構(gòu)建數(shù)學(xué)課程新樣態(tài)推進(jìn)高質(zhì)量數(shù)學(xué)教育發(fā)展摘要：新中國(guó)成立以來(lái)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育經(jīng)歷不斷改進(jìn)和發(fā)展的過(guò)程，特別是進(jìn)入新世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展不斷改革和創(chuàng)新。課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、概念和方法的表達(dá)是數(shù)學(xué)課程乃至基礎(chǔ)教育課程改革的核心要素。總結(jié)二十多年來(lái)數(shù)學(xué)課程，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展趨勢(shì)，大體可以歸結(jié)為：課程目標(biāo)越來(lái)越明確，從“雙基”“三大能力”到“四基”，再到核心素養(yǎng)“三會(huì)”，越來(lái)越彰顯以人為本的教育理念；課程結(jié)構(gòu)越來(lái)越清晰，從分散的單一的學(xué)習(xí)主題到四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的設(shè)置，再到領(lǐng)域下整合的七個(gè)主題，越來(lái)越體現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)與素養(yǎng)的融合；概念和方法的表達(dá)越來(lái)越科學(xué)，數(shù)學(xué)教材的表達(dá)以學(xué)習(xí)主題為線索，越來(lái)越關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解。數(shù)學(xué)課程的新樣態(tài)推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐的改進(jìn)，促進(jìn)高質(zhì)量數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程；課程目標(biāo)；課程結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)概念與方法新中國(guó)成立以來(lái)，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的歷程是一個(gè)不斷改進(jìn)和發(fā)展的過(guò)程。特別是進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，在基礎(chǔ)教育課程改革背景下，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，貫徹學(xué)科育人理念，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程不斷改革和創(chuàng)新。全面審視新中國(guó)成立以來(lái)，從課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、概念和方法的表達(dá)等核心要素梳理和總結(jié)其特征，有助于深刻理解新時(shí)代數(shù)學(xué)課程改革乃至基礎(chǔ)教育課程改革的脈絡(luò)、特征和發(fā)展趨勢(shì)。一、課程目標(biāo)越來(lái)越明確新中國(guó)成立以來(lái)，伴隨著我國(guó)基礎(chǔ)教育的發(fā)展，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)發(fā)生了很大的變化，總體趨勢(shì)是目標(biāo)越來(lái)越明確、越來(lái)越彰顯以人為本的教育理念。大體可分為兩個(gè)階段：第一個(gè)階段從1952年到2005年；第二個(gè)階段從2006年至今。在第一個(gè)階段，影響較大的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)有以下三個(gè)。一是“雙基”。1952年3月教育部頒布的《中學(xué)暫行規(guī)程（草案）》提出中學(xué)教育四個(gè)目標(biāo)，其中第一個(gè)目標(biāo)就是“使學(xué)生能正確運(yùn)用本國(guó)語(yǔ)文，得到現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能，養(yǎng)成科學(xué)的世界觀”。這是最早的對(duì)“基礎(chǔ)知識(shí)和技能”的表述。1952年12月教育部頒布的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是教給學(xué)生以數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并培養(yǎng)他們應(yīng)用這種知識(shí)來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題所必需的技能和熟練技巧”。這樣，從1952年開(kāi)始，中國(guó)基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育就逐漸形成了“雙基”的特色，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)和基本技能熟練。二是“三大能力”。1963年5月教育部頒布的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》提出，“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是：使學(xué)生牢固地掌握代數(shù)、平面幾何、立體幾何、三角和平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生正確而且迅速的計(jì)算能力、邏輯推理能力和空間想象能力，以適應(yīng)參加生產(chǎn)勞動(dòng)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要”。文件中五次出現(xiàn)這三個(gè)能力的要求，可見(jiàn)對(duì)這些能力的重視程度，這就是人們后來(lái)常說(shuō)的數(shù)學(xué)的“三大能力”。三是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。1978年2月教育部頒布的《全日制中學(xué)暫行工作條例（試行草案）》提出，“使學(xué)生在小學(xué)教育的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外國(guó)語(yǔ)等課程的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，逐步具有自學(xué)能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，具有一定的生產(chǎn)知識(shí)”。教育部1978年頒布的《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》再次提出，“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是：使學(xué)生切實(shí)學(xué)好參加社會(huì)主義革命和建設(shè)，以及學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)；具有正確迅速的運(yùn)算能力、一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”。其中，第一次把計(jì)算能力拓展為運(yùn)算能力。這樣，到20世紀(jì)末我國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)大體表述為“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能”“正確迅速的運(yùn)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力”和“分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力”。上述三個(gè)目標(biāo)是一脈相承的，匯聚了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的特色，也是優(yōu)勢(shì)，這就是：強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)和技能，強(qiáng)調(diào)計(jì)算和證明，強(qiáng)調(diào)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，在本質(zhì)上強(qiáng)調(diào)的是基本功的訓(xùn)練、是熟能生巧。雖然從1978年到2005年，無(wú)論教育理念還是教學(xué)方式都發(fā)生了很大的變化，但傳統(tǒng)的教育教學(xué)目標(biāo)沒(méi)有發(fā)生根本性變化。也就是說(shuō)，半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，中國(guó)基礎(chǔ)教育重視培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，重視培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，但培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和創(chuàng)新能力不夠。世紀(jì)之交，為貫徹《中共中央

