數(shù)字信號(hào)處理考試題A卷含答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下離散時(shí)間信號(hào)中，屬于周期信號(hào)的是（）A.x(n)=cos(0.3πn)B.x(n)=eC.x(n)=nmod5D.x(n)=sin(0.7n)2.已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=0.5nu(n)A.0.5nB.0.5n-2C.0.5nD.0.5n-23.離散時(shí)間信號(hào)x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3）的自相關(guān)函數(shù)rxxA.1×2+2×3+3×4=20B.1×3+2×4=11C.2×1+3×2+4×3=20D.2×3+3×4=184.序列x(n)=anu(n)（|a|<1A.11-az-1B.zz-a，|z|<|a|C.11-az，|z|>1/|a|D.zz-a，|z|>|a|5.若x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）為X(ejω)A.e-j2ωB.ej2ωC.X(eD.X(e6.關(guān)于有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器和無(wú)限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器的描述，錯(cuò)誤的是（）A.FIR濾波器可實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位B.IIR濾波器一般需要反饋結(jié)構(gòu)C.FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)有限長(zhǎng)D.IIR濾波器的設(shè)計(jì)必須基于模擬濾波器7.用矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，若希望減小過(guò)渡帶寬度，應(yīng)（）A.減小窗函數(shù)長(zhǎng)度B.增大窗函數(shù)長(zhǎng)度C.改用旁瓣衰減更大的窗函數(shù)D.調(diào)整理想濾波器的截止頻率8.對(duì)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列進(jìn)行N點(diǎn)DFT，其頻率分辨率為（）A.2πNB.πNC.1ND.2N9.數(shù)字頻率ω與模擬頻率f的關(guān)系為ω=2πfT，其中T是（）A.模擬信號(hào)周期B.采樣間隔C.信號(hào)持續(xù)時(shí)間D.濾波器階數(shù)10.若模擬信號(hào)最高頻率為5kHz，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，最小采樣頻率應(yīng)為（）A.5kHzB.10kHzC.15kHzD.20kHz二、填空題（每題2分，共20分）1.離散時(shí)間系統(tǒng)y(n)=2x(n)+3的線性性為_(kāi)_____（填“線性”或“非線性”）。2.序列x(n)=δ(n-1)+δ(n+1)的DTFT為_(kāi)_____。3.已知X(z)=z(z-0.5)(z-0.8)（|z|>0.8），則其逆Z變換4.長(zhǎng)度為N的序列x(n)與長(zhǎng)度為M的序列h(n)的線性卷積結(jié)果長(zhǎng)度為_(kāi)_____。5.若x(n)是實(shí)偶序列，則其DTFTX(e6.對(duì)序列x(n)進(jìn)行N點(diǎn)DFT，相當(dāng)于對(duì)其DTFT在區(qū)間[0,2π)上進(jìn)行______采樣。7.設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，雙線性變換法可避免______現(xiàn)象（填“混疊”或“頻率模糊”）。8.漢明窗的主瓣寬度約為_(kāi)_____（用N表示窗長(zhǎng)）。9.數(shù)字系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)位于______。10.若x(n)的Z變換收斂域包含單位圓，則其DTFT______（填“存在”或“不存在”）。三、判斷題（每題1分，共10分。正確填“√”，錯(cuò)誤填“×”）1.所有線性系統(tǒng)一定是時(shí)不變系統(tǒng)。（）2.離散時(shí)間周期信號(hào)的周期N必須滿足ω0N=2πk（3.若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓，則系統(tǒng)穩(wěn)定。（）4.FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為N，則其階數(shù)為N-1。（）5.窗函數(shù)的主瓣寬度越窄，濾波器的過(guò)渡帶越寬。（）6.DFT的頻率分辨率僅與采樣點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，與采樣頻率無(wú)關(guān)。（）7.雙線性變換法通過(guò)預(yù)畸變可消除模擬頻率與數(shù)字頻率的非線性映射誤差。（）8.因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足h(n)=0（n<0）。（）9.若模擬信號(hào)最高頻率為fm，則采樣頻率fs需滿足10.系統(tǒng)y(n)=x(n四、計(jì)算題（共40分）1.（10分）已知離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為y(n)=x(n)+0.5x(n-1)0.3y(n-1)。（1）判斷該系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)；（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并畫出其零極點(diǎn)圖；（3）判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（假設(shè)收斂域包含單位圓外區(qū)域）。2.（10分）已知序列x(n)={1,2,3}（n=0,1,2），h(n)={2,1}（n=0,1）。（1）計(jì)算線性卷積y(n)=x(n)*h(n)；（2）計(jì)算5點(diǎn)循環(huán)卷積yc（3）說(shuō)明線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系。3.