2026屆天津四中數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或2．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根為滿足則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.3．化簡(jiǎn)=A.sin2+cos2 B.sin2-cos2C.cos2-sin2 D.±(cos2-sin2)4．已知aR且a>b，則下列不等式一定成立的是（）A.> B.>abC.> D.a(a—b)>b(a—b)5．已知，，且，，則的值是A. B.C. D.6．如圖，正方體中，直線與所成角大小為A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象為A.B.C.D.8．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某“塹堵”的三視圖，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）A.48 B.42C.36 D.309．已知集合,則(

)A. B.C. D.10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，則λ＝______12．如圖，矩形是平面圖形斜二測(cè)畫法的直觀圖，且該直觀圖的面積為，則平面圖形的面積為______.13．計(jì)算=_______________14．已知，，則的值為_______.15．已知是球上的點(diǎn)，,，,則球的表面積等于________________16．若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）若，，求的值.18．已知集合為非空數(shù)集，定義，.（1）若集合，直接寫出集合及；（2）若集合，，且，求證；（3）若集，且，求集合中元素的個(gè)數(shù)的最大值.19．已知函數(shù)，其中，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間20．已知二次函數(shù)，關(guān)于x的不等式<0的解集為（1）求實(shí)數(shù)m、n的值；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（3）當(dāng)是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)有最小值-5.若存在，求實(shí)數(shù)a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和茶水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶，用一定溫度的水泡制，再等到茶水溫度降至某一溫度時(shí)，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究員在泡制茶水的過(guò)程中，每隔1min測(cè)量一次茶水溫度，收集到以下數(shù)據(jù)：時(shí)間/min012345水溫/℃85.0079.0073.6068.7464.3660.42設(shè)茶水溫度從85°C開始，經(jīng)過(guò)tmin后溫度為y℃，為了刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①；②（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，說(shuō)明理由，并參考表格中前3組數(shù)據(jù)，求出函數(shù)模型的解析式；（2）若茶水溫度降至55℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，根據(jù)（1）中的函數(shù)模型，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】對(duì)討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解不等式即可得到的取值范圍.【詳解】不等式對(duì)一切恒成立，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，需，即有，解得.綜上可得，的取值范圍為.故選：A.2、D【解析】利用二次方程實(shí)根分布列式可解得.【詳解】設(shè),根據(jù)二次方程實(shí)根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次方程實(shí)根的分布.屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)根式內(nèi)的式子，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及大小關(guān)系，即可化簡(jiǎn)【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得又因?yàn)樗赃xA【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵注意符號(hào)，屬于中檔題4、D【解析】對(duì)于A，B，C舉反例判斷即可，對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】解：對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確，故選：D5、B【解析】由，得，所以，，得，，所以，從而有，.故選：B6、C【解析】連接通過(guò)線線平行將直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角，然后構(gòu)造等邊三角形求出結(jié)果【詳解】連接如圖就是與所成角或其補(bǔ)角，在正方體中，，故直線與所成角為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的大小的求法，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得a，b的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得函數(shù)的圖象.【詳解】解：通過(guò)函數(shù)的圖象可知：，當(dāng)時(shí)，可得，即．函數(shù)是遞增函數(shù)；排除C，D．當(dāng)時(shí)，可得，，，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】由三視圖可知該“塹堵”的高為，其底面是直角邊為，斜邊為的三角形，從而可求出其側(cè)面積.【詳解】解：由三視圖易得該“塹堵”的高為，其底面是直角邊為，斜邊為的三角形，故其側(cè)面積為.故選：C.9、B【解析】直接利用兩個(gè)集合的交集的定義求得M∩N【詳解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，則M∩N={x|-1≤x＜2}，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】依題意將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：故選二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、－2【解析】首先由的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，接下來(lái)由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可得，求解即可得結(jié)果【詳解】∵，∴，∵∥，，∴，解得，故答案為：－212、【解析】由題意可知，該幾何體的直觀圖面積，可通過(guò)，帶入即可求解出該平面圖形的面積.