國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》和《國(guó)務(wù)院關(guān)于基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的決定》，教育部決定大力推進(jìn)基礎(chǔ)教育課程改革。2001年頒發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》產(chǎn)生了很大的影響，使中國(guó)的基礎(chǔ)教育從理論到實(shí)踐都發(fā)生了很大變化，強(qiáng)調(diào)要“改變課程過(guò)于注重知識(shí)傳授的傾向”，明確提出“應(yīng)體現(xiàn)國(guó)家對(duì)不同階段的學(xué)生在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面的基本要求”，也就是三維目標(biāo)的要求。同年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱“2001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿”）提出，使學(xué)生“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能；初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)”的課程目標(biāo)，對(duì)傳統(tǒng)的以知識(shí)技能為核心的課程目標(biāo)有所突破。但是，因?yàn)?001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿以及相應(yīng)的教材存在一些問(wèn)題，引發(fā)了社會(huì)、數(shù)學(xué)教育界甚至數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，有些批評(píng)還是比較激烈的。于是在2005年春，教育部決定先于其他學(xué)科專門成立2001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿的修訂小組。修訂小組由14人組成，其中有6位數(shù)學(xué)教授、5位數(shù)學(xué)教育教授、1位數(shù)學(xué)教研員和2位中學(xué)數(shù)學(xué)教師。事實(shí)證明，修訂小組的成立，對(duì)我國(guó)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育的發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用。修訂小組把數(shù)學(xué)課程目標(biāo)由傳統(tǒng)的“雙基”拓展為“四基”，即在“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能”的基礎(chǔ)上增加“基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”；由“兩能”拓展為“四能”，即在“分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”能力的基礎(chǔ)上增加“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題”的能力。這樣的拓展，使得我國(guó)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)得到了極大的提升。這是課程目標(biāo)的第二階段。下面，僅就“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”作簡(jiǎn)要分析。數(shù)學(xué)基本思想的判斷，遵循兩個(gè)基本原則：一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的思想；二是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征?？梢钥吹剑谝粋€(gè)原則是指向數(shù)學(xué)的，第二個(gè)原則是指向數(shù)學(xué)教育的。只有把這兩個(gè)指向統(tǒng)一，才可能構(gòu)建數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。修訂組最終把數(shù)學(xué)的基本思想落實(shí)到三個(gè)方面——抽象、推理、模型，這三者分別涉及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用，大體描述如下。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于數(shù)學(xué)的抽象，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象以及描述研究對(duì)象性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)都是抽象了的東西，這些抽象的東西來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，來(lái)源于人的經(jīng)驗(yàn)，是人抽象出來(lái)的。數(shù)學(xué)的抽象就是舍去承載物的一切現(xiàn)實(shí)背景，也就是舍去承載物的一切物理屬性。數(shù)學(xué)的發(fā)展源于數(shù)學(xué)的推理，推理是從命題判斷到命題判斷的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)的推理是依據(jù)規(guī)則進(jìn)行的，大體分為兩類：一類是基于思辨的，從設(shè)立的前提命題出發(fā)，依據(jù)傳遞性的原則，使命題的結(jié)論得到確認(rèn)，稱為演繹推理；另一類是基于綜合的，從經(jīng)歷過(guò)的事實(shí)出發(fā)，依據(jù)傳遞性的原則，使命題的結(jié)論得到拓展，稱為歸納推理。數(shù)學(xué)發(fā)展的真正動(dòng)力來(lái)自數(shù)學(xué)的應(yīng)用，只有那些直接從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，才是最本質(zhì)的，才具有頑強(qiáng)的生命力。數(shù)學(xué)模型就是理性加工形成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，特別是在大數(shù)據(jù)時(shí)代的今天，基于大模型的人工智能自然語(yǔ)言處理系統(tǒng)，為數(shù)學(xué)模型的發(fā)展提供了不可估量的前景。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不是泛指一般的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，諸如經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索等，而是指學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)最終獲得的經(jīng)驗(yàn)，主要是指會(huì)想問(wèn)題、會(huì)做事情的經(jīng)驗(yàn)，獲得的過(guò)程可能是長(zhǎng)時(shí)間的、潛移默化的。