2.1系統(tǒng)的微分方程

2.1.1系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程的建立微分方程是描述自動(dòng)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的最基本方法。一個(gè)完整的控制系統(tǒng)通常是由若元器件或環(huán)節(jié)以一定方式連接而成的，系統(tǒng)可以是由一個(gè)環(huán)節(jié)組成的小系統(tǒng)，也可以是由多個(gè)環(huán)節(jié)組成的大系統(tǒng)。對(duì)系統(tǒng)中每個(gè)具體的元器件或環(huán)節(jié)按照其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以比較容易地列出其微分方程，將這些微分方程聯(lián)立起來(lái)，可以求出整個(gè)系統(tǒng)的分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟是：下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程（１）根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)或各元器件的輸入變量和輸出變量。（２）從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞的順序和各元器件所遵循的規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程。（３）消去中間變量，得到系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。一般情況下，將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的左端，與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的右端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。在列寫每一個(gè)元件的微分方程式時(shí)，必須注意它與相鄰元件間的相互影響。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程2.1.2線性定常微分方程的求解建立數(shù)學(xué)模型的目的之一是用數(shù)學(xué)方法定量地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來(lái)后，只要給定輸入量的初始條件，便可對(duì)微分方程求解。工程中，采用拉氏變換法求解微分方程?，F(xiàn)在先簡(jiǎn)單介紹一下拉氏變換。１．拉式變換【定義】已知時(shí)域函數(shù)ｆ（ｔ），如果滿足相應(yīng)的收斂條件，可以定義其拉氏變換為式中，上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程ｆ（ｔ）為變換原函數(shù)；Ｆ（ｓ）為變換象函數(shù)，是復(fù)變量ｓ的函數(shù)，ｓ＝σ＋ｊω。拉氏變換有其逆運(yùn)算，拉氏反變換為２．微分方程的求解步驟用拉式變換求解線性微分方程時(shí)，應(yīng)采用下列步驟：（１）考慮初始條件，對(duì)微分方程的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉式變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量ｓ的代數(shù)方程。（２）解代數(shù)方程，得到輸出量有關(guān)變量ｓ的拉式變換函數(shù)表達(dá)式。（３）對(duì)輸出量拉氏變換表達(dá)式求拉式反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程３．非線性微分方程的線性化具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法，即在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階及三階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替。單變量的非線性函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０處連續(xù)可微，則可將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有式中，Ｋ為比例系數(shù)，是函數(shù)在ｘ０點(diǎn)切線的斜率。兩個(gè)變量的非線性函數(shù)，同樣可在某工作點(diǎn)（ｘ１０，ｘ２０）附近用泰勒級(jí)數(shù)展開為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.1系統(tǒng)的微分方程略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，在附近，偏差一般不會(huì)很平衡點(diǎn)大，都是“小偏差點(diǎn)”。上一頁(yè)返回2.2傳遞函數(shù)2.2.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)是用拉氏變換求解線性微分方程的基礎(chǔ)上得到的一個(gè)重要概念。【定義】線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述ｎ階線性常微分方程描述：上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

式中，ｘｏ（ｔ）為系統(tǒng)輸出量；ｘｉ（ｔ）為系統(tǒng)輸入量；ａｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ）、ｂｊ（ｊ＝０，１，…，ｍ）為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)ｘｏ（ｔ）和ｘｉ（ｔ）及其各階導(dǎo)數(shù)在ｔ＝０時(shí)的值均為零，即在零值初始條件下對(duì)上式左右兩邊求拉氏變換，并令可得ｓ的代數(shù)方程為上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

于是，由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為則輸入量Ｘｉ（ｓ）經(jīng)傳遞函數(shù)Ｇ（ｓ）的傳遞后，得到了輸出量Ｘｏ（ｓ），這一關(guān)系可以用圖２－３的框圖直觀地表示，框內(nèi)是傳遞函數(shù)，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

