/上海市浦東新區(qū)2026屆高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知是虛數(shù)單位，則.2．已知集合，，則.3．拋物線的準(zhǔn)線方程是4．已知，則.5．已知的最大值為．6．在的二項展開式中，常數(shù)項的值為7．的二項展開式中常數(shù)項為．8．設(shè)為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為．9．李老師在整理建模小組10名學(xué)生的成績時不小心遺失了一位學(xué)生的成績，且剩余學(xué)生的成績數(shù)據(jù)如下：5

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9，但李老師記得這名學(xué)生的成績恰好是本組學(xué)生成績的第25百分位數(shù)，則這10名學(xué)生的成績的方差為．10．若從2025的所有正約數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)是一個完全平方數(shù)的概率為．11．設(shè)為等差數(shù)列，其前項和為，若，則滿足的正整數(shù)．12．設(shè)、為常數(shù)，，若對任意的，函數(shù)在區(qū)間上恰有4個零點，則的取值范圍是．二、單選題13．已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．14．3名同學(xué)報名參加社團(tuán)活動，有4個社團(tuán)可以報名，這些社團(tuán)招收人數(shù)不限，但每位同學(xué)只能報名其中1個社團(tuán)，則這3位同學(xué)可能的報名結(jié)果共有（

）種.A．6 B．24 C．64 D．8115．研究變量x，y得到一組成對數(shù)據(jù)，，先進(jìn)行一次線性回歸分析，接著增加一個數(shù)據(jù)，其中，，再重新進(jìn)行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（

）A．變量與變量的相關(guān)性變強 B．相關(guān)系數(shù)的絕對值變小C．線性回歸方程不變 D．?dāng)M合誤差Q變大16．給定四面體．平面滿足：①、、、四個點均不在平面上，也不在的同側(cè)；②若平面與四面體的棱有公共點，則該公共點一定是此棱的中點或兩個三等分點之一．設(shè)、、、四個點到平面的距離分別為，那么的所有不同值的個數(shù)組成的集合為（

）A． B． C． D．三、解答題17．已知函數(shù)，（且）(1)若，求方程的解；(2)已知，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的最大值.18．座落于楊浦濱江的世界技能博物館由百年歷史文化保護(hù)建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考慮了結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)勢，又體現(xiàn)了對歷史建筑的尊重和傳承.如圖，分別為正八棱柱的上下兩個底面的中心，已知.

(1)求證：；(2)求點到平面的距離.19．某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個班的300名學(xué)生中以班為單位（每班學(xué)生50人），每班按隨機抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù).其中高三（1）班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211（1）用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三（1）班學(xué)生視力的平均值；（2）已知其余五個班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若從這六個班中任意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于0.2的概率.20．已知橢圓的方程為，右頂點為，上頂點為，橢圓的中心位于坐標(biāo)原點，兩個橢圓的離心率相等．（1）若橢圓的方程是，焦點在軸上，求的值；（2）設(shè)橢圓的焦點在軸上，直線與相交于點、，若，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)橢圓的焦點在軸上，點在上，點在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的長軸的取值范圍．21．設(shè)是的一個非空子集，函數(shù)的定義域為，若在上不是單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，稱為該函數(shù)的一個下界．（1）設(shè)，，判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（2）設(shè)為常數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足什么條件時，函數(shù)，具有性質(zhì)，且是該函數(shù)的一個下界；（3）設(shè)，，，若函數(shù)，具有性質(zhì)，求的取值范圍：當(dāng)在上述范圍內(nèi)變化時，若總是該函數(shù)的下界，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】【詳解】.2．【正確答案】【詳解】由，。所以.3．【正確答案】【詳解】因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是.4．【正確答案】/【分析】直接運用二倍角余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，故/.5．【正確答案】【詳解】由基本不等式得.6．【正確答案】15【詳解】二項展開式通項為：當(dāng)時，常數(shù)項為：本題正確結(jié)果：7．【正確答案】【詳解】展開式的通項為，令，解得，所以的二項展開式中常數(shù)項為.8．【正確答案】【詳解】因為為拋物線上任意一點，所以，，所以，所以當(dāng)時取得最小值，依題意可得，所以.9．【正確答案】【詳解】，則該學(xué)生的成績?yōu)閺男〉酱笈帕械牡趥€，故該生的成績?yōu)?，則這10名學(xué)生的成績的平均數(shù)為，方差為10．【正確答案】/0.4【詳解】因為，所以的正約數(shù)為共15個數(shù)，其中完全平方數(shù)有共6個數(shù)，所以從2025的所有正約數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)是一個完全平方數(shù)的概率為.11．【正確答案】15【詳解】由，可得或，當(dāng)，可得，所以，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，且前項為負(fù)，從第項開始為正，又，，所以，所以；當(dāng)，可得，所以，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，且前項為正，從第項開始為負(fù)，又，，所以，所以；綜上所述.12．【正確答案】【詳解】由，則，又，當(dāng)，，此時無零點，當(dāng)，，此時無零點，當(dāng)，如下圖，此時，而，要使在區(qū)間上恰有4個根，則，則.

