第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積A組基礎(chǔ)題組1.如圖所示是一個(gè)物體的三視圖,則此三視圖所描述物體的直觀圖是()2.將長方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖是()3.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是()A.2 B.92 C.32 4.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),它的俯視圖可能是()5.(2017新疆第二次適應(yīng)性檢測(cè))球的體積為43π,平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,則球心O到平面α的距離為()A.1 B.2 C.3 D.66.(2017合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周),則該幾何體的表面積為()A.72+6π B.72+4πC.48+6π D.48+4π7.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二))某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.16 B.20 C.52 D.608.(2016貴州貴陽監(jiān)測(cè)考試)甲、乙兩個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,俯視圖不同,如圖所示,記甲的體積為V甲,乙的體積為V乙,則()A.V甲<V乙 B.VB.V甲=V乙C.V甲>V乙 D.V甲、V乙大小不能確定9.(2017浙江,3,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 10.在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,P在線段BD1上,且BPPD1=12,M為線段BA.1 B.3C.92 11.若正三棱錐ABCD中,AB⊥AC,且BC=1,則三棱錐ABCD的高為()A.66 B.33 C.22 12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A.16π3 B.8π3 C.43π D.

13.已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB=AC,四邊形BCDE為矩形),則該組合體的俯視圖可以是(把正確的圖的序號(hào)都填上).

14.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1EDF的體積為.

15.(2017廣西三市第一次聯(lián)考)已知長方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)接于球O,底面ABCD是邊長為2的正方形,E為AA1的中點(diǎn),OA⊥平面BDE,則球O的表面積為.

16.(2017山東,13,5分)由一個(gè)長方體和兩個(gè)14圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為

B組提升題組1.(2017鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為()A.207 B.2169π2C.21636π D.21618π2.某幾何體的三視圖如圖所示(網(wǎng)格線中每個(gè)小正方形的邊長為1),則該幾何體的表面積為()A.48 B.54 C.64 D.603.(2017石家莊第一次模擬)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家,5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體:圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()A.①② B.①③ C.②④ D.①④4.(2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))將一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體,能切割出的圓柱的最大體積為()A.π27 B.8π27 C.π3 5.(2017蘭州高考實(shí)戰(zhàn)模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則下列說法正確的是()①該幾何體的體積為16②該幾何體為正三棱錐;③該幾何體的表面積為32+3④該幾何體外接球的表面積為3π.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④6.(2017洛陽第一次統(tǒng)一考試)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上,PC為該球的直徑,△ABC是邊長為4的等邊三角形,三棱錐PABC的體積為163A.16π3 B.40π3 C.64π3 7.某幾何體的三視圖如圖所示,當(dāng)xy取得最大值時(shí),該幾何體的體積是.

8.(2017合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是邊長為1的等邊三角形,則此幾何體的體積為.

9.(2017長春普通高中質(zhì)量檢測(cè)(二))已知四棱錐PABCD的底面為矩形,平面PBC⊥平面ABCD,PE⊥BC于點(diǎn)E,EC=1,AB=6,BC=3,PE=2,則四棱錐PABCD的外接球半徑為.

