專題10立體幾何中的外接（內(nèi)切）球中的八大解題模型

內(nèi)容導航

熱點聚焦方法精講能力突破

熱點聚焦·析考情

鎖定熱點，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。

題型引領·講方法

系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應高頻熱點題型的解題策略與實戰(zhàn)方法技巧。

能力突破·限時練

實戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點經(jīng)典題目，限時訓練，實現(xiàn)解題速度與準確率雙重躍升。

近三年：空間幾何體的外接球和內(nèi)切球是近3年的高考命題熱點，常以選填為主，但也會考察解答題，常

考查內(nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點是考察外接球和內(nèi)切球表面積體積問題．

預測2026年：空間幾何體的外接球和內(nèi)切球會考一道中檔選填試題，重點考察外接求問題

熱點題型：

題型01正四面體的外接球和內(nèi)切球題型02正棱錐，圓錐的外接球問題

題型03正棱臺圓臺的外接球題型04四面體對棱相等的外接球

題型05直棱柱外接球模型題型06三棱錐外接球墻角模型

題型07等體積法解決內(nèi)切球題型08常見正多面體的外接球

題型01正四面體的外接球和內(nèi)切球

解｜題｜策｜略

四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等.

66

假設正四面體棱長為a,其外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則Ra，ra.

412

【精選例題】

【例1】一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（）

A．6B．2C．3D．22

【詳解】如圖，四面體BDMN是正四面體，棱長BD2，將其補形成正方體GBCDMENF，

2

則正方體GBCDMENF的棱長GBBD2，此正方體的體對角線長為6，

2

6

正四面體BDMN與正方體GBCDMENF有相同的外接球，則正四面體BDMN的外接球半徑R，所以

2

446

正四面體BDMN的外接球體積為VR3()36．故選：A

332

3

【例2】已知正四面體PABC的外接球的體積為π，則該正四面體的棱長為（）

2

A．1B．3C．2D．6

4π33

【答案】C【詳解】設外接球半徑為R，則VR3π，解得R，將正四面體

322

放入正方體中，設正方體邊長為a，如圖所示：則3a2R3，a1，正四面體的棱

長為2a2.故選：C.

【變式訓練】

1．已知體積為36的球O與正四面體P1A1B1C1的四個面均相切，且與正四面體P2A2B2C2的六條棱均相

切，則正四面體P1A1B1C1與P2A2B2C2的表面積的比值為（）

A．6B．23C．3D．3

4

【答案】D【詳解】設球O的半徑為R，因為球O的體積為36，所以R336，得R3．設正四面體

3

2

PABC的棱長為，則該正四面體的高2236，所以該正四面體

1111ahaaa

323

的體積1132623，又

VShaaa

P1A1B1C13A1B1C134312

11322，所以232，解得，即

V4S△R4a33aa3aa66

P1A1B1C13A1B1C13412

正四面體P1A1B1C1的棱長為66．將正四面體P2A2B2C2放到正方體中，如圖，易知該正方體的內(nèi)切球即

與正四面體P2A2B2C2的六條棱均相切的球O．因為R3，所以該正方體的棱長為6，則正四面體

2

S66

P1A1B1C1

P2A2B2C2的棱長為62，所以23，故選:D．

S

P2A2B2C262

2．若正四面體ABCD的棱長為a，P是棱AC上一動點，其外接球、內(nèi)切球的半徑分別為R，r，則（）

6

A．RaB．R4r

4

2

C．正四面體ABCD棱切球的體積為πa3D．若F是棱AD的中點，則當BPPF最小時，CP2PA

24

【答案】ACD【詳解】對于A選項，如圖，在正四面體ABCD中，E為CD的中點，M為△BCD的中心，

連接AM，則AM平面BCD，設O為正四面體ABCD外接球的球心，連接OB，由題知△BCD為正三角

2

223336

形，所以BMBEaa，在RtABM中，AMAB2BM2a2aa，所以

332333

6

OMAMOAaR，在Rt△OBM中，由OM2BM2OB2，得

3

22

632，解得6，故正確

aRaRRaA.

