/山東省聊城市部分校2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期12月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A．2 B． C．1 D．3．“”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．4．已知向量滿足，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．若曲線在處的切線與曲線（為常數(shù)）相切，則（

）A．3 B．0 C．2 D．16．山東文旅宣傳片以“東來(lái)山東，有山有水有風(fēng)景”為主題，通過(guò)融合地域特色與人文風(fēng)情，展現(xiàn)山東的自然景觀與文化底蘊(yùn).詩(shī)人李白的“日觀東北傾，兩崖夾雙石”，描寫的正是山東眾多聞名山水之一的泰山.如圖，某游客為了測(cè)量泰山主峰玉皇頂?shù)母叨華B（單位：米），在地面上選擇一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在附近的山峰頂端選擇另一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在處測(cè)得處的仰角為，測(cè)得主峰玉皇頂最高點(diǎn)的仰角為山峰的高度CD為772.5米，且在處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)B，P，D在同一水平面的一條直線上，則玉皇頂?shù)母叨華B為（

）A．1030米 B．1545米 C．米 D．米7．若，則下列式子可能成立的是（

）A． B． C． D．8．在棱長(zhǎng)為8的正方體中，，設(shè)集合是底面ABCD內(nèi)（含邊界）所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合，則集合所表示的區(qū)域面積為（

）A．24 B．20 C．16 D．28二、多選題9．若為虛數(shù)單位，，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．10．在中，A，B，C成等差數(shù)列.若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．若定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的，不等式恒成立，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則.13．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，且，則，四面體ABCD的體積為.14．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的值為.四、解答題15．已知函數(shù).（1）求的解析式；（2）設(shè)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù).（1）求及的值；（2）求圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，平面平面.（1）證明：平面PAD.（2）求三棱錐外接球的表面積.（3）求平面PBC與平面PAB的夾角.18．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.（2）設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)a，b.（i）求的取值范圍；（ii）證明：且.19．已知有限數(shù)列滿足，且.現(xiàn)從的前，項(xiàng)中選取項(xiàng)，設(shè)這項(xiàng)的和為，再?gòu)那绊?xiàng)中剩余的項(xiàng)里選取項(xiàng)，設(shè)這項(xiàng)的和為.若，則稱為數(shù)列的級(jí)和差數(shù)，數(shù)列的級(jí)和差數(shù)的全體構(gòu)成集合.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，向量恒成立，且.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）分別判斷13，365是否為數(shù)列的6級(jí)和差數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若，求的最小值.

答案1．【正確答案】A【詳解】由函數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得的最小正周期為.故選A.2．【正確答案】D【詳解】由集合，得，解得，所以.故選D3．【正確答案】B【詳解】由，得，故“”是“”的一個(gè)充分不必要條件.故選B.4．【正確答案】A【詳解】.故選A.5．【正確答案】C【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又由，可得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，則，解得，所以，解得.故選C.6．【正確答案】B【詳解】由題意知，，在直角中，，，可得米，在中，由正弦定理，可得米，在直角中，可得米.故選B.7．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，作出函?shù)，，，以及的大致圖象，如圖所示，當(dāng)取不同值時(shí)，可能得到：，可得均不可能成立，只有可能成立.故選B.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為，連接，則，當(dāng)時(shí)，可得，畫出正方體底面的平面圖，如圖所示，連接DE，取DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交DC于點(diǎn)，交DA（或DA的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)，可得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在DA的延長(zhǎng)線上，設(shè)GK與AB交于點(diǎn)，由相似的性質(zhì)可得，所以，若點(diǎn)在梯形內(nèi)，則，所以集合所表示的區(qū)域面積為.故選A.

9．【正確答案】BC【詳解】由冪函數(shù)定義可知，，得，A錯(cuò)誤.將點(diǎn)代入冪函數(shù)，得，B正確.因，C正確.由，D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ABD【詳解】由A，B，C成等差數(shù)列，得.因?yàn)?，所以，則，所以，A正確.又，由，得，所以，B正確.，C錯(cuò)誤.，D正確.故選ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，令，得，所以A正確；令，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C，令，則，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，即，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，所以，所以，所以D正確.故選ABD.12．【正確答案】29【詳解】根據(jù)題意可得.13．【正確答案】【詳解】，則，解得.因?yàn)?，所以，則，又，，所以平面.因?yàn)?，所?如圖，因?yàn)椋?，所以四面體ABCD的體積為.故答案為；，.14．【正確答案】/【詳解】依題意得，即.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以的最大值為，令為，則，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在[0,上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)椋?，，所以，所以解得所?15．【正確答案】（1）（2）見(jiàn)詳解，【詳解】（1）解：令，則，得，所以.（2）證明：由（1）可得，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?，所?16．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）根據(jù)題意可得的最小正周期，所以則.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得.因?yàn)椋?（2）由（1）知，令，解得，所以圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.（3）由，得，則，解得.因?yàn)椋曰?，即不等式的解集?17．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（3）【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)，連接DH.因?yàn)?，所?由平面平面PAB，平面平面平面PAD，得DH⊥平面PAB.因?yàn)槠矫鍼AB，所以.又平面平面ABCD，所以.又，所以平面PAD.（2）由（1）易得.取PB的中點(diǎn)，連接MA，MD，則，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心.因?yàn)?，所以，所以三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為.（3）在平面PAD內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由題意易得，，所以.由（1）易得是平面PAB的一個(gè)法向量.設(shè)平面PBC的法向量為，則令，則，所以.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.因?yàn)?，所以，即平面PBC與平面PAB的夾角為.18．【正確答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）（i）；（ii）見(jiàn)詳解【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：（i）（方法一）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，函數(shù)取得極大值，極大值為，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以的取值范圍為.（方法二）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，?所以，則在上有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，由，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，可得在上有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，所以的取值范圍為.（ii）證明：不妨設(shè)，要證，即證.設(shè)，則，故即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以，則，所以，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即，?19．【正確答案】（1）（2）13是，365不是，理由見(jiàn)詳解（3）7【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，可得，所以，則，可得，，兩式相減得，所以.（2）解：13是的6級(jí)和差數(shù)，365不是的6級(jí)和差數(shù).理由如下：由（1）得，所