為了經(jīng)驗(yàn)的教育從來(lái)也沒(méi)有被列入我國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》的緒論中是這樣表達(dá)的：“思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累是一種隱性的東西，但恰恰就是這種隱性的東西在很大程度上影響人的思想方法，因此，對(duì)學(xué)生，特別是對(duì)那些未來(lái)不從事數(shù)學(xué)工作的學(xué)生的重要性是不言而喻的，這是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是‘育人為本’教育理念在數(shù)學(xué)學(xué)科的具體體現(xiàn)……顯然，思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是依賴學(xué)生親自參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，依賴學(xué)生的獨(dú)立思考，這是一種過(guò)程的教育?！币虼?，這里所說(shuō)的“過(guò)程的教育”，并不是指數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，而是學(xué)生自己理解數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，包括思維的過(guò)程，也包括做事的過(guò)程，通過(guò)這樣的過(guò)程積累經(jīng)驗(yàn)。這樣，到了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011年版課標(biāo)”）全面修訂的時(shí)候，數(shù)學(xué)學(xué)科的課程目標(biāo)已經(jīng)相對(duì)成熟了，既包括“四基”“四能”，也包括“數(shù)感”“符號(hào)意識(shí)”等與數(shù)學(xué)素養(yǎng)有關(guān)的十個(gè)核心詞。2011年版課標(biāo)頒布以后，經(jīng)歷了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2017年版高中課標(biāo)”），直到《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”），數(shù)學(xué)課程目標(biāo)再次發(fā)生了變化，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面來(lái)自數(shù)學(xué)外部，這就是把核心素養(yǎng)作為統(tǒng)一的課程目標(biāo)，作為育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，核心素養(yǎng)是在學(xué)生理解掌握知識(shí)技能的基礎(chǔ)上，在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力；另一方面來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部，這就是更加關(guān)注數(shù)學(xué)最終形成的抽象結(jié)構(gòu)，這樣的抽象結(jié)構(gòu)可以表述為“研究對(duì)象＋”的思維模式，其中的“＋”是與研究對(duì)象有關(guān)的性質(zhì)、運(yùn)算、關(guān)系等。在這一部分，我們集中討論來(lái)自數(shù)學(xué)外部即核心素養(yǎng)所帶來(lái)的變化，下一部分將集中討論源于數(shù)學(xué)課程內(nèi)部的變化。如果把核心素養(yǎng)作為課程目標(biāo)的統(tǒng)領(lǐng)，那么核心素養(yǎng)就應(yīng)當(dāng)具有三個(gè)特性：一是一致性，是每個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人都應(yīng)當(dāng)具有的，但又是終極的；二是階段性，不同的學(xué)習(xí)階段有不同的表現(xiàn)，涉及知識(shí)儲(chǔ)備、身心發(fā)展、經(jīng)驗(yàn)積累；三是整體性，不僅有傳統(tǒng)意義的數(shù)學(xué)特征，還要有數(shù)學(xué)教育的特征，不僅能夠表述學(xué)科思維，而且能夠表述認(rèn)知心理。這樣，未來(lái)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，就數(shù)學(xué)素養(yǎng)而言，不僅涉及小學(xué)和初中，還會(huì)涉及高中、大學(xué)，甚至還會(huì)涉及研究生教育，因此體現(xiàn)了一致性；但每個(gè)學(xué)習(xí)階段有各自的表現(xiàn)，體現(xiàn)了階段性；重要的是，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的遞增邏輯，更要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特征。因此，用“三會(huì)”統(tǒng)領(lǐng)未來(lái)數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?？梢岳斫猓瑪?shù)學(xué)的眼光比數(shù)學(xué)抽象更加上位，數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式；數(shù)學(xué)的思維比數(shù)學(xué)推理更加上位，數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式；數(shù)學(xué)的語(yǔ)言比數(shù)學(xué)模型更加上位，數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。2022年版課標(biāo)中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，是在“三會(huì)”的統(tǒng)領(lǐng)下，學(xué)生獲得“四基”“四能”“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”。顯然，這樣的總目標(biāo)是對(duì)2011年版課標(biāo)中課程目標(biāo)的繼承和發(fā)展。二、課程結(jié)構(gòu)越來(lái)越清晰課程結(jié)構(gòu)是課程內(nèi)容組織的基本樣態(tài)。基于課程目標(biāo)選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，需要以一種適當(dāng)?shù)姆绞郊右越M織，使教科書(shū)的編者和學(xué)校的教學(xué)有章可循。課程結(jié)構(gòu)的形成既要依據(jù)學(xué)科邏輯和課程理論，又要基于教育教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的歸納和總結(jié)，正如泰勒（Tyler）所說(shuō)，“為了使教育經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生累積效應(yīng)，就必須將它們組織起來(lái)，使之互相強(qiáng)化”。（一）數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的樣態(tài)變化新中國(guó)成立以后，我國(guó)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的樣態(tài)大體可以分為三個(gè)階段：第一階段始于1952年，描述數(shù)學(xué)課程的文件是教學(xué)大綱，主要是具體教學(xué)內(nèi)容的陳述；第二階段始于2001年，用課程標(biāo)準(zhǔn)取代教學(xué)大綱，開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和知識(shí)的進(jìn)階；第三階段始于2022年，明確提出課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，關(guān)注知識(shí)進(jìn)階與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的融合，使學(xué)生在獲得知識(shí)技能的同時(shí)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力、提升核心素養(yǎng)。三個(gè)階段課程結(jié)構(gòu)的演變和特征大體如下。