334

一題多解如圖，將正四面體ABCD放入正方體中，因為正四面體ABCD的棱長為

2

a，所以正方體的棱長為a，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外

2

2366

接球半徑為aa，即正四面體外接球半徑Ra，

2244

故A正確.對于B選項，設正四面體的內(nèi)切球的球心為O，連接

OA，OB，OC，OD，形成四個全等的正三棱錐，則

VABCDVOABCVOABDVOACDVOBCD，即

11111

AMSrSrSrSrS，

3△BCD3△ABC3△ABD3△ACD3△BCD

116

因為，所以，a，而6，

S△ABCS△ABDS△ACDS△BCDAMS△ABC4rS△ABCAM36Ra

33ra4

4412

所以R3r，故B錯誤.

一題多解如圖，設正四面體ABCD的內(nèi)切球與AE相切于點H，則OMOHr

6

ar

OHAOr36

因為Rt△AHO∽Rt△AME，所以，即，解得ra，

EMAE33

aa12

62

6

而Ra，所以R3r，故B錯誤.對于C選項，正四面體ABCD的棱切球與各

4

棱相切于中點，如圖，把正四面體ABCD放在正方體中，則正方體的棱長為正四面

體ABCD的棱切球的直徑（提示：正方體的內(nèi)切球即為正四面體的棱切球）.因為AB=a，所以正方體的棱

3

長為2，所以正四面體的棱切球的半徑為2，所以棱切球的體積為4223，故

aABCDaπaπaC

243424

正確.對于D選項，如圖，將側面ABC和ACD沿AC展開成菱形ABCD，在菱形ABCD中，連接BF，交

AC于點P，則BF的長即為BPPF的最小值.因為正四面體ABCD的各棱長都相等，所以ACAB，所以

a

BCD120.因為F是棱AD的中點，所以AFDF，DCF30，所以BCF90.又因為正四面體

2

3a

ABCD的棱長為a，所以ABACBCCDADa，CF，

2

7

由勾股定理知BFBC2CF2a.又因為AP

2

ABBP

平分BAF，所以2（提示：角平分線

AFPF

定理），即BP2PF.在RtBCF中，

2

12121242122

CPCBCF，故|CP|CBCFCBCF2CBCFa，所以

333399333

21

PAaaa，所以CP2PA，故D正確.故選：ACD.

33

題型02正棱錐，圓錐的外接球問題

解｜題｜策｜略

正棱錐，圓錐的外接球的球心在線段PO或者線段PO的延長線上，再次根據(jù)勾股

定理，設外接球的半徑為R，ABC的外接圓半徑為r，線段PO的長度為h，則

有：R2(hR)2r2或R2(Rh)2r2.

【精選例題】

【例1】若正三棱錐PABC的高為2，AB26，其各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為（）

A．5B．6C．22D．3

【詳解】①若球心O在正三棱錐PABC內(nèi)部，如圖所示：其中點P在底面ABC

的投影為點D，所以高為PD2，延長AD交BC于點E，因為三棱錐PABC

為正三棱錐，所以ABC為正三角形，點D為ABC的重心，AE為ABC的高，

3322

所以AEAB2632，ADAE3222，設外接球的

2233

半徑為R，則OPOAR，在△ADO中有：AO2OD2AD2，即

22

R22R22，解得：R3；

②若球心O在正三棱錐PABC外部，如圖所示：由①知，當球心O在PD的延長線上時，在△ADO中有：

22

AO2OD2AD2，即R2R222，解得：R3.故選：D.

