三角形的證明及其應用第2節(jié)等腰三角形第2課時等腰三角形的判定定理學習目標

1.經歷“猜想→驗證→證明”的幾何探究過程,理解“等角對等邊”判定定理的內涵，能獨立完成該定理的邏輯證明，熟練運用定理判定等腰三角形.2.通過對等腰三角形的判定方法的學習總結,能根據具體題目選擇合適的判定方法,提升分析問題、解決問題的能力,發(fā)展幾何推理能力.教學設計的基本環(huán)節(jié)協(xié)作破冰問題構建情境啟航教師示范鞏固拓展當堂檢測反思總結作業(yè)設計情境啟航

問題1：我們上節(jié)課學習了等腰三角形的性質，誰能說一下等腰三角形有什么性質？問題2：你是如何證明“等邊對等角”這個性質的？“等邊對等角”“三線合一”構造全等三角形的方法邊相等角相等問題:要想判定一個三角形是否是等腰三角形，我們可能有哪些方法？具體是怎樣操作的？問題構建

猜想:有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？請同學們借助工具畫一畫,班級分成3個小組，左邊小組畫銳角三角形，中間小組畫直角三角形，右邊小組畫鈍角三角形，保證有兩個角相等，然后度量三角形的邊，看看有沒有相等的邊存在？AB=AC=3.8cmDE=DF=4.1cmGH=GI=6.0cm問題構建

問題3:通過畫圖的結果來看，你有什么發(fā)現(xiàn)?這個發(fā)現(xiàn)可以驗證猜想嗎？如果不能，你準備怎么驗證猜想？畫圖的結果顯示：有兩個角相等的三角形都是等腰三角形.可以驗證猜想是正確的，但是只有通過嚴密的推理證明才能確認猜想是正確的結論.問題4:根據上節(jié)課學習等腰三角形性質的經驗，我們要解決的問題本質是什么？角相等邊相等構造全等三角形問題構建

在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC.

追問:你還有別的證明方法嗎？問題構建

在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC.

問題構建

問題5:上述證明方法雖然不同,但解決問題的本質是一樣的,你能說一說嗎？作輔助線→構造兩個三角形→證明兩個三角形全等→根據全等三角形對應邊相等→回歸定義證明.定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊追問:回憶平行線的性質與判定，等腰三角形的性質和判定之間有怎樣的關系？等角對等邊等角對等邊互逆定理構造全等協(xié)作破冰問題6:上節(jié)課學習了等腰三角形“三線合一”性質,這條性質是怎樣的描述的？如圖,在△ABC中,若AB=AC,①AD為BC邊上的中線②AD⊥BC③AD平分∠BAC追問:這個性質是從“等腰”推導出“三線合一”.反過來,如果一個三角形中,一條線段同時滿足“三線”中的兩條,可以分成幾類情況研究？滿足①②；滿足②③；滿足①③協(xié)作破冰問題7:在△ABC中,線段AD是BC邊上的中線,同時也是BC邊上的高.你能猜想△ABC是什么三角形嗎？AD平分BC,且AD⊥BC.此時AD所在直線是線段BC的垂直平分線,根據線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等,可以直接得出AB=AC,判定△ABC是等腰三角形.追問1：在△ABC中,線段AD是∠BAC的角平分線,同時也是BC邊上的高.你能猜想△ABC是什么三角形嗎？根據條件可以判定兩個三角形全等，從而得出△ABC是等腰三角形.你能寫出詳細的證明過程嗎？協(xié)作破冰在△ABC中,線段AD是∠BAC的角平分線,同時也是BC邊上的高.求證：△ABC是等腰三角形.

協(xié)作破冰在△ABC中,線段AD是∠BAC的角平分線,同時也是BC邊上的中線.求證：△ABC是等腰三角形.

輔助線作法：倍長中線教師示范判定方法核心條件適用場景備注定義法三角形有兩條邊相等已知邊相等的條件，或通過計算/全等得到邊相等時最直接的判定,是等腰三角形的本質定義等角對等邊三角形有兩個角相等已知角相等的條件,或通過平行線、全等得到角相等時核心判定定理,使用頻率最高“三線合一”逆用一條線段同時滿足“中線、高、角平分線”中的任意兩個題目中出現(xiàn)中線、高、角平分線的組合條件時需證明線段滿足兩個條件,本質是通過全等推導邊相等全等三角形推導法通過全等得到對應邊相等題目中存在全等三角形的條件,或可構造全等時間接判定,需先證明全等,再結合定義或等角對等邊問題8:目前關于等腰三角形的判定方法，你有哪些思路方法？它們有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系.教師示范例1已知：如圖,AB=DC,BD=CA，BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵

AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴

△ABD?△DCA(SSS)∴

∠ADB=∠DAC（全等三角形的對應角相等）∴

AE=DE（等角對等邊）∴

△AED是等腰三角形鞏固拓展如圖,三角形ABC是等腰三角形,∠B=36°,嘗試解決下面的相關問題：(1)∠A等于多少度，你是怎樣計算的？∠A=∠C=(180°-36°)÷2=72°（2）若作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D，請找出圖中所有的等腰三角形，并說明理由.等腰三角形有三個：△ABD、△ACD、△ABC理由：借助內角和計算后，借助有兩個角相等的三角形是等腰三角形.鞏固拓展

序號……等腰三角形個數13572k+1當堂檢測

B

當堂檢測

當堂檢測

當堂檢測

反思總結1.證明“等角對等邊”時,你嘗試了哪些構造全等三角形的方法？不同方法背后體現(xiàn)了怎樣的數學靈活性？2.對比“等邊對等角”和“等角對等邊”,它們在條件與結論上是什么關系？這種“互逆”在你的數學學習中還有哪些類似案例？3.若三角形中