（10分）已知序列x(n)=anu(n)（1）求其DTFTX(e（2）若對(duì)x(n)進(jìn)行N點(diǎn)DFT，得到X(k)=DFT[x(n)]，推導(dǎo)X(k)的表達(dá)式；（3）分析當(dāng)N增大時(shí)，X(k)對(duì)X(e4.（10分）用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.2π，阻帶截止頻率（1）選擇合適的窗函數(shù)；（2）計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N；（3）寫出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd（4）寫出實(shí)際濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)的表達(dá)式。五、綜合題（10分）某語(yǔ)音信號(hào)的最高頻率為4kHz，現(xiàn)需設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行濾波，要求保留0~3kHz的成分，抑制5kHz以上的成分。已知采樣頻率fs（1）確定模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)的采樣間隔T，并驗(yàn)證是否滿足奈奎斯特采樣定理；（2）將濾波要求轉(zhuǎn)換為數(shù)字頻率指標(biāo)（通帶截止頻率ωp和阻帶截止頻率ω（3）若選擇巴特沃斯IIR濾波器，通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=40dB，求濾波器的最小階數(shù)N（已知Ωp（4）說(shuō)明該數(shù)字濾波器的因果穩(wěn)定性條件。答案及解析一、單項(xiàng)選擇題1.A解析：離散周期信號(hào)需滿足ω0=2πk/N（k,N為整數(shù)）。選項(xiàng)A中ω0=0.3π=2π×3/20，故周期N=20；選項(xiàng)B中ω0=0.6（非2π整數(shù)倍），非周期；選項(xiàng)C為非正弦周期序列，周期為5，但嚴(yán)格來(lái)說(shuō)2.B解析：線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)δ(n-n0)的響應(yīng)為h(n-3.A解析：自相關(guān)函數(shù)rxx(m)=∑nx(n)x(n+m)。m=1時(shí)，n=0,1,24.D解析：x(n)=anu(n)的Z變換為∑5.A解析：時(shí)移性質(zhì)DTFT[x(n-n0)]=e-jω6.D解析：IIR濾波器設(shè)計(jì)可基于模擬濾波器（如巴特沃斯、切比雪夫），也可直接數(shù)字設(shè)計(jì)（如零極點(diǎn)配置），故D錯(cuò)誤。7.B解析：窗函數(shù)長(zhǎng)度N越大，主瓣寬度≈4π/N（矩形窗）越小，過(guò)渡帶越窄。8.A解析：DFT頻率分辨率為Δω=2π/N。9.B解析：ω=2πfT=2π(f/fs)10.B解析：奈奎斯特采樣頻率fs二、填空題1.非線性（因含常數(shù)項(xiàng)3，不滿足齊次性）2.2cosω（DTFT[δ(n-1)+δ(n+1)]=e3.x(n)=10.3(0.8n0.5n4.N+M-1（線性卷積長(zhǎng)度為兩序列長(zhǎng)度之和減1）5.實(shí)偶（實(shí)偶序列的DTFT為實(shí)偶函數(shù)）6.等間隔（DFT是DTFT在ωk7.混疊（雙線性變換通過(guò)預(yù)畸變將模擬頻率壓縮到有限區(qū)間，避免混疊）8.8π/N（漢明窗主瓣寬度約為8π/N）9.單位圓內(nèi)（穩(wěn)定條件為所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)）10.存在（收斂域包含單位圓時(shí)，DTFT絕對(duì)可和，存在）三、判斷題1.×（線性系統(tǒng)不一定時(shí)不變，如y(n)=nx(n)是線性但時(shí)變）2.√（離散周期信號(hào)需滿足x(n+N)=x(n)，即ω03.√（收斂域包含單位圓時(shí)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)存在，穩(wěn)定）4.√（FIR濾波器階數(shù)為N-1，其中N為脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度）5.×（主瓣寬度越窄，過(guò)渡帶越窄）6.×（頻率分辨率Δf=fs/N，與f7.√（預(yù)畸變調(diào)整模擬截止頻率，補(bǔ)償雙線性變換的非線性）8.√（因果系統(tǒng)要求n<0時(shí)h(n)=0）9.√（奈奎斯特采樣定理要求fs10.×（n2可能大于n，如n=-1時(shí)x((-1四、計(jì)算題1.（1）線性時(shí)不變。輸入輸出關(guān)系為線性差分方程，系數(shù)與n無(wú)關(guān)。（2）對(duì)差分方程取Z變換：Y(z)=X(z)+0.5z-1X(z)0.3z-1Y(z)，整理得（3）因果性：極點(diǎn)在有限z平面，收斂域?yàn)閨z|>0.3，包含|z|→∞，故因果。穩(wěn)定性：極點(diǎn)|-0.3|=0.3<1，收斂域包含單位圓，故穩(wěn)定。2.（1）線性卷積：n=0:1×2=2n=1:1×1+2×2=1+4=5n=2:2×1+3×2=2+6=8n=3:3×1=3結(jié)果y(n)={2,5,8,3}（n=0,1,2,3）。（2）5點(diǎn)循環(huán)卷積：將x(n)補(bǔ)零為{1,2,3,0,0}，h(n)補(bǔ)零為{2,1,0,0,0}，循環(huán)移位相乘求和：n=0:1×2+2×0+3×0+0×0+0×1=2n=1:1×1+2×2+3×0+0×0+0×0=1+4=5n=2:1×0+2×1+3×2+0×0+0×0=2+6=8n=3:1×0+2×0+3×1+0×2+0×0=3n=4:1×0+2×0+3×0+0×1+0×2=0結(jié)果yc（3）當(dāng)循環(huán)卷積長(zhǎng)度L≥N+M-1時(shí)，循環(huán)卷積等于線性卷積；本題L=5，N+M-1=4，故循環(huán)卷積前4點(diǎn)與線性卷積相同，第5點(diǎn)為0。3.（1）DTFT：X(ejω)=（2）DFT：X(k)=∑（3）當(dāng)N增大時(shí)，DFT采樣點(diǎn)ωk=2πk/N更密集，X(k)對(duì)X(ejω)的逼近更精確；但由于x(n)4.（1）阻帶衰減要求≥50dB，漢明窗阻帶衰減約53dB，滿足要求，故選擇漢明窗。（2）過(guò)渡帶寬Δω=ωsωp=0.1π。漢明窗主瓣寬度≈8π/N，令8π/N≈Δω=0.1π，得N≈80（3）理想低通濾波器截止頻率ωc=(ωp+ωs（4）實(shí)際濾波器h(n)=hd(n