第一階段（1952—2000年）的學(xué)習(xí)主題基本上是分散的，主題的表達(dá)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的直接表述。比如，把運(yùn)算表述為四則計(jì)算或四則運(yùn)算（如第一部分所述，由計(jì)算到運(yùn)算的轉(zhuǎn)變是在1978年），其他還有幾何的初步認(rèn)識(shí)、代數(shù)的初步認(rèn)識(shí)、統(tǒng)計(jì)的初步認(rèn)識(shí)等表述。這樣的表述不涉及學(xué)習(xí)主題的本質(zhì)，很難了解學(xué)習(xí)這些內(nèi)容應(yīng)當(dāng)聚焦的核心內(nèi)容或數(shù)學(xué)思想。這個(gè)階段的前期，學(xué)習(xí)主題還包括一些與生產(chǎn)實(shí)踐直接相關(guān)的內(nèi)容，如簡(jiǎn)單的簿記、記賬、土石方等，這與當(dāng)時(shí)大部分小學(xué)畢業(yè)生直接參加生產(chǎn)勞動(dòng)的國(guó)情有關(guān)；再比如，直到1963年，珠算都作為單獨(dú)的一個(gè)學(xué)習(xí)主題。因此，課程結(jié)構(gòu)即學(xué)習(xí)內(nèi)容的組織與社會(huì)和科技的發(fā)展密切關(guān)聯(lián)。第二階段（2001—2021年）開(kāi)始設(shè)置學(xué)習(xí)領(lǐng)域，2001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿包括數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合運(yùn)用四個(gè)領(lǐng)域，包含14個(gè)學(xué)習(xí)主題（小學(xué)階段）：數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)的運(yùn)算，常見(jiàn)的量，探索規(guī)律，式與方程，正比例、反比例，圖形的認(rèn)識(shí)，測(cè)量，圖形與變換，圖形與位置，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)初步，不確定現(xiàn)象，簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程，可能性。2011年版課標(biāo)仍然是四個(gè)領(lǐng)域，但把“空間與圖形”修改為“圖形與幾何”，“實(shí)踐與綜合運(yùn)用”修改為“綜合與實(shí)踐”，學(xué)習(xí)主題由14個(gè)減少為12個(gè)，主要是減少了統(tǒng)計(jì)與概率的兩個(gè)主題?？梢钥吹剑膫€(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的確定，在一定程度上建構(gòu)了數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，但主題的表達(dá)仍然以內(nèi)容為主，比較分散，難以從整體性和一致性上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容與方法。第三階段（2022年至今）內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、主題更加鮮明。2022年版課標(biāo)保持了四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，但對(duì)領(lǐng)域下的主題進(jìn)行了優(yōu)化整合，把原來(lái)的12個(gè)主題整合為7個(gè)學(xué)習(xí)主題（小學(xué)階段）：數(shù)與運(yùn)算，數(shù)量關(guān)系，圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量，圖形的位置與運(yùn)動(dòng)，數(shù)據(jù)分類，數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)，隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性。這樣的主題變化更有利于清晰地表述學(xué)科本質(zhì)，如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域把原有的7個(gè)學(xué)習(xí)主題修訂為2個(gè)學(xué)習(xí)主題，即“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”，前者體現(xiàn)了“研究對(duì)象＋”的形式，后者強(qiáng)調(diào)用符號(hào)（包括數(shù)）表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系和規(guī)律（參見(jiàn)第三部分的論述）；“圖形與幾何”基于“研究對(duì)象+”的理念，把原有的4個(gè)學(xué)習(xí)主題修改為2個(gè)學(xué)習(xí)主題；“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域不僅增加了數(shù)據(jù)分類的主題，而且強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)，這完全是為了適應(yīng)大數(shù)據(jù)分析和人工智能的時(shí)代要求；“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域則第一次充實(shí)了具體的內(nèi)容，后面將會(huì)進(jìn)一步討論這個(gè)話題。上述三個(gè)階段課程結(jié)構(gòu)的變化體現(xiàn)了內(nèi)容形式表述到學(xué)科本質(zhì)表述的轉(zhuǎn)變，有利于教材編寫(xiě)體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性與一致性，有利于教師遵循數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯和學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)“基于主題的整體設(shè)計(jì)、立足單元的分步實(shí)施”的教學(xué)過(guò)程，最終指向?qū)W生學(xué)習(xí)過(guò)程中的遷移和內(nèi)容體系的建構(gòu)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。特別是第三階段課程結(jié)構(gòu)新樣態(tài)的形成，使得課程結(jié)構(gòu)的思路越來(lái)越合理、表達(dá)越來(lái)越清晰。（二）數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的主要特征內(nèi)容的選擇是解決學(xué)什么的問(wèn)題，內(nèi)容的組織是解決以什么樣的課程邏輯將學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題。這里所說(shuō)的課程邏輯不僅有知識(shí)本身的邏輯，也包括學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階。課程組織的原則包括連續(xù)性、順序性和整合性。其中，連續(xù)性涉及在學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)特定的要素，順序性是指提高學(xué)習(xí)者發(fā)展的廣度和深度，而整合性是指提高學(xué)習(xí)者的行為和涉及的相關(guān)要素的統(tǒng)一性。這就意味著課程編制者需要依據(jù)對(duì)學(xué)習(xí)者的心理意義來(lái)考慮組織的原則。基于對(duì)課程組織原理的理解，充分考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯系統(tǒng)和義務(wù)教育階段學(xué)生的認(rèn)知特征，2022年版課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，重新梳理了四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域下的主題，包括相應(yīng)的內(nèi)容。這些主題表現(xiàn)了整體性、一致性和階段性的特征。其中，整體性體現(xiàn)概念的抽象結(jié)構(gòu)，即“研究對(duì)象＋”的形式；一致性體現(xiàn)學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)；階段性符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。