【性質(zhì)】傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：（１）傳遞函數(shù)是將線性定常系統(tǒng)的微分方程做拉氏變換后得到的，因此，傳遞函數(shù)的概念只能用于線性定常系統(tǒng)。（２）傳遞函數(shù)是復(fù)變量ｓ的有理分式，它的分母多項(xiàng)式ｓ的最高階次ｎ總要大于或等于其分子多項(xiàng)式ｓ的最高階次ｍ，即ｎ≥ｍ。這是因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)（或元件）總有慣性存在以及能源有限所致。（３）傳遞函數(shù)是物理系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)描述形式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量無(wú)關(guān)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

（４）服從不同物理規(guī)律的系統(tǒng)可以有同樣的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用形式相同的微分方程描述一樣，故它不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。（５）傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性，而不能表征系統(tǒng)內(nèi)部所有狀況的特性。2.2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)控制是由若干元部件或環(huán)節(jié)組成的，那么一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總可以分解為為數(shù)不多的典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。逐個(gè)研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的特性，就不難進(jìn)一步綜合研究整個(gè)系統(tǒng)的特性。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

常用的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)。１．比例環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化。它的運(yùn)動(dòng)方程和傳遞函數(shù)分別為式中，ｘｏ（ｔ）是環(huán)節(jié)的輸出量；ｘｉ（ｔ）是環(huán)節(jié)的輸入量；Ｋ為常數(shù)，稱放大系數(shù)或增益。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

電子放大器、齒輪減速器、杠桿機(jī)構(gòu)等均屬于這種模型。電位器輸出電壓與角度偏轉(zhuǎn)可近似地視為比例環(huán)節(jié)，如圖２－４所示。式中，Ｋ１是單個(gè)電位器的傳遞系統(tǒng)；Δθ（ｔ）＝θ１（ｔ）－θ２（ｔ）是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱誤差角。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

２．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量延緩地反應(yīng)輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程和傳遞函數(shù)分別為式中，Ｔ是慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。ＲＣ網(wǎng)絡(luò)就是慣性環(huán)節(jié)的例子。３．積分環(huán)節(jié)上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，其微分方程和傳遞函數(shù)分別為式中，Ｔ是積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。４．微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，其微分方程和傳遞函數(shù)分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

式中，Ｔ是微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。若輸入為單位階躍函數(shù)，則在ｔ＝０＋時(shí)，它的輸出應(yīng)是一面積（強(qiáng)度）為Ｔ、寬度為零、幅值為無(wú)窮大的理想脈沖。顯然，這在實(shí)踐中是不能實(shí)現(xiàn)的。如圖２－５所示的ＲＣ電路，其輸入與輸出間的傳遞函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.2傳遞函數(shù)

式中，Ｔ＝ＲＣ。由上式可知，該電路不是一個(gè)理想的微分環(huán)節(jié)，而相當(dāng)于一個(gè)微分環(huán)節(jié)與一個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合，具有這種形式傳遞函數(shù)的環(huán)節(jié)，稱為實(shí)用微分環(huán)節(jié)。實(shí)際上，微分環(huán)節(jié)總是含有慣性的，純微分環(huán)節(jié)只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)。顯然，當(dāng)這個(gè)電路的Ｔ＝ＲＣ?１時(shí)，就可近似為５．振蕩環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，如輸入為一階躍信號(hào)，則其輸出卻呈周期性振蕩形式。它的微分方程和傳遞函數(shù)分別為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2傳遞函數(shù)式中，Ｔ為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；ζ為阻尼比；ωｎ＝１／Ｔ，為振蕩環(huán)節(jié)的自然振蕩角頻率。常見(jiàn)的振蕩環(huán)節(jié)有例２－１的ＲＬＣ串聯(lián)電路。振蕩強(qiáng)度與阻尼比ζ有關(guān)，ζ值越小，振蕩越強(qiáng)；當(dāng)ζ＝０時(shí)，輸出量為等幅振蕩曲線，振蕩的頻率為自然振蕩頻率ωｎ，ζ值越大則振蕩越??；當(dāng)ζ≥１時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量則為單調(diào)上升曲線；當(dāng)０＜ζ＜１時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線具有衰減振蕩特性。上一頁(yè)返回2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.3.1繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟（１）寫出系統(tǒng)中每一個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程。在列寫每一個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，必須考慮相互連接部件間的負(fù)載效應(yīng)。（２）根據(jù)部件的運(yùn)動(dòng)方程式，寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。一個(gè)部件用一個(gè)方框單元表示，在方框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)。圖２－３表示的是一個(gè)部件的方框單元，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，方框的左側(cè)為輸入量，右側(cè)為其輸出量。輸出量等于輸入量乘以傳遞函數(shù)。圖２－６ＲＣ網(wǎng)絡(luò)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

