示不超過的最大整數(shù)，分別為和的前項和，求.17．如圖，在平面四邊形ABCD中，.（1）證明：；（2）已知的外接圓半徑為1.（i）若，求；（ii）求面積的最大值.18．如圖幾何體中，四邊形和都是梯形，.（1）證明：B，E，F(xiàn)，C四點共面；（2）若，求該幾何體的體積；（3）求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.19．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，證明：對任意，都有；（3）若數(shù)列滿足，證明.

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意知，.故選A2．【正確答案】D【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，又，所以，所以.故選D3．【正確答案】D【詳解】由可得或，由可得，故或，解得或，因此由推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選D4．【正確答案】B【詳解】設(shè)初始用戶數(shù)為萬戶，個月后用戶數(shù)為萬戶，則，即；設(shè)個月后用戶數(shù)為100萬戶，個月后用戶數(shù)為1000萬戶，則，，兩式相除可得，.故選B5．【正確答案】A【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，所以在上單調(diào)遞減，故，則，即.所以實數(shù)的最大值是.故選A.6．【正確答案】C【詳解】由可得公比，，因此，故選C7．【正確答案】B【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)解析式為，因為其圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得，，又，所以時，的最小值為.故選B8．【正確答案】D【詳解】若函數(shù)都是奇函數(shù)，如都是R上的奇函數(shù)，而，由于，故不是定義在R上的奇函數(shù)，且不是單調(diào)遞減函數(shù)，故AB錯誤；若函數(shù)都是奇函數(shù)，如都是R上的奇函數(shù)，而,而，當(dāng)時，，不滿足，C錯誤；，而，故，而考慮到，故因此因此時，時，，故，D正確，故選D9．【正確答案】BC【詳解】分別取的中點,由正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面棱長為，高為，則；對于A，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即；因為，所以不平行于平面，A不正確；對于B，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，因為，且平面，所以平面，B正確；對于C，,因為，所以，因為，平面，所以平面，C正確；對于D，，因為，所以不與平面垂直，D不正確.故選BC10．【正確答案】ABD【詳解】選項A，，而，故，曲線關(guān)于直線對稱，A正確.選項B，，令，解得、時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增.是極大值，B正確.選項C，構(gòu)造.當(dāng)時，，，，故，即，不存在滿足條件的，C錯誤.選項D，由單調(diào)性可知，在處取得極小值（最小值）；當(dāng)時，，故無最大值，D正確.故選ABD11．【正確答案】ACD【詳解】對于A：由，所以，，所以.再由，得，即，因為，所以與同號，且，由遞推關(guān)系可得，由，所以，故任意，所以A正確；對于B：因為，所以，再由得，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，故不存在成立，所以B錯誤；對于C：再由B選項的判斷知數(shù)列單調(diào)遞減，即，所以，且.因為，，兩邊取對數(shù)所以，即，進(jìn)行累加求和即，所以，.所以，所以C正確；對于D：因為，令，得，，即，所以，，因為，所以，所以D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】由題意知，，，則，整理，得且，解得.13．【正確答案】/【詳解】因為中，，所以，外接圓半徑為，又因為，解得外接球半徑，如圖所示為四面體外接球球心，為外接圓圓心，所以平面，設(shè)面上的高為，所以，又，所以，所以四面體體積的最大值為.14．【正確答案】【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)，若，則，由零點存在性定理可知，則，故，此時在上單調(diào)遞增，，故，此時在上單調(diào)遞減，，故，此時在上單調(diào)遞增，此時時，取到極大值，故，符合題意，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)，此時，由零點存在性定理可知，則，故，此時在上單調(diào)遞增，，故，此時在上單調(diào)遞減，，故，此時在上單調(diào)遞增，此時時，取到極大值，而，不符合題意，當(dāng)時，由于在上恒成立，且當(dāng)時，因此在恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，要使的極大值為0，則極大值點必然小于1，不妨設(shè)極大值點為，則，這與極大值為0矛盾，不符合題意，舍去，綜上可得.15．【正確答案】（1）（2）最大值為，最小值為；增區(qū)間為，減區(qū)間為.【詳解】（1）因為，所以,所以的最小正周期為.（2）當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，即時，的最大值為；當(dāng)時，即時，的最小值為；當(dāng)，即時，為增函數(shù)，當(dāng)，即時，為減函數(shù)，所以時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.16．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）因為因為，所以，即，且，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得：，即，可得：，因為，所以，所以；則，可得，所以.17．【正確答案】（1）見詳解（2）（i）；（ii）【詳解】（1）證明：在中，由正弦定理可得;在中，由正弦定理可得;因為，所以，所以;因為，所以.（2）（i）由（1）可知，又，為公共邊，所以與全等，所以.因為的外接圓半徑為1，所以,即，所以或（舍），因為，所以，因為，所以，所以,即，所以.（ii）設(shè)，則，由可得;面積為因為，所以，所以當(dāng)時，取到最大值.18．【正確答案】（1）見詳解；（2）；（3）.【詳解】（1）如圖：設(shè)分別是的中點，連接.因為N為的中點，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，得.同理可得，所以，所以四邊形為平行四邊形，得.又因為分別是的中點，所以，所以，故四點共面.（2）因為且，所以三條直線必交于一點，如圖：所以，，所以三角形為正三角形，.又因為平面，所以平面，又所以平面，所以.再由，，所以.故該幾何體的體積為.（3）設(shè)，，由（2）可知三角形為等腰三角形，且E為的中點，，所以.故以所在直線為軸，以過E點平行的直線為z軸，如圖：所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，即.再設(shè)平面的法向量為，，由，得，取，則，即.設(shè)平面與平面的夾角為，則，令，因為，所以，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故平面與平面的夾角的余弦值的最大值.19．【正確答案】（1）；（2）見詳解；（3）見詳解.【詳解】（1）因為，所以，所以曲線在處的切線方程為．（2）因為，所以時，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增；因為，所以，或，若，由在上單調(diào)遞增得；若，因為在上單調(diào)遞減，所以，要證，只要證．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．故．（3）由（2）知，在上單調(diào)遞增