首先，課程內(nèi)容的整體性。整體性與人的數(shù)學(xué)認(rèn)知有關(guān)。為了更好地認(rèn)知數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，就要同時(shí)認(rèn)知對(duì)象的性質(zhì)，或者關(guān)系，或者運(yùn)算，等等，稱為數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)，原本是數(shù)學(xué)研究的基本樣態(tài)。2022年版課標(biāo)嘗試將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育，這是形成“研究對(duì)象＋”的思維基礎(chǔ)。如數(shù)與運(yùn)算，數(shù)是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量的抽象，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)最重要的對(duì)象，但僅僅建立數(shù)的概念是不夠的，為了更好地認(rèn)知數(shù)，必須同時(shí)認(rèn)知數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、質(zhì)數(shù)合數(shù)等）、數(shù)的關(guān)系（相等、小于、大于等）。顯然，這些關(guān)系都與數(shù)的運(yùn)算相關(guān)。為此，2022年版課標(biāo)將“數(shù)與運(yùn)算”作為一個(gè)主題，使學(xué)生了解數(shù)與運(yùn)算存在密切關(guān)聯(lián)，數(shù)是運(yùn)算的對(duì)象，數(shù)的表達(dá)、性質(zhì)和關(guān)系都與運(yùn)算直接相關(guān)。于是，數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算才具備一致性的認(rèn)知特征。圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量這個(gè)主題類似，圖形的測(cè)量是針對(duì)具體圖形展開(kāi)的，雖然一維、二維、三維圖形的測(cè)量需要選擇不同的度量單位，但通過(guò)一體化的學(xué)習(xí)可以感知度量的核心是線段的長(zhǎng)度、基于長(zhǎng)度認(rèn)識(shí)面積、基于面積認(rèn)識(shí)體積。然后，把標(biāo)準(zhǔn)圖形的度量拓展到一般圖形的度量，比如，把長(zhǎng)方形的面積公式拓展到平行四邊形的面積公式，進(jìn)而拓展到三角形的面積公式。因此，從整體上把握?qǐng)D形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量是必要的。其次，課程內(nèi)容的一致性。數(shù)學(xué)學(xué)科具有很強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性，因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生建立系統(tǒng)的學(xué)科結(jié)構(gòu)，通過(guò)一致性體現(xiàn)主題下學(xué)習(xí)內(nèi)容的連貫性，凸顯本質(zhì)一致的內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)。比如，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，起始于自然數(shù)的加法，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是特殊情況下的加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算。所有自然數(shù)的乘法都可以化歸于表內(nèi)乘法，這是因?yàn)樗懵蓻Q定算理、算理決定算法（參見(jiàn)第三部分）。雖然分?jǐn)?shù)和小數(shù)的表達(dá)方式與自然數(shù)不盡相同，但是，如果整數(shù)的單位定義為計(jì)數(shù)單位，把分?jǐn)?shù)單位和小數(shù)單位也都看作計(jì)數(shù)單位，那么可以得出運(yùn)算一致性的觀念，形成學(xué)習(xí)運(yùn)算的基本思路，即數(shù)的運(yùn)算是基于計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。類似得到度量的一致性，對(duì)于圖形的長(zhǎng)度、面積、體積都是確定一個(gè)合適的度量單位，然后采用一個(gè)合適的方法計(jì)算度量單位的個(gè)數(shù)，比如，利用乘法得到長(zhǎng)方形面積公式，通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)換等方法進(jìn)行面積計(jì)算的拓展。主題學(xué)習(xí)內(nèi)容的一致性，也為學(xué)習(xí)過(guò)程中的遷移提供條件，比如，把整數(shù)的加減運(yùn)算“在相同數(shù)位上進(jìn)行”這個(gè)法則遷移到小數(shù)的加減運(yùn)算，然后理解分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算要進(jìn)行通分也就順理成章了。事實(shí)上，2022年版課標(biāo)設(shè)定的每個(gè)學(xué)習(xí)主題都蘊(yùn)含了一致性，都可以幫助學(xué)生從內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)、內(nèi)容的性質(zhì)或者運(yùn)算理解所學(xué)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感悟知識(shí)與方法的遷移，自主建立學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。再次，課程內(nèi)容的階段性。階段性考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和思維發(fā)展特征，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階?；趯W(xué)習(xí)主題的一致性，可以把學(xué)習(xí)內(nèi)容的總目標(biāo)分解為不同的階段，使學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)體現(xiàn)連貫的階段性。為此，2022年版課標(biāo)將小學(xué)原來(lái)的兩個(gè)學(xué)段改為三個(gè)學(xué)段，反映學(xué)生不同階段的認(rèn)知特點(diǎn)，凸顯課程內(nèi)容的階段性。為了得到小學(xué)數(shù)學(xué)的合理學(xué)段，有關(guān)研究對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的認(rèn)知水平的差異進(jìn)行了分析。利用僅與思維有關(guān)、與學(xué)習(xí)知識(shí)無(wú)關(guān)的問(wèn)題測(cè)試學(xué)生，根據(jù)學(xué)生回答對(duì)其水平進(jìn)行分類，例如：一個(gè)袋子裝有大小相同的紅色和綠色的橡皮擦，其中紅色的橡皮擦多于綠色的。從袋中任意取一個(gè)，問(wèn)最有可能的顏色是紅色的還是綠色的。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)過(guò)統(tǒng)計(jì)的一、二年級(jí)的學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解水平幾乎接近，三年級(jí)的學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解水平明顯高于一、二年級(jí)的學(xué)生。有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)段的研究也發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)抽象方面，小學(xué)一、二年級(jí)學(xué)生差異不明顯，二、三年級(jí)學(xué)生差異明顯，四、五年級(jí)學(xué)生差異不明顯，五、六年級(jí)學(xué)生差異明顯。正是依據(jù)上述理由，2022年版課標(biāo)在關(guān)注學(xué)習(xí)主題內(nèi)容和方法一致性的基礎(chǔ)上，重視內(nèi)容和方法呈現(xiàn)方式的階段性。