【例2】已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為36，且3l33，則

該正四棱錐體積的最大值是（）

812764

A．B．C．D．18

443

【詳解】∵球的體積為36，所以球的半徑R3，設正四棱錐的底面邊長為2a，高

為h，則l22a2h2，322a2(3h)2，所以6hl2，2a2l2h2，所以正四棱錐的

426

11222ll14l

體積VSh4ah(l)=l，所以

333366936

222232

14l12221ll722l7264

Vl1ll722l．故選：C．

9369362936239273

26π

【例3】已知圓錐的軸截面為正三角形，且圓錐的體積為，若該圓錐的底面圓周和頂點都在同一球面

3

上，則該球的表面積為（）

3π32π

A．B．2πC．6πD．

23

【答案】D【詳解】設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線l2r，高h3r．∵

26π126π

圓錐的體積為，∴πr23r，解得r2，則h6．設球的半徑

333

22222

RrdR2d26

為R，球心到圓錐底面的距離為d，則，即，解得R，

hRd6Rd3

32π

∴球的表面積為4πR2．故選：D．

3

【變式訓練】

1．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，而E,F,G,H為圓O上

的點，△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分別為以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以

AB,BC,CD,DA為折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH，使得E,F,G,H重合，得到一個四棱錐.當該四棱

錐的側面積是底面積的2倍時，四棱錐的外接球的體積為.

5003π

【答案】cm3【詳解】如圖所示，連接OE交AB于點I，設正方形的邊長為

27

xx1x2

xx0cm，則IOcm，IE6cm.因為該四棱錐的側面積是底面積的2倍，所以4x62x，

2222

解得x4或x0(舍)，所以AE20.設E,F,G,H重合于點P，該四棱錐的外接球的球心為Q，半徑R，

11

側棱長等于折疊前的AE，則OCAC161622，OPCP2OC220823，在△OCQ

22

3

22

25455003π3

中，可得R23R22，解得R，外接球的體積Vπcm.

33327

32

2．已知正三棱錐的高為，且各頂點都在同一球面上.若該球的體積為π，則三棱錐體積的最大值是（）

3

32364312832563

A．B．C．D．

27272727

【答案】B【詳解】如圖，設H為底面三角形的中心，PH為三棱錐的高，設為h，由題意

4332π23

得，V球πR，解得R2，該三棱錐為正三棱錐，HCBC,

3332

22，132332，令

BC34h23h4hVPABCBChh4h

344

3

32211hh82h256，643故選：

fhh4hh4hhh82hVmax.B

2232727

S1

3．已知兩個圓錐側面展開圖均為半圓，側面積分別記為S1,S2，且2，對應圓錐外接球體積分別為V1,V2，

S2

V

則1（）

V2

A．8B．42C．22D．2

【答案】C【詳解】設兩個圓錐的母線長分別為l1,l2，高分別為h1,h2，底面圓的半徑分別為r1,r2，對應圓錐

的外接球半徑分別為R1,R2，由題可得l12r1l12r1，h13r1，同理得：l22r2，h23r2，由

Srlr2rr2

11111122222

2，得22，又Rr(hR)，化簡得hr2Rh，

S2r2l2r22r2r2

h2r23r2r2

111143

R3

R2h23rrV1R

1111131

22222，==3=22，故選：C

Rhr3rrrV43R

2222222R2

32

2h223r2

題型03正棱臺圓臺的外接球

解｜題｜策｜略

正棱臺圓臺的外接球的球心均在高上

【精選例題】

【例1】若球O的半徑為5，一個內(nèi)接圓臺的兩底面半徑分別為3和4（球心O在圓臺的兩底面之間），則

圓臺的體積為（）

25937

A．πB．πC．25352πD．2572π

33

【答案】A【詳解】球和圓臺的軸截面如下，O1,O2分別為圓臺上下底面的圓心，由

2222

題意可知，OAOB5，O1A3，O2B4，則OO1OAO1A534，

2222

OO2OBO2B543，圓臺的高為437，圓臺體積為

1259π

79π12π16π.故選：A.

