2024級(jí)高二上學(xué)期1月份階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)1.已知a=(2,-1,3),b=(-4,-2,x),且a⊥b,則x的值為()A.1B.22.雙曲線的漸近線方程為()A.11B.12C.14的長(zhǎng)度的取值范圍為()8.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截口曲線是一個(gè)橢圓，F(xiàn)?,F?為該橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn).若圓柱的底面圓半徑為1,,則下列結(jié)論不正確的是()A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.橢圓的離心率為C.滿足∠F?PF?=90°的點(diǎn)P共有4個(gè)D.|PF|·|PF?|的最大值為8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。C.數(shù)列是等差數(shù)列D.|a|+|a?|+…+|a??|=5010.已知圓C:x2-4x+y2+8y+4=0,則下列結(jié)論正確的是()A.圓C關(guān)于直線y=-2x對(duì)稱B.對(duì)Va∈R,直線ax-y-2a-1=0與圓C都相交C.點(diǎn)P(x,y)為圓C上任意一點(diǎn)，則(x+1)2+y2的最大值為9D.圓C與圓(x+1)2+y2=9的公共弦長(zhǎng)為11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)iF(-√2,0),F?(√2,0)的距離之積C.曲線C的方程為(x2+y2)2=4(x2-y2)D.x?+y2的最大值為4三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分。存在關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B,使得|AF|=|AB|,且BO⊥AF,則C的離心率為_(kāi)問(wèn)題后來(lái)經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個(gè)普遍的解法，提升了“中國(guó)剩剩余問(wèn)題：在正整數(shù)中，把被3除余數(shù)為2,被4除余數(shù)為2的數(shù)，按照由小到大的順序排列，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3),B(2,5),且圓心C在直線x-y+1=0上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過(guò)點(diǎn)P(4,6)與圓C相切的直線方程.17.已知拋物線E:y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2).(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線l:y=kx+m交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，且直線PA與PB傾斜角互補(bǔ)，求k的值.(2)若AMl平面PBC于點(diǎn)M,求平面ACM與平面ACP夾角的余弦值.19.極點(diǎn)與極線是射影幾何學(xué)研究中的重要理論，對(duì)于橢圓C(a>b>0),極點(diǎn)M(x?,y)(不是坐標(biāo)原點(diǎn))對(duì)應(yīng)橢圓C的極線為lM.已知F?,F?為橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C上動(dòng)點(diǎn)，若,則M對(duì)應(yīng)橢圓C的極線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,-√2).(1)求橢圓C的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)橢圓C的極線l交x=±a于A,B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓恒過(guò)F?,F?;(3)若P(xp,yp)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P對(duì)應(yīng)橢圓C的極線lp交橢圓C于Q,R理由.2024級(jí)高二上學(xué)期1月份階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題答案1.【解析】因?yàn)閍⊥b,所以2×(-4)+(-1)×(-2)+3x=0,解得x=2.故選：B當(dāng)a=-3時(shí)，直線l?:-3x+3y-1=0即3x-3y+1=0,與直線l?:3x-3y+1=0重合，舍去，當(dāng)a=3時(shí)，直線l?:3x+3y-1=0所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，則a2025=a?=2.故選：B.6.【解析】由拋物線方程y2=6x得設(shè)B(x?,m),C(x?,m?),由拋物線性質(zhì)，BC與x軸的交點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，所以AB|=6-x?,|BC|=x?+x?+3,|CD|=5-x?,所以AB|+|BCl+|CD|=6-x?+x?+x?+3+5-x?=14,即該光線經(jīng)過(guò)的路程為14,故選C7.【解析】在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC、AA?