比如數(shù)的認(rèn)識(shí)，雖然都是圍繞計(jì)數(shù)單位展開(kāi)，但不同階段的呈現(xiàn)方式不盡相同：第一學(xué)段，通過(guò)“10的認(rèn)識(shí)”與“1到9的認(rèn)識(shí)”的區(qū)分，感悟計(jì)數(shù)單位“十”，通過(guò)9999+1認(rèn)識(shí)1萬(wàn)這個(gè)數(shù)；第二學(xué)段，通過(guò)10個(gè)千再次認(rèn)知計(jì)數(shù)單位“萬(wàn)”和萬(wàn)以上的數(shù)，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)；第三學(xué)段，通過(guò)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算，一般性地理解計(jì)數(shù)單位。再比如整數(shù)的乘法運(yùn)算，雖然隨著數(shù)位的增加計(jì)算難度不斷提升，但基本的算理是一致的，因此，學(xué)生掌握了2位數(shù)乘2位數(shù)的算理，就可以嘗試用類比的方法，自己計(jì)算3位數(shù)乘2位數(shù)，實(shí)踐證明這樣的方法是切實(shí)可行的。讓學(xué)生自己得到結(jié)論，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的必由之路。整數(shù)乘法的本質(zhì)是數(shù)字乘數(shù)字、計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位，這樣的方法可以拓展到小數(shù)和分?jǐn)?shù)，比如，0.3×0.2是3個(gè)0.1乘2個(gè)0.1，3/5×2/5是3個(gè)1/5乘2個(gè)1/5，算式可以分別寫(xiě)成3×2×（0.1×0.1）和3×2×（1/5×1/5）。到了六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這樣的一致性。最后，綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)化改造。這個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域從2001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿開(kāi)始設(shè)置，旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，但是，直到2011年版課標(biāo)都沒(méi)有賦予具體的內(nèi)容。在課程整合的理念下，2022年版課標(biāo)為綜合與實(shí)踐領(lǐng)域設(shè)計(jì)了具體的內(nèi)容，基本原則是學(xué)習(xí)那些數(shù)學(xué)學(xué)科以外的知識(shí)，即與抽象的數(shù)以及長(zhǎng)度無(wú)關(guān)的那些知識(shí)。主要有兩類學(xué)習(xí)形式：一類是主題的形式；另一類是項(xiàng)目的形式。主題形式包括用時(shí)間單位、質(zhì)量單位和貨幣單位等表述的那些常見(jiàn)的量，以及位置關(guān)系、平面方向等常識(shí)性的知識(shí)等。項(xiàng)目形式是在真實(shí)情境中用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)方法解決真實(shí)問(wèn)題，希望學(xué)生像完成項(xiàng)目那樣，經(jīng)歷一個(gè)從問(wèn)題的提出開(kāi)始，經(jīng)歷問(wèn)題解決路徑的設(shè)計(jì)，到問(wèn)題結(jié)論驗(yàn)證的全過(guò)程，促進(jìn)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的形成。小學(xué)階段以主題形式為主，在第三學(xué)段開(kāi)展一些項(xiàng)目學(xué)習(xí)；初中階段以項(xiàng)目形式為主。（三）對(duì)教材的要求和對(duì)教學(xué)的啟示數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)分為領(lǐng)域和主題兩個(gè)層次，主要是基于主題展開(kāi)的，主題的設(shè)定體現(xiàn)了整體性，主題內(nèi)容的呈現(xiàn)則需要體現(xiàn)一致性和階段性。2022年版課標(biāo)對(duì)每一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域進(jìn)行整體述說(shuō)后，就對(duì)這個(gè)領(lǐng)域各個(gè)學(xué)段的主題提出內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示，呈現(xiàn)的形式是基于學(xué)段的、整體的。這樣，相應(yīng)的教材的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)是單元的、進(jìn)階的，也就是，首先明晰每一個(gè)主題知識(shí)的主線以及最終達(dá)成的學(xué)業(yè)要求，然后根據(jù)課程目標(biāo)的要求，把這些知識(shí)分解為每個(gè)單元的表現(xiàn)。這里所說(shuō)的表現(xiàn)不僅包括知識(shí)，也包括知識(shí)的呈現(xiàn)和表述，還包括相應(yīng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成，體現(xiàn)課程結(jié)構(gòu)的一致性和階段性，使得教材對(duì)于每一個(gè)主題的知識(shí)都能形成一個(gè)完整的、相互關(guān)聯(lián)的整體，最后協(xié)調(diào)主題之間、領(lǐng)域之間的關(guān)系。這樣的課程設(shè)計(jì)，有利于教師進(jìn)行“基于主題的整體設(shè)計(jì)、立足單元的分步實(shí)施”的教學(xué)活動(dòng)，有助于學(xué)生循序漸進(jìn)、最終整體理解所學(xué)的知識(shí)和方法。比如，基于小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題的課程結(jié)構(gòu)，以及學(xué)生認(rèn)知能力和抽象思維的不同層次，設(shè)計(jì)三個(gè)學(xué)段的教學(xué)。第一學(xué)段，利用現(xiàn)實(shí)背景認(rèn)識(shí)數(shù)，借助實(shí)際意義知道數(shù)的運(yùn)算。通過(guò)具體的形式讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如，通過(guò)10的再認(rèn)識(shí)等，理解數(shù)位，感知數(shù)學(xué)的表達(dá)；知道減法與加法、乘法與加法、除法與乘法的關(guān)系。第二學(xué)段，感知橫式與豎式的關(guān)聯(lián)，知道算律決定算理、算理決定算法。通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，知道分?jǐn)?shù)、小數(shù)是比整數(shù)更精細(xì)的表達(dá)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，感知計(jì)數(shù)單位；通過(guò)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，感知數(shù)運(yùn)算與計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。第三學(xué)段，知道數(shù)認(rèn)識(shí)的一致性和數(shù)運(yùn)算的一致性。知道數(shù)是多少個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，知道數(shù)運(yùn)算與計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，理解分?jǐn)?shù)通分、小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的道理。理解除法與整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)、幾分之幾與幾倍、比與比例之間的關(guān)系；知道逆運(yùn)算的表達(dá)，理解四則運(yùn)算之間的關(guān)系。