5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一確定的.在必修第一冊(cè)中我們學(xué)過(guò)基本初等函數(shù)，并且知道，很多復(fù)雜的函數(shù)都是通過(guò)對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算得到的.因此自然想到，能否先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的“運(yùn)算法則”，這樣就可以利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).本節(jié)我們就來(lái)研究這些問(wèn)題.1.函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)即

若y=c

(如圖示)表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).也就是說(shuō)任意一個(gè)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.xyy=cO即

若y=x

(如圖示)表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速直線運(yùn)動(dòng).xyy=xO2.函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)即

若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y′=2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.3.函數(shù)y=f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)

y′=2x表示函數(shù)y=x2的圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為2x,說(shuō)明隨著x的變化,切線的斜率也在變化.y′=2x表明:當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越小，y=x2減少得越來(lái)越慢；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，|y′|越來(lái)越大，y=x2增加得越來(lái)越快.xyy=x2O即4.函數(shù)y=f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)y′=3x2表示函數(shù)y=x3的圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為3x2，說(shuō)明隨著x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負(fù)數(shù).xyy=x3O即

xyO即

注意：利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式．有時(shí)還要先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，這樣能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

熟記幾個(gè)特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、冪函數(shù)二、三角函數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解：方法技巧：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的常見(jiàn)類型及解題技巧1.對(duì)于分式中分子、分母為齊次結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可考慮通過(guò)裂項(xiàng)為和差形式.2.對(duì)于根式型函數(shù)，可考慮進(jìn)行有理化變形.3.對(duì)于多個(gè)整式乘積形式的函數(shù)，可考慮展開(kāi)，化為和差形式.4.對(duì)于三角函數(shù)，可考慮恒等變形，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單，從而便于求導(dǎo).

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題的兩種情況1.若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．2.如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解.5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

探究設(shè)f(x)=x2,g(x)=x,計(jì)算[f(x)+g(x)]′與[f(x)-g(x)]′,它們與f'(x)和g'(x)有什么關(guān)系?再取幾組函數(shù)試試,上述關(guān)系仍然成立嗎?由此你能想到什么?一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和

g(x)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，我們有如下法則：例3.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解：

思考設(shè)f(x)=x2,g(x)=x,計(jì)算[f(x)g(x)]′與f′(x)g′(x),它們是否相等?f(x)與g(x)商的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的商呢?事實(shí)上，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和

g(x)的積(或商)的導(dǎo)數(shù)，我們有如下法則：由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出：也就是說(shuō)，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即例4.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解：方法技巧：1.應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可迅速解決一些簡(jiǎn)單的求導(dǎo)問(wèn)題，要理解透徹函數(shù)求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，準(zhǔn)確熟記公式，還要注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律.2.在求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)首先利用代數(shù)恒等變換對(duì)已知函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形，如把乘積的形式展開(kāi)，公式形式變?yōu)楹突虿畹男问?，根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再求導(dǎo)，使求導(dǎo)計(jì)算更加簡(jiǎn)化.鞏固訓(xùn)練.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

現(xiàn)有方法無(wú)法求出它的導(dǎo)數(shù)：1.用定義不能求出極限；2.不是基本初等函數(shù)，沒(méi)有求導(dǎo)公式；3.不是基本初等函數(shù)的和、差、積、商，不能用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解決這個(gè)問(wèn)題.追問(wèn)1：這個(gè)函數(shù)用我們學(xué)過(guò)的方法能不能求出它的導(dǎo)數(shù)?為什么？

復(fù)合函數(shù)例如，函數(shù)y=sin2x是由y=sinu和u=2x復(fù)合而成.思考.以下函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3思考.如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？以函數(shù)

y=sin2x為例，研究其導(dǎo)數(shù).（分兩步進(jìn)行）1.猜想y=sin2x

的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=sinu，u=2x

的導(dǎo)數(shù)有關(guān).

以

y′x

表示

y

對(duì)x

的導(dǎo)數(shù),以

y′u

表示

y對(duì)u

的導(dǎo)數(shù),以u(píng)′x

表示

u

對(duì)x

的導(dǎo)數(shù)可以先得到函數(shù)y=sinu，u=2x的導(dǎo)數(shù)y′u=cosu,u′x

=2

2.可以換個(gè)角度來(lái)求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以發(fā)現(xiàn)，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

例5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解