【詳解】解：由題意，直觀圖的面積為，因?yàn)橹庇^圖和原圖面積之間的關(guān)系為，所以原圖形的面積是故答案為：.13、【解析】原式考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值14、－.【解析】將和分別平方計(jì)算可得.【詳解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴,故答案為：－.【點(diǎn)晴】此題考同腳三角函數(shù)基本關(guān)系式應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，所以，又，，所以四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別以SA,AB,BC三邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的外接球的半徑，因?yàn)椋?所以，所以球的表面積點(diǎn)睛：本題考查了球內(nèi)接多面體，球的表面積公式，屬于中檔題．其中根據(jù)已知條件求球的直徑（半徑）是解答本題的關(guān)鍵16、【解析】根據(jù)角的終邊與角的終邊相同,得到,再得到,然后由列式,根據(jù),可得整數(shù)的值,從而可得.【詳解】∵（），∴（）依題意，得（），解得（），∴，∴在內(nèi)與角的終邊相同的角為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了終邊相同的角的表示,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)最小正周期，單調(diào)增區(qū)間為，；(2).【解析】（1）將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，可得周期為；將看作一個(gè)整體代入正弦函數(shù)的增區(qū)間可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由（1）可得，結(jié)合條件得到，進(jìn)而可得，于是，，最后根據(jù)兩角差的正弦公式可得結(jié)果試題解析：（1）∴函數(shù)的最小正周期.由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由（1）得，又，∴，∵，∴，∴，，∴.點(diǎn)睛：（1）解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)通常將所給的函數(shù)化簡(jiǎn)為的形式后，將看作一個(gè)整體，并結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．在解題中要注意整體代換思想的運(yùn)用（2）對(duì)于給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于“變角”，即用已知的角表示所求的角，使其角相同或具有某種關(guān)系18、（1），；（2）證明見解析；（3）1347.【解析】（1）根據(jù)題目定義，直接得到集合A+及A﹣；（2）根據(jù)兩集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的關(guān)系；（3）通過(guò)假設(shè)A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相應(yīng)的A+及A﹣，通過(guò)A+∩A﹣＝?建立不等關(guān)系求出相應(yīng)的值【詳解】（1）根據(jù)題意，由，則，；（2）由于集合，，且，所以中也只包含四個(gè)元素，即，剩下的，所以；（3）設(shè)滿足題意，其中，則，∴，，∴，∵，由容斥原理，中最小的元素為0，最大的元素為，∴，∴，∴，實(shí)際上當(dāng)時(shí)滿足題意，證明如下：設(shè)，則，，依題意有，即，故的最小值為674，于是當(dāng)時(shí)，中元素最多，即時(shí)滿足題意，綜上所述，集合中元素的個(gè)數(shù)的最大值是1347.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)集合中元素的個(gè)數(shù)最多時(shí)，應(yīng)滿足中的最大值小于中的最小值，另外容斥原理的應(yīng)用也是解題的關(guān)鍵.19、（1）條件選擇見解析，；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，.【解析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出.選擇①②：由可求得的值，由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇②③：由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇①③：由可求得的值，由結(jié)合可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式，可得出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】解：.選擇①②：因?yàn)椋?，又因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，所以；選擇②③：因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，則，又因?yàn)椋?，所以；選擇①③：因?yàn)椋?，所以又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以【小?wèn)2詳解】解：依題意，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.20、（1）；（2）答案見解析；（3）存在，.【解析】（1）利用給定條件結(jié)合一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.（2）分類討論求解一元二次不等式即可作答.（3）換元，借助二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值，計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，不等式的解集是，因此，是關(guān)于x的一元二次方程的二根，且，于得，解得，所以實(shí)數(shù)m、n的值是：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）知：，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，不等式化：，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是.【小問(wèn)3詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由（1）知，，，因，則設(shè)，函數(shù)化為：，顯然，于是得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由解得：或（舍去），又，所以存在實(shí)數(shù)滿足條件，.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：解含參數(shù)的一元二次不等式，首先注意二次項(xiàng)系數(shù)