解析函數(shù)構(gòu)造與證明題試題考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：解構(gòu)函數(shù)構(gòu)造與證明題考核試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生、算法工程師初級崗位從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列命題的正誤。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上必有界。2.任何可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都連續(xù)。3.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，且f'(c)=0，則f(x)在x=c處必有拐點(diǎn)。4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，且f(a)=f(b)，則f(x)在[a,b]上恒為常數(shù)函數(shù)。5.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^p)收斂當(dāng)且僅當(dāng)p>1。6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在該區(qū)間上必有界。7.若函數(shù)f(x)在x=c處可導(dǎo)，且f(c)為極值點(diǎn)，則f'(c)=0。8.任何連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)，則f(x)的反函數(shù)存在且連續(xù)。10.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，且f''(c)≠0，則f(x)在x=c處必有極值點(diǎn)。二、單選題（每題2分，共20分）請選擇唯一正確答案。1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.-1C.0D.不存在2.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為（）A.8,-8B.8,-4C.4,-8D.4,-43.若函數(shù)f(x)滿足f'(x)=f(x)且f(0)=1，則f(x)等于（）A.e^xB.e^-xC.x^2D.1/x4.級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n收斂性為（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無法判斷5.函數(shù)f(x)=ln(x+√(x^2+1))在x→-∞時(shí)的極限為（）A.-∞B.0C.∞D(zhuǎn).不存在6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)的反函數(shù)f^-1(x)在區(qū)間（f(a),f(b)）上（）A.必不連續(xù)B.必不單調(diào)C.必連續(xù)且單調(diào)D.可能連續(xù)也可能不連續(xù)7.函數(shù)f(x)=x^2sin(1/x)在x=0處補(bǔ)充定義f(0)=0后，該函數(shù)在x=0處（）A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)且f'(0)=0D.可導(dǎo)且f'(0)≠08.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在該區(qū)間上（）A.必有原函數(shù)B.必有界C.必單調(diào)D.必連續(xù)9.函數(shù)f(x)=x^2e^-x在x→∞時(shí)的漸近行為為（）A.發(fā)散B.收斂于0C.收斂于1D.收斂于∞10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(x)>0，則∫[a,b]f(x)dx的幾何意義為（）A.面積為負(fù)B.面積為0C.面積為正D.無法確定三、多選題（每題2分，共20分）請選擇所有正確答案。1.下列函數(shù)中在x=0處可導(dǎo)的有（）A.f(x)=x^2sin(1/x)（補(bǔ)充f(0)=0）B.f(x)=|x|^3C.f(x)=xln|x|D.f(x)=e^(-1/x^2)（x≠0，f(0)=0）2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則下列說法正確的有（）A.f(a)≤f(x)≤f(b)對?x∈[a,b]成立B.f(x)在[a,b]上必有界C.f(x)的反函數(shù)f^-1(x)在(f(a),f(b))上單調(diào)遞增D.∫[a,b]f(x)dx>03.下列級數(shù)中收斂的有（）A.∑(n=1to∞)(1/(n+1))B.∑(n=1to∞)(-1)^n/(n√n)C.∑(n=1to∞)(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(n^2/(n^3+1))4.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，且f'(c)=0，則下列說法可能正確的有（）A.f''(c)>0B.f''(c)<0C.f'''(c)≠0D.f(x)在x=c處必有拐點(diǎn)5.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的極值點(diǎn)為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=-26.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則下列說法正確的有（）A.f(x)在該區(qū)間上必有界B.f(x)在該區(qū)間上必存在原函數(shù)C.f(x)在該區(qū)間上必連續(xù)D.f(x)在該區(qū)間上必單調(diào)7.下列函數(shù)中在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)的有（）A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2sin(1/x)（補(bǔ)充f(0)=0）C.f(x)=e^(-1/x^2)（x≠0，f(0)=0）D.f(x)=|x|^38.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則下列說法正確的有（）A.f(x)的反函數(shù)f^-1(x)在(f(a),f(b))上連續(xù)B.f(x)的反函數(shù)f^-1(x)在(f(a),f(b))上單調(diào)遞增C.