這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)就必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的特征，基于主題整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施。所謂整體設(shè)計(jì)，是有組織地以教學(xué)研究的形式展開(kāi)，課標(biāo)為指引、教科書(shū)為載體，明晰每一個(gè)學(xué)習(xí)主題的主線和階段性表現(xiàn)，使每一位教師都清楚自己所要教學(xué)的內(nèi)容在整體中的位置和前后聯(lián)系；所謂分步實(shí)施，是說(shuō)教師要根據(jù)主題內(nèi)容整體設(shè)計(jì)的基本思路，具體設(shè)計(jì)所要教學(xué)的內(nèi)容和相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)，使得數(shù)學(xué)知識(shí)技能的教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累具有一致性和階段性，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在具體的教學(xué)活動(dòng)中，課程結(jié)構(gòu)化有利于促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移。學(xué)生的學(xué)習(xí)往往體現(xiàn)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由現(xiàn)有內(nèi)容拓展到新內(nèi)容的發(fā)展過(guò)程，稱這樣的過(guò)程為學(xué)習(xí)遷移，是學(xué)習(xí)心理學(xué)的基本規(guī)律之一。經(jīng)驗(yàn)表明，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的主要思維形式是類比。關(guān)注學(xué)習(xí)遷移是使學(xué)習(xí)真正發(fā)生的有效手段，有利于學(xué)生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的習(xí)慣。因?yàn)殛P(guān)聯(lián)密切的內(nèi)容和方法的有效組織是引發(fā)學(xué)習(xí)遷移的基本條件，所以課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移的教學(xué)活動(dòng)提供了必要條件。比如上述第二學(xué)段的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生用類比的方法，把兩位數(shù)的乘法拓展到更多位數(shù)的乘法；第三學(xué)段的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生感知如何把整數(shù)的運(yùn)算形式拓展到分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算。無(wú)論如何，對(duì)于如何理解和實(shí)踐數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的一致性和階段性，還需要更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n程理論、更加富有成效且準(zhǔn)確表達(dá)的教學(xué)實(shí)踐。三、概念與方法的表達(dá)越來(lái)越科學(xué)隨著課程目標(biāo)的逐步明確和課程結(jié)構(gòu)的日益清晰，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中概念與方法的表達(dá)越來(lái)越科學(xué)，也就是越來(lái)越觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，越來(lái)越契合學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律。遵循這樣的變化，相應(yīng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材不僅著眼于數(shù)學(xué)內(nèi)容的合理進(jìn)階，也致力于學(xué)生認(rèn)知水平的穩(wěn)步提升；不僅關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解掌握，也關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展。（一）關(guān)于數(shù)與運(yùn)算的表達(dá)基于現(xiàn)實(shí)背景認(rèn)識(shí)數(shù)，基于實(shí)際意義理解數(shù)的運(yùn)算，這是每一個(gè)初學(xué)者必須經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程。但是，傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，把學(xué)習(xí)目標(biāo)過(guò)度集中于計(jì)算能力的培養(yǎng)，缺少概念抽象的過(guò)程，以及概念抽象基礎(chǔ)上的對(duì)于數(shù)和運(yùn)算本質(zhì)的理解。因此，數(shù)的認(rèn)識(shí)沒(méi)有強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)單位，數(shù)的運(yùn)算沒(méi)有重視算理，最終導(dǎo)致：學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)各有各的背景，只知道整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的區(qū)別，不知道這些數(shù)的共性；數(shù)的運(yùn)算各講各的道理，比如，分?jǐn)?shù)的除法強(qiáng)調(diào)通過(guò)等分除和包含除表述除法的意義，小數(shù)的除法則強(qiáng)調(diào)通過(guò)商不變轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法?；谶@樣的教學(xué)，學(xué)生很難真正理解數(shù)的概念和運(yùn)算方法，很難感悟數(shù)學(xué)的一般性。事實(shí)上，自然數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多與少，與此對(duì)應(yīng)，自然數(shù)的本質(zhì)是大與小，基于這樣的本質(zhì)，加法對(duì)應(yīng)大，減法對(duì)應(yīng)小，減法是加法的逆運(yùn)算；乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算；除法是乘法的逆運(yùn)算。人們基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)十進(jìn)制的自然數(shù)，如果用計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)的表達(dá)，雖然計(jì)數(shù)單位的形式有所不同，但整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的表達(dá)，因此是一致的?；谶@樣的表達(dá)，數(shù)的加減運(yùn)算要在相同的計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行，乘法運(yùn)算可以理解為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，因此，數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)是一致的。近些年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐表明，借助計(jì)數(shù)單位表達(dá)和理解數(shù)可以讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能夠更好地理解和掌握數(shù)的運(yùn)算。小學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷兩個(gè)階段，這就是：由感性具體到感性一般，從感性一般到理性具體。