13．【正確答案】D【詳解】由題意可得，解得.故選D.14．【正確答案】C【詳解】由題意可得每位同學(xué)有4種選擇，根據(jù)乘法原理，共有種.故選C15．【正確答案】C【詳解】設(shè)變量x，y的平均數(shù)分別為，，則，，即，，可知新數(shù)據(jù)的樣本中心點不變，仍為，則，，，則相關(guān)系數(shù).可知相關(guān)系數(shù)的值不變，變量與變量的相關(guān)性不變，故A，B錯誤；對于C，因為，所以不變，且線性回歸方程過樣本中心點，即，均不變，所以線性回歸方程不變，故C正確；因為即為樣本中心點，即，可知殘差平方和不變，所以擬合誤差Q不變，故D錯誤.故選C.16．【正確答案】B【詳解】當(dāng)平面與四面體的一條棱的中點相交時，不妨設(shè)平面過棱的中點，此時點到平面的距離相等，且平面平面，如圖（1）所示此時到平面的距離可能與到平面的距離相同，此時有1不同的值；不妨設(shè)平面過棱的中點，且過分別為的三等分點時，如圖（2）所示，此時點到平面的距離相等，且到平面的距離相等，且到平面的距離與到平面的距離不相等，此時有2不同的值；不妨設(shè)平面過棱的中點，且過分別為的三等分點時，如圖（3）所示，此時點到平面的距離相等，其中到平面的距離與到平面的距離不相等，此時有2不同的值；不妨設(shè)平面過棱的中點，過的靠近的三等分點，過靠近點的三等分點，此時到平面的距離不同，到平面的距離不同，且到平面的距離兩兩之間都可能不同，此時有3個不同的值；又因為四個點均不在平面上，也不在平面的同側(cè)，所以不能有4個不同的值（若有4個不同的值，四個點必然在平面的同側(cè)），所以的所有不同值的個數(shù)組成的集合為.故選B.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）即解得，于是，方程即為，令，則有即，求得（舍負(fù)），所以方程的解為.（2）由已知得，整理得，因為，所以，從而對任意恒成立，因為（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），所以，即實數(shù)的最大值為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）

連接，因為底面為正八邊形，所以，又正八棱柱側(cè)棱底面，底面，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）

連接，因為，由正八邊形的性質(zhì)可得，，為到底面的距離，，所以，由勾股定理可得，，又，所以，又，所以，因為，所以，即，設(shè)點到平面的距離為，則，即，即，解得，所以點到平面的距離為.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.19．【正確答案】（1）4.7；（2）.【詳解】試題分析：（1）平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)都有關(guān)系，；（2）古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確找出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式計算；（3)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來，要做到不重不漏，有時可借助列表，樹狀圖列舉，當(dāng)基本事件總數(shù)較多時，注意去分排列與組合；（4）注意判斷是古典概型還是幾何概型，基本事件前者是有限的，后者是無限的，兩者都是等可能性．試題解析：（1）高三文科（1）班抽取的8名學(xué)生視力的平均值為．據(jù)此估計高三文科（1）班學(xué)生視力的平均值約為．3分（2）因為高三文科六個班學(xué)生視力的平均值分別為、、、、、，所以任意抽取兩個文科班學(xué)生視力的平均值數(shù)對有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情形．7分其中抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于的有，，，，，，，，，，共10種．10分所以抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于的概率為．12分考點：1、數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2、利用古典概型求隨機事件概率．20．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由題，橢圓的離心率為，橢圓的離心率為，解得（2）由題，，，所以，直線的方程為，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，代入整理得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，故，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題，設(shè)的方程為，由題意，且，任取上一點（不與點重合），則，.設(shè)，則，直線的方程為，故，代入得，因為，解得，由對稱性，不妨設(shè)，代回直線方程可解得，而點位于上，所以，為上任一點，所以為定值，化簡得.設(shè)，為上任一點，即有解.整理得，，解得，所以.故的長軸長.21．【正確答案】（1）不具有，理由見詳解；（2）；（3），.【詳解】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，，，函數(shù)在上的值域為，不存在常數(shù)，使得對任意的成立，所以函數(shù)，不具有性質(zhì)H.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