（３）根據(jù)信號(hào)的傳遞方向，將各方框單元依次連接起來(lái)，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)框圖的最左端，輸出量置于最右端，這樣便繪得系統(tǒng)的框圖。2.3.2框圖的等效變換求出系統(tǒng)的框圖以后，為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的研究和計(jì)算，需將復(fù)雜的框圖通過(guò)等效變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。等效變換有必須遵守的原則，即變換前、后系統(tǒng)輸入量、輸出量之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)的框圖主要都是由相應(yīng)環(huán)節(jié)的方框經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接而成的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

１．串聯(lián)連接在控制系統(tǒng)中，幾個(gè)環(huán)節(jié)按照信號(hào)傳遞方向串聯(lián)在一起，這種連接方式稱為串聯(lián)連接，如圖２－８（ａ）所示。兩環(huán)節(jié)之間沒(méi)有負(fù)載效應(yīng)時(shí)，可以等效成一個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。由圖２－８（ａ）有用代入法消去中間變量Ｕ１（ｓ），得上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

式（２－１８）是串聯(lián)框的等效傳遞函數(shù)，可用圖２－８（ｂ）表示。表明兩個(gè)傳遞函數(shù)串聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。２．并聯(lián)連接兩個(gè)或多個(gè)框的輸入量相同，總的輸出信號(hào)等于各框輸出信號(hào)的代數(shù)和，這種連接方式稱為并聯(lián)連接，如圖２－９（ａ）所示。由圖２－９（ａ）可知上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

消去Ｘ１（ｓ）和Ｘ２（ｓ）得式（２－１９）是并聯(lián)框的等效傳遞函數(shù)，可用圖２－９（ｂ）表示。并聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。３．負(fù)反饋連接輸出Ｃ（ｓ）經(jīng)過(guò)一個(gè)反饋環(huán)節(jié)Ｈ（ｓ）與輸入Ｒ（ｓ）相減再作用到Ｇ（ｓ）環(huán)節(jié)，這種連接方式叫負(fù)反饋連接，如圖2-10（ａ）所示。圖中Ｇ（ｓ）為前項(xiàng)通路的傳遞函數(shù)，Ｈ（ｓ）為反饋通路的傳遞函數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

按圖２－１０（ａ）中所示的信號(hào)傳遞關(guān)系，可寫出消去中間變量Ｅ（ｓ）、Ｂ（ｓ），可得式中，Ｇ（ｓ）Ｈ（ｓ）稱為開環(huán)傳遞函數(shù)；Φ（ｓ）稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，可用圖２－１０（ｂ）表示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