33

【例2】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

3343

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r,2r，即r13,r24，設球心

1sin602sin60

到上下底面的距離分別為d,d，球的半徑為，所以2，2，故dd1或dd1，

12Rd1R9d2R161212

22

即R9R161或R29R2161，解得R225符合題意，所以球的表面積為

S4πR2100π．故選：A．

【例3】如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2且r1r23，則此圓臺的內(nèi)切球(與圓臺的上、下底面及

側面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球)的表面積為.

【答案】12π【詳解】設圓臺上、下底面圓心分別為O1,O2，則圓

臺內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點處,設球O與母線AB切于M

點,所以OMAB,所以OMOO1OO2R(R為球O的半徑),所

以AOO1與AOM全等,所以AMr1,同理BMr2，所以

222

ABr1r2，O1O2r1r2r1r24r1r212，所以

2

O1O223，所以圓臺的內(nèi)切球半徑R3，內(nèi)切球的表面積為4πR12π.故答案為：12π.

【變式訓練】

1．（多選題）已知正三棱臺A1B1C1ABC上、下底面的邊長及高分別為3，33，2，則正三棱臺A1B1C1ABC

的（）

A．斜高為5B．體積為133

π

C．側棱與底面所成的角為D．外接球的表面積為20π

4

【答案】AC【詳解】對于A，如圖，在正三棱臺A1B1C1ABC中，設O1，O分

別為上下底面的中心，D1，D分別為C1B1，CB的中點，因為上底面的邊長，

32

下底面的邊長分別為3，33，所以AO31，

1123

321113

AO333，O1D1A1O1，ODAO，又O1O2，所以

232222

22，所以正確；對于，體積為

DD1OO1ODO1D15AB

232332133

333333，所以B錯誤；對于C，側棱與底面所成的角為A1AO，

34442

OO12

在直角梯形A1O1OA中，由A1O11，AO3，O1O2，計算得tanA1AO1，而

AOA1O131

ππ

A1AO0,，從而A1AO，所以C正確；對于D，由已知得，外接球的球心E在直線O1O上，設

24

2

OEx0，由題得，122x32x2，解得x1，所以外接球的表面積為4πEA24π32x240π，

所以D錯誤.故選：AC.

2．已知一個圓臺的側面積為352π，下底面半徑比上底面半徑大1，母線與下底面所成角的正切值為7，

則該圓臺的外接球(圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上)的體積為．

500π

【答案】【詳解】如圖，設O、O分別為上下底面圓心，BC為母線，A為

31

點C在底面的投影，O為該圓臺的外接球球心，由該圓臺的側面積為352π，則

有πOBO1CBC352π，即OBO1CBC352，由下底面半徑比上底面

半徑大1，則有OBO1C1，由母線與下底面所成角的正切值為7，則有

CA

222

7，即CAOO17，又CAOBO1CBC，即有

OBO1C

2

BC7152，則OBO1CBC522OB1352，即OB4，則O1C3，則有

222222222222

OCOBO1CO1OOOOBOO，即O1CO1O2O1OOOOB，即3714OO4，

43500

即OO3，設該圓臺的外接球半徑為R，則ROB32425,故該圓臺的外接球體積VπRπ.

33

500π

故答案為：.

3

3．足尖雖未遍及美景，浪漫卻從未停止生長.清風牽動裙擺，處處彰顯著幾何的趣味.下面的幾何圖形好

，

似平鋪的一件裙裝，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中ABAA12A1B14，若沿圖中的

虛線折起，圍成一個封閉幾何體，則的體積為;的外接球的表面積為.

282

【答案】40π

3

【詳解】由題意可知幾何體為正四棱臺，其底面邊長分別為2，4，側棱長為2，正四棱臺高為

2

24222，可得體積為1282；設上、下底面中心分別為O,O，

22241641621

233

2

22

R22OO2

外接球的球心為，半徑為，可得，解得

OR22

R22OO2

2

2

R10282

，所以的外接球的表面積為4πR240π；故答案為：；

OO223

40π.

題型04四面體對棱相等的外接球

解｜題｜策｜略

若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖2所示

【精選例題】

【例1】在四