10.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.D先觀察俯視圖,由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確,再由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確,故選D.2.D由幾何體可以看出,側(cè)視圖應(yīng)為一個(gè)矩形外加一條從右上到左下的對(duì)角線,故選D.3.D由三視圖知,該幾何體是四棱錐,底面是一個(gè)直角梯形,底面積為12×(1+2)×2=3,四棱錐的高為x,因?yàn)樵搸缀误w的體積為3,所以14.B根據(jù)直觀圖以及題圖中的輔助四邊形分析可知,當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),俯視圖為B,故選B.5.B依題意,設(shè)該球的半徑為R,則有4π3R3=43π,解得R=3,因此球心O到平面α的距離d=R2-6.A由三視圖知,該幾何體由一個(gè)正方體的四分之三與一個(gè)圓柱的四分之一組合而成(如圖所示),表面積為16×2+(164+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π,故選A.7.B由三視圖知,該幾何體由直三棱柱(底面是直角邊長分別為3,4的直角三角形,高為6)截去兩個(gè)相同的四棱錐所得,且四棱錐的底面是長、寬分別為4,2的矩形,高是3,所以該幾何體的體積V=12×3×4×62×18.C由三視圖知,甲幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐,乙?guī)缀误w是在甲幾何體的基礎(chǔ)上去掉一個(gè)角,即去掉一個(gè)三個(gè)面是直角三角形的三棱錐后得到的一個(gè)三棱錐,所以V甲>V乙,故選C.9.A由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1,高為3的半個(gè)圓錐和三棱錐SABC組成的,如圖,三棱錐的高為3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其體積V=13×12×π×12×3+13×110.B∵BPPD1=12,∴點(diǎn)P到平面BC1的距離是D1到平面BC1距離的∵M(jìn)為線段B1C1上的點(diǎn),∴S△MBC=12×3×3=9∴VMPBC=VPMBC=13×92×1=11.A設(shè)三棱錐ABCD的高為h,依題意得AB,AC,AD兩兩垂直,且AB=AC=AD=22BC=2△BCD的面積為34×12=3由VABCD=VBACD得13S△BCD·h=13S即13×34×h=13×12×222×即三棱錐ABCD的高h(yuǎn)=6612.A由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)三棱錐,設(shè)其為三棱錐ABCD,由俯視圖可知,底面BCD是一個(gè)等腰直角三角形,∠BCD為直角,平面ABD⊥平面BCD,易知外接球的球心O為△ABD的中心,則球O的半徑R=233,外接球的表面積等于4πR2=4π×2313.答案①②③④解析該組合體由四棱錐與四棱柱組成時(shí),得①正確;該組合體由四棱錐與圓柱組成時(shí),得②正確;該組合體由圓錐與圓柱組成時(shí),得③正確;該組合體由圓錐與四棱柱組成時(shí),得④正確.14.答案1解析V三棱錐D1-EDF=V三棱錐F∴V三棱錐D1-EDF=V三棱錐F15.答案16π解析取BD的中點(diǎn)為O1,連接OO1,OE,O1E,O1A,則四邊形OO1AE為矩形,∵OA⊥平面BDE,∴OA⊥EO1,即四邊形OO1AE為正方形,則球O的半徑R=OA=2,∴球O的表面積S=4π×22=16π.16.答案2+π解析由三視圖得該幾何體的直觀圖(如圖).其中,長方體的長、寬、高分別為2,1,1,圓柱體的底面半徑為1,高為1.所以該幾何體的體積V=2×1×1+12×π×12×1=2+πB組提升題組1.B由三視圖知,該幾何體是由一個(gè)棱長為6的正方體挖去一個(gè)底面半徑為3,高為6的14圓錐而得到的,所以該幾何體的體積V=6314×13×π×322.D根據(jù)三視圖還原直觀圖,如圖所示,則該幾何體的表面積S=6×3+12×6×4+2×12×3×5+3.D設(shè)截面與底面的距離為h,則①中截面內(nèi)圓的半徑為h,則截面圓環(huán)的面積為π(R2h2);②中截面圓的半徑為Rh,則截面圓的面積為π(Rh)2;③中截面圓的半徑為Rh2,則截面圓的面積為πR④中截面圓的半徑為R2-h2,則截面圓的面積為π(R所以①④中截面的面積相等,故其體積相等,故選D.4.B如圖所示,設(shè)圓柱的半徑為r,高為x,體積為V,由題意可得r1=2-x2,所以x=22r,所以圓柱的體積V=πr2(22r)=2π(r2r3)(0<r<1),設(shè)V(r)=2π(r2r3)(0<r<1),則V'(r)=2π(2r3r2),令2π(2r3r2)=0,得r=23,當(dāng)r=23時(shí),V取得最大值,所以圓柱的最大體積Vmax=2π232233=5.B根據(jù)幾何體的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,其底面為一個(gè)直角邊長為1的等腰直角三角形,高為1,它的另外三條棱長均為2,顯然其是一個(gè)正三棱錐,②正確;該幾何體的體積V=13×12×1×1×1=該幾何體的表面積S=3×12×1×1+12×2×2×32=3該幾何體外接球的直徑為2R=12+12+6.D依題意,記三棱錐PABC的外接球的球心為O,半徑為R,點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則由VPABC=13S△ABCh=13×34×42×h=163得h=43.又PC為球O的直徑,因此球心O到平面ABC的距離等于12h=23.又正△ABC的外接圓半徑r=AB2sin60°=437.答案37解析由題意知,該幾何體為如圖所示的四棱錐PABCD,連接AC,CD=y2,AB=y,AC=5,CP=7∵BC⊥CP,∴BP2=BC2+CP2,即x2=25y2+7,x2+y2=32≥2xy,則xy≤16,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí),等號(hào)成立.∴BC=25-y2=3,此時(shí)該幾何體的體積V=13×2+428.答案3解析由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)四棱錐,將其還原在長方體中,為四棱錐PABCD,如圖,故其體積VPABCD=13×(1+2)×129.答案2解析如圖,由已知,設(shè)△PBC的外接圓圓心為O1,半徑為r,在△PBC中,由正弦定理可得PCsin∠PBC=2r,即522=2r,解得r=102,設(shè)F為BC邊的中點(diǎn),進(jìn)而求出O1F=12,設(shè)四棱錐PABCD的外接