若反饋通路Ｈ（ｓ）＝１，稱為單位反饋系統(tǒng)，這在理論分析中經(jīng)常用到。由于反饋系數(shù)等于１，故其框圖可簡(jiǎn)化為圖２－１１所示形式。其等效傳遞函數(shù)為其等效傳遞函數(shù)為表２－１匯集了框圖等效變換的法則，應(yīng)用這些基本的法則，就能夠?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的框圖簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單形式。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.3.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)在工作過(guò)程中會(huì)受到兩類信號(hào)的作用，常稱外作用信號(hào)。一類是給定輸入量Ｒ（ｓ），一類是擾動(dòng)輸入量或稱干擾Ｎ（ｓ）。通常給定輸入量加在控制裝置的輸入端，也就是系統(tǒng)的輸入端。而干擾一般作用在受控對(duì)象上，但也可能出現(xiàn)在其他元部件中。一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖２－１４表示。研究系統(tǒng)輸出的變化規(guī)律只考慮給定信號(hào)作用是不完全的，往往還需要考慮干擾的影響。基于后面對(duì)系統(tǒng)分析的需要，下面介紹幾個(gè)系統(tǒng)常用傳遞函數(shù)的命名和求法。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)１．開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸出量Ｃ（ｓ）與作用偏差信號(hào)Ｅ（ｓ）之比，稱為前向通道傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)反饋信號(hào)與輸出量之比，稱為反饋通道傳遞函數(shù)，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

系統(tǒng)反饋信號(hào)Ｂ（ｓ）與誤差信號(hào)Ｅ（ｓ）的比值，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，即開環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：系統(tǒng)的封閉回路在加減點(diǎn)斷開以后，以Ｅ（ｓ）作為輸入，經(jīng)Ｇ（ｓ）、Ｈ（ｓ）而產(chǎn)生輸出Ｂ（ｓ），此輸出與輸入的比值Ｂ（ｓ）／Ｅ（ｓ）可認(rèn)為是一個(gè)無(wú)反饋的開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于Ｂ（ｓ）與Ｅ（ｓ）在加減點(diǎn)的量綱相同，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)量綱為１。２．參考輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

令Ｎ（ｓ）＝０，這時(shí)圖２－１４就變成圖２－１５。閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之比，稱為在參考輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為如果Ｈ（ｓ）＝１，則稱圖２－１５所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回式中３．?dāng)_動(dòng)Ｎ（ｓ）作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為了求取擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，同樣需要令Ｒ（ｓ）＝０，于是，圖２－１４所示的框圖可簡(jiǎn)化為圖２－１６所示。擾動(dòng)作用引起的系統(tǒng)輸出ＣＮ（ｓ）與Ｎ（ｓ）的比值，稱為擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

由擾動(dòng)引起的輸出為當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到Ｒ（ｓ）和Ｎ（ｓ）作用時(shí)，由疊加原理，系統(tǒng)總的輸出為它們單獨(dú)作用于系統(tǒng)所引起的輸出之和，即由式（２－２５）與式（２－２７）相加，求得系統(tǒng)總的輸出為上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.3框圖和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

顯然，此時(shí)通過(guò)反饋回路組成的閉環(huán)系統(tǒng)能使輸出Ｃ（ｓ）只跟隨Ｒ（ｓ）變化。如果沒(méi)有反饋回路，即Ｈ（ｓ）＝０，則系統(tǒng)成為一開環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)干擾引起的輸出無(wú)法被消除，全部形成誤差。上一頁(yè)返回2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型目前ＭＡＴＬＡＢ軟件已經(jīng)成為控制領(lǐng)域最流行的設(shè)計(jì)與計(jì)算工具之一。ＭＡＴＬＡＢ是ＭａｔｒｉｘＬａｂｏｒａｔｏｒｙ的縮寫，它是一種基于矩陣數(shù)學(xué)和工程計(jì)算的系統(tǒng)，用于分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的軟件。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的第一步是建立系統(tǒng)模型。一個(gè)確定的線性系統(tǒng)的信號(hào)和傳遞函數(shù)的模型可以用幾種不同的數(shù)學(xué)形式來(lái)表述，其中之一是對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用拉普拉斯變換得到其以ｓ多項(xiàng)式之比來(lái)表示的傳遞函數(shù)；另一種方法是用其傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益來(lái)描述系統(tǒng)。在這里，我們將介紹如何使用這兩種方法實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)單的子系統(tǒng)模型，即系統(tǒng)方框圖中的單個(gè)方框?？紤]一個(gè)輸入為ｕ（ｔ）、輸出為ｙ（ｔ）的單輸入／單輸出線性定常系統(tǒng)，其微分方程為下一頁(yè)返回