∫[a,b]f(x)dx=f(b)-f(a)D.f(x)在[a,b]上必有界9.下列級數(shù)中絕對收斂的有（）A.∑(n=1to∞)(-1)^n/(n+1)B.∑(n=1to∞)(1/(n√n))C.∑(n=1to∞)(-1)^n/(n^2)D.∑(n=1to∞)(1/(n+1)^2)10.函數(shù)f(x)=x^2e^-x在區(qū)間[0,∞)上的行為為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有最大值D.極限為0四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數(shù)構(gòu)造與證明：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的所有極值點(diǎn)，并證明f(x)在該區(qū)間上存在且僅存在一個極小值點(diǎn)。2.級數(shù)收斂性證明：判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(n^2/(n^3+1))的收斂性，若收斂，請證明其為條件收斂還是絕對收斂。3.函數(shù)連續(xù)性與可積性：設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上定義如下：f(x)={x^2,0≤x<1/2{1-x,1/2≤x≤1請證明f(x)在[0,1]上連續(xù)，并計(jì)算∫[0,1]f(x)dx的值。五、論述題（每題11分，共22分）1.函數(shù)構(gòu)造與反函數(shù)證明：設(shè)函數(shù)f(x)=√(x+1)在區(qū)間[0,∞)上定義，證明f(x)的反函數(shù)存在，并求出f^-1(x)。同時(shí)證明f^-1(x)在區(qū)間[1,∞)上連續(xù)且單調(diào)遞增。2.級數(shù)收斂性與函數(shù)構(gòu)造綜合：設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)在區(qū)間[0,1]上定義，考慮級數(shù)∑(n=1to∞)f(n/(n+1))。請證明該級數(shù)收斂，并說明其收斂性與f(x)的性質(zhì)有何關(guān)聯(lián)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×（反例：f(x)=x^2sin(1/x)在x=0處可導(dǎo)，但f'(x)在x=0處不連續(xù)）3.×（極值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號決定凹凸性，與拐點(diǎn)無關(guān)）4.√（單調(diào)遞增且端點(diǎn)值相等，必為常數(shù)函數(shù)）5.√（p>1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散）6.√（可積函數(shù)必有界，否則積分無意義）7.√（極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0是必要條件）8.√（閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必有界且存在最值）9.√（單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有反函數(shù)，且反函數(shù)也連續(xù)）10.√（二階導(dǎo)數(shù)符號決定極值類型）二、單選題1.C（f'(0)=1）2.A（f'(-1)=0，f(-1)=8；f'(-2)=0，f(-2)=-8）3.A（解微分方程y'=y，y(0)=1得y=e^x）4.B（條件收斂）5.B（x→-∞時(shí)，ln(x+√(x^2+1))→ln(-x+√(x^2+1))→ln(√(1/x^2-1))→0）6.C（反函數(shù)連續(xù)且單調(diào)）7.C（f'(0)=lim(x→0)(x^2sin(1/x)/x)=0）8.B（可積函數(shù)必有界）9.B（f(x)→0，且f(x)單調(diào)遞減）10.C（正函數(shù)積分結(jié)果為正面積）三、多選題1.A,B,C（A:f'(0)=0；B:f'(0)=0；C:f'(0)=1）2.A,B,C（單調(diào)遞增函數(shù)必有界且端點(diǎn)值包含區(qū)間，反函數(shù)單調(diào)遞增）3.B,C,D（B:發(fā)散；C:收斂；D:收斂）4.A,B,C（極值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號不確定，高階導(dǎo)數(shù)可能非0）5.A,C（f'(-1)=0，f'(1)=0；f(-1)>f(0)>f(1)）6.A,B（可積函數(shù)必有界，且存在原函數(shù)）7.A,B（A:f'(0)=0；B:f'(0)=0）8.A,B,C（單調(diào)遞增函數(shù)反函數(shù)連續(xù)且單調(diào)遞增，積分等于端點(diǎn)差）9.B,C,D（B:絕對收斂；C:絕對收斂；D:絕對收斂）10.B,C,D（f'(x)=2xe^-x-x^2e^-x，f'(x)>0當(dāng)x<2，f(x)單調(diào)遞減；f(x)→0，f(0)=0，有最大值）四、案例分析1.函數(shù)構(gòu)造與證明：解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0（極大值點(diǎn)），f''(1)=6>0（極小值點(diǎn)）。極小值點(diǎn)為x=1，無其他極值點(diǎn)。2.級數(shù)收斂性證明：解：比較法，與∑(n=1to∞)(1/n^2)比較。lim(n→∞)(n^2/(n^3+1))/(1/n^2)=lim(n→∞)(n^4/(n^3+1))=1?！?n=1to∞)(1/n^2)收斂，故原級數(shù)絕對收斂。3.函數(shù)連續(xù)性與可積性：解：f(x)在(0,1/2)和(1/2,1)上連續(xù)，需驗(yàn)證x=1/2處連續(xù)：lim(x→1/2-)f(x)=1/4，lim(x→1/2+)f(x)=1/2≠1/4，故f(x)在x=1/2處不連續(xù)。修正：f(x)在[0,1]上不連續(xù)，但可積（分段連續(xù)函數(shù)可積）?！襕0,1]f(x)dx=∫[0,1/2]x^2dx+∫[1/2,1](1-x)dx=1/24+1/8=1/6。五、論述題1.函數(shù)構(gòu)造與反函數(shù)證明：證明：f(x)=√(x+1)在[0,∞)上單調(diào)遞增且連續(xù)，值域