為x、V、二軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、則.故選：C.8.【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為C,橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角,得故A選項(xiàng)正確；顯然a=2,2b=2,解得b=1,則c=√a2-b2=√3,離心率,故B選項(xiàng)正確；以橢圓的對(duì)稱中心0為圓心，√3為半徑作圓，由b<c,可知與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，所以滿足∠F?PF?=90°的點(diǎn)P共有4個(gè)，故C選項(xiàng)正確；由橢圓定義，可得P|F?|+PF?|=2a=4,,根據(jù)不等式，可得|PF?|+|PF?|≥2√PF|·|PF?|,,所以數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；所以(x+1)2+y2的最大值為81,故C錯(cuò)誤.對(duì)于A,點(diǎn)(-2,0)的坐標(biāo)滿足方程(對(duì)于B,△PF?F?的面積由題意，P為原點(diǎn)也符合題意，,B選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)P點(diǎn)位于F?F?的兩側(cè)且在x軸上時(shí)“=”成立，即x?+y2的最大值為4,所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.13.【解析】解法1:AB⊥x軸，令垂足為D,由雙曲線的對(duì)稱性知|BFAFHAB|,則△ABF是正三角形，整理得即e?-8e2+4=0,解得e2=4+2√3=(√3+1)2,所以C的離心率e=√3+1,故答案為：√3+1解法2:因?yàn)锳B⊥x軸，令垂足為D,由雙曲線的對(duì)稱性知|BF=AF=|AB|,則△ABF是正三角形，又BO⊥AF,FO⊥A因?yàn)椤螦OD=60,取雙曲線的左焦點(diǎn)F',連AF′,由題意知點(diǎn)D為OF′的中點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|AF|-|AF'|=√3c-c=2a,14.【解析】因?yàn)閧xn}={2,5,8,11,可知數(shù)列{xn}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，{yn}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，可得xn=2+3(n-1)=3n-1,yn又因?yàn)閿?shù)列{xn},{yn}的相同的數(shù)組成的數(shù)列為{Zn}={2,14,26,…},可知數(shù)列{zn}是首項(xiàng)為2,公差為12的等差數(shù)列，可得zn=2+12(n-1)=12n-10,則數(shù)列{bn}依次為x?,y2,x?,Y3,x4,x6,y?,x?,y6,xg,…,可得bsn=x4n,所以b?00=xg?=239.故答案為：239.15.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則2d=a?-a?=4,可得d=2,………2分∴a?+a?=2a?+d=2a?+2=10,解得a?=4,則an=a?+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2.6分16.解：(1)設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(v-b)2=r2(r>0),2分17.解：(1)由題意知：4=2p,∴p=2,所以拋物線方程為y2=4x…………4分(2)聯(lián)立方程,得k2x2+(2km-4)x+m2=0,整理得：解得：k=-1…………15分18.解：(1)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，D是AC中點(diǎn)，則BD⊥AC,且PA⊥平面ABC,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸，過(guò)D平行于PA的直線為二軸，建立空間直角坐標(biāo)系，…1分則A(0.-1L.0).B(√3.0.0).C(0.1.0).,D(0.0.,0).P(0.-1可得DB=(√3,0,0),DP=(0,-1,設(shè)平面PBD的法向量為m=(x,y,z),令y=2,則x=0,z=1,可得m=(0,2,1),……5分……7分所以AB與平面PBD所成角的正弦值為……8分(2)由(1)可得：PC=(0,2,-2),BC=(-√3,1,0),AC=(0,2,0),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x?,y,z?),則令x?=1,則y?=Z?=√3,可得n=(1,√3,√3),……11分因?yàn)锳M⊥平面PBC,則直線AM的方向向量可以為n=(1,√3,√3),……12分令x?=√3,則y?=0,z?=-1,可得n?=(√3,0,-1),……14分由題意可知：平面ACP的法向量可以為n?=(1,0,0),……15分所以平面ACM與平面ACP夾角的余弦值為……17分又由極點(diǎn)極線定義可知，點(diǎn)對(duì)應(yīng)橢圓C的極線/極線l過(guò)點(diǎn)(4,-√2),所以……2分解得,所以橢圓C的方程為……4分(2)由(1)知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x?,y)對(duì)應(yīng)橢圓C的極線l