2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型

在零初始條件下對(duì)式（２－２９）兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得到從輸入Ｕ（ｓ）到輸出Ｙ（ｓ）的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為在零初始條件下對(duì)式（２－２９）兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得到從輸入Ｕ（ｓ）到輸出Ｙ（ｓ）的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為此外，這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還能用其零點(diǎn)ｚｉ、極點(diǎn)ｐｊ和增益Ｋ，即ＺＰＫ形式表示上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型

上式表明Ｇ（ｓ）在處有一個(gè)單零點(diǎn)，在ｓ＝－１和－５處有兩個(gè)極點(diǎn)且增益為４。如果知道了Ｇ（ｓ）的分子分母多項(xiàng)式，我們就能夠以如下的兩種方式在ＭＡＴＬＡＢ中將模型表示為一個(gè)傳遞函數(shù)（ＴＦ）形式的線性時(shí)不變（ＬＴＩ）對(duì)象：（１）創(chuàng)建兩個(gè)行向量，按降階順序分別包含分子和分母多項(xiàng)式中ｓ各次冪的系數(shù)；（２）使用ｔｆ命令建立ＴＦ對(duì)象。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型

對(duì)式（２－３０）中的傳遞函數(shù)，我們可輸入ｎｕｍＧ＝［４３］和ｄｅｎＧ＝［１６５］來(lái)定義多項(xiàng)式，然后通過(guò)Ｇ１＝ｔｆ（ｎｕｍＧ，ｄｅｎＧ）來(lái)建立ＬＴＩ對(duì)象。如果無(wú)須在ＭＡＴＬＡＢ工作空間中建立分子分母多項(xiàng)式，則使用一個(gè)命令Ｇ１＝

tｆ（［４３］，［１６５］）即可建立ＴＦ對(duì)象。如果傳遞函數(shù)以零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益形式表示，我們可以按照以下步驟將模型創(chuàng)建為一個(gè)ＺＰＫ形式的ＬＴＩ對(duì)象：（１）輸入零點(diǎn)和極點(diǎn)列向量及標(biāo)量形式的增益；（２）使用ＺＰＫ命令建立ＺＰＫ對(duì)象。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型要建立式（２－３１）所描述的系統(tǒng)，我們可輸入命令ｚＧ＝－０７５，ｐＧ＝［－１；－５］，ｋＧ＝４，Ｇ２＝ｚｐｋ（ｚＧ，ｐＧ，ｋＧ）。或者，我們也可以只用一個(gè)命令Ｇ２＝ｚｐｋ（－０７５，［－１；－５］，４）來(lái)實(shí)現(xiàn)上述功能。當(dāng)在ＭＡＴＬＡＢ中用這些形式中的任一種對(duì)模型進(jìn)行描述后，可使用控制系統(tǒng)工具箱將一種形式變換到另一種形式。例如，若系統(tǒng)模型已經(jīng)使用其分子分母多項(xiàng)式的ＴＦ形式創(chuàng)建為Ｇｔｆ，我們可輸入Ｇｚｐｋ＝ｚｐｋ（Ｇｔｆ），將其變換為ＺＰＫ形式的模型。上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.4用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型要確定Ｇ（ｓ）的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。我們可輸入［ｚｚ，ｐｐ，ｋｋ］＝ｚｐｋｄａｔａ（Ｗｚｐｋ，ｖ）。類似地，我們可建立ＺＰＫ