北師大版（新教材）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)培優(yōu)備課課件1.1.1三角形內(nèi)角和定理第一章

三角形的證明及其應(yīng)用授課教師：.

班

級(jí)：.

時(shí)

間：.

知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角和定理已知：如圖，△ABC。求證：∠A+∠B+∠C=180°。ABC你學(xué)過(guò)哪些與180°有關(guān)的結(jié)論？平角為180°兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)曾經(jīng)的撕角拼圖活動(dòng)對(duì)你有什么啟發(fā)？分析：改變角的位置構(gòu)造平角延長(zhǎng)BC至D，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CE，使CE//

BA這里的CD，CE稱(chēng)為輔助線(xiàn)，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn)。ED已知：如圖，△ABC。求證：∠A+∠B+∠C=180°。ABCED12證明：如圖，延長(zhǎng)BC至D，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CE，使CE//

BA，則∠1=∠A，∠2=∠B?！唿c(diǎn)B，C，D在同一條直線(xiàn)上，∴∠1+∠2+∠ACB=180°。∴∠A+∠B+∠ACB=180°。證法一三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。ABC幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。1．如圖，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝60°，則∠C的度數(shù)為(

)A．65° B．75°C．85° D．95°C返回2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數(shù)為(

)A．50° B．60°C．70° D．80°C返回思考·交流ABC（1）如圖，在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，小明的想法是把三個(gè)內(nèi)角“湊”到點(diǎn)A處，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)PQ，使PQ

//

BC，他的想法可行嗎？如果可行，你能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？PQ12證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)PQ，使PQ//

BC，則∠1=∠B，∠2=∠C。∵點(diǎn)P，A，Q在同一條直線(xiàn)上，∴∠BAC+∠1+∠2=180°?！唷螧AC+∠B+∠C=180°。證法二思考·交流ABC（2）對(duì)于三角形內(nèi)角和定理，你還有其他證明方法嗎？與同伴進(jìn)行交流。123DEF證法三證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE//

AC交AB于點(diǎn)E，DF//

AB交AC于點(diǎn)F，則∠1=∠C，∠3=∠B，∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°?！唷螦=∠2?！唿c(diǎn)B，D，C在同一條直線(xiàn)上，∴∠1+∠2+∠3=180°。∴∠A+∠B+∠C=180°。除了在三角形頂點(diǎn)或邊上構(gòu)造平角外，還可以在三角形內(nèi)部或外部構(gòu)造平角。思考：除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？?jī)芍本€(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)3．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，則∠BAE的度數(shù)是________。40°返回4．下面是小彬的數(shù)學(xué)課堂筆記，請(qǐng)閱讀操作方法，補(bǔ)全證明過(guò)程。如圖①，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為∠1，∠2，∠3。將∠2和∠3撕下，按圖②的方式擺拼，使∠2和∠3的頂點(diǎn)均與∠1的頂點(diǎn)重合，∠2的一邊與AB重合，∠3的一邊與AC重合。討論：如何構(gòu)造平行線(xiàn)得到同旁?xún)?nèi)角呢？ABCABC根據(jù)給出的輔助線(xiàn)提示，請(qǐng)同學(xué)們課后完成這兩種證明方法。lDEFABCEDABClABCDEFABClABCDEF思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和定理的核心是什么？轉(zhuǎn)化思想添加輔助線(xiàn)（平行線(xiàn)）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角轉(zhuǎn)化為平角或同旁?xún)?nèi)角證明：由操作可知∠B＝∠2，∴AD∥BC(________________________)。同理，∠C＝∠3，∴________∥________?！呓?jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行，∴點(diǎn)D，A，E在同一條直線(xiàn)上，∴∠DAE＝________°，即∠1＋________＋________＝________。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行返回AEBC180∠2∠3180°5．(8分)[教材P44“復(fù)習(xí)題”第1題變式]如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°。

例1

如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求∠ADB的度數(shù)。ACBD解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理)。∵∠B=38°，∠C=62°，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=

∠BAC=

×80°=40°。在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理)。∵∠B=38°，∠BAD=40°，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°。嘗試·思考我們已經(jīng)探索過(guò)“兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)結(jié)論，你能用有關(guān)的基本事實(shí)和已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的定理證明它嗎？ABCDEF已知：如圖，∠A

=∠D，∠B

=∠E，BC

=

EF。求證：△ABC≌△DEF。證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－（∠D+∠E）。∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F?！摺螧=∠E，BC=EF，∠C=∠F。∴△ABC≌△DEF（ASA）。ABCDEF知識(shí)點(diǎn)2全等三角形的性質(zhì)與判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）ABCDEF根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。(1)求∠C的度數(shù)；(2)若∠BDE＝30°，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，求∠BDC的度數(shù)。解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－70°－50°＝60°?！逥E∥BC，∠BDE＝30°，∴∠CBD＝∠BDE＝30°。又∵∠C＝60°，∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－30°－60°＝90°。返回6．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且OA＝OB，添加下列選項(xiàng)中的一個(gè)條件，不能判定△AOC≌△BOD的是(

)A．OC＝OD

B．∠A＝∠BC．AC＝BD

D．AC∥BDC返回7．如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，∠A＝∠ECF，若AB＝4，CF＝3，則BD的長(zhǎng)為(

)A．0.5B．1C．1.5D．2B返回8．如圖，∠POQ＝70°，直線(xiàn)l與OP，OQ都相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O)，隨著直線(xiàn)l位置的改變，α，β的度數(shù)之和(

)A．始終等于70°B．始終等于100°C．始終等于110°D．隨著直線(xiàn)l位置的改變而改變C返回9．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A在△CDE的邊DE上，若AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，則DE等于(

)A．BC

B．AB

C．DC

D．AE＋ACB返回10．[西安交大附中期末]如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠A＝50°，將△ACD沿直線(xiàn)CD翻折后，點(diǎn)A落在A′處，那么當(dāng)∠ACD＝________°時(shí)，A′D∥CA。

65返回11．(8分)[教材P8“習(xí)題1.1”第8題變式]如圖，AD是△ABC的高，△ABC的兩條角平分線(xiàn)AE，BF相交于點(diǎn)O，∠BAC＝60°，∠C＝70°。(1)求∠EAD的度數(shù)；

(2)求∠BOA的度數(shù)。返回12．(12分)[西安鐵一中期末]如圖①，要度量作業(yè)紙上兩條相交直線(xiàn)a，b所夾銳角α的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無(wú)法直接度量。

(1)小明的方案：畫(huà)直線(xiàn)c與直線(xiàn)a，b相交，如圖①，測(cè)得∠1＝m°，∠2＝n°，則α＝____________(用含m，n的代數(shù)式表示)；(180－m－n)°(2)小剛的方案：畫(huà)直線(xiàn)c與直線(xiàn)a，b相交，交點(diǎn)為B，C，作出∠ABC，∠DCB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，如圖②。若測(cè)得∠BOC＝p°，則α等于多少？(用含p的代數(shù)式表示)解：∵∠ABC，∠DCB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠ABC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB?！摺螼BC＋∠OCB＝(180－p)°，∴∠ABC＋∠DCB＝(360－2p)°，∴α＝180°－(∠ABC＋∠DCB)＝180°－(360°－2p°)＝(2p－180)°。(3)你還有什么方法？請(qǐng)?jiān)趫D③中補(bǔ)全(作圖工具不限)，并寫(xiě)出必要的文字