比如，用兩個(gè)小方塊（感性一般）表達(dá)兩個(gè)蘋(píng)果、兩個(gè)桃子（感性具體）數(shù)量的認(rèn)知過(guò)程，兩個(gè)小方塊在形式上是舍去了具體物的稱謂，實(shí)質(zhì)上舍去了事物的背景，只留下與數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)量，經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程可以讓學(xué)生感悟抽象的本質(zhì)；然后，用數(shù)字2表達(dá)兩個(gè)小方塊，這是從感性一般到理性具體的認(rèn)知過(guò)程，進(jìn)一步舍去事物的背景，得到了數(shù)學(xué)的一般性表達(dá)?；凇把芯繉?duì)象＋”的抽象結(jié)構(gòu)，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)引入數(shù)的運(yùn)算是相得益彰。如前所述，數(shù)的本質(zhì)是大與小，加法對(duì)應(yīng)大，減法對(duì)應(yīng)小，這樣就可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)算的意義，理解四種運(yùn)算之間的關(guān)系；通過(guò)豎式與橫式的比較，即算法和算理的比較，理解算律決定算理、算理決定算法的道理。學(xué)習(xí)遷移對(duì)于運(yùn)算方法的學(xué)習(xí)是極為有效的，這就是從未知到已知的認(rèn)知過(guò)程，然后通過(guò)說(shuō)理的方式讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，理解計(jì)數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算中的作用，最終引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)概念本質(zhì)上的一致性、數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。這樣，基于相對(duì)合理的課程結(jié)構(gòu)，使得與數(shù)有關(guān)的概念的表述、與運(yùn)算有關(guān)的方法的表達(dá)更加科學(xué)，使得在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，知識(shí)進(jìn)階與學(xué)生認(rèn)知進(jìn)階得到統(tǒng)一，便于實(shí)施“基于主題的整體設(shè)計(jì)、立足單元的分步實(shí)施”的教學(xué)活動(dòng)，這也正是2022年版課標(biāo)所提倡的。（二）關(guān)于數(shù)量關(guān)系的表達(dá)直至2000年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，數(shù)學(xué)課程都把應(yīng)用題作為一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，因此在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系主要是為了解應(yīng)用題，教學(xué)強(qiáng)調(diào)解題套路，甚至許多素材的選用會(huì)脫離現(xiàn)實(shí)背景。雖然2001年版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿取消了應(yīng)用題的領(lǐng)域，把這樣的內(nèi)容與數(shù)的運(yùn)算整合，但導(dǎo)致內(nèi)容相對(duì)零散，很難體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)特征。比如，用字母表示數(shù)量關(guān)系是算術(shù)拓展為代數(shù)的關(guān)鍵，但相應(yīng)教材“主要是在簡(jiǎn)易方程中用字母表示未知數(shù)，這還停留在古希臘丟番圖的表達(dá)層面，依然是算術(shù)”，基于這樣的教學(xué)，學(xué)生難以感受方程引入的必要性。同時(shí)，相對(duì)零散的內(nèi)容，使學(xué)生很難整體把握估算、探索規(guī)律、比和比例等內(nèi)容，很難感知知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。2022年版課標(biāo)將這些內(nèi)容整合到數(shù)量關(guān)系這個(gè)主題中。所謂數(shù)量關(guān)系，“主要是用符號(hào)（包括數(shù)）或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律”；涉及兩個(gè)對(duì)象數(shù)量之間的關(guān)系，或者一個(gè)對(duì)象在不同時(shí)間數(shù)量之間的關(guān)系，其中的數(shù)量可以是具體的數(shù)值，也可以是符號(hào)表達(dá)的一般的數(shù)量。顯然，這樣的數(shù)量關(guān)系包含用一個(gè)字母表達(dá)未知數(shù)的方程，也包含用兩個(gè)字母表達(dá)的函數(shù)，形成小學(xué)、初中、高中乃至大學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然，每個(gè)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容有所側(cè)重、學(xué)習(xí)目標(biāo)循序漸進(jìn)。這樣的內(nèi)容整合，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的一致性和階段性?；趯W(xué)生的認(rèn)知進(jìn)階，對(duì)于小學(xué)的三個(gè)學(xué)段，可以展現(xiàn)如下的學(xué)習(xí)進(jìn)階。第一學(xué)段，運(yùn)用四則運(yùn)算的意義解決實(shí)際問(wèn)題，感悟加法模型和乘法模型；第二學(xué)段，在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)這樣的關(guān)系，經(jīng)歷建立加法模型和乘法模型的過(guò)程；第三學(xué)段，探索用字母表示數(shù)學(xué)的以及現(xiàn)實(shí)情境中的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感悟字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行計(jì)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性?？傊瑐鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)教材中的利用數(shù)和運(yùn)算解決問(wèn)題、估算、常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系、字母表示數(shù)、探索規(guī)律等內(nèi)容，本質(zhì)上都屬于數(shù)量關(guān)系。因此，“從數(shù)量關(guān)系的視角理解和把握這些內(nèi)容的教學(xué)，有助于從整體上認(rèn)識(shí)這些內(nèi)容的核心概念”。（三）關(guān)于圖形與幾何的表達(dá)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材中，幾何的內(nèi)容大多表述為幾何的初步認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致幾何知識(shí)的表述相對(duì)零散、不能很好地反映學(xué)科本質(zhì)。比如圖形的認(rèn)識(shí)，沒(méi)有體現(xiàn)圖形抽象的過(guò)程，缺乏發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀的素材；圖形測(cè)量的內(nèi)容主要是基于公式的計(jì)算，沒(méi)有體現(xiàn)度量的思想，更沒(méi)有借助度量更加深刻地認(rèn)識(shí)圖形和其他幾何學(xué)的研究對(duì)象。2011年版課標(biāo)將幾何的內(nèi)容整合為四個(gè)主題，2022年版課標(biāo)進(jìn)一步整合為兩個(gè)主題，這兩個(gè)主題是“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”，充分展示了“研究對(duì)象＋”的課程結(jié)構(gòu)。在小學(xué)階段，“圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象”，抽象的過(guò)程就是把日常生活中即三維空間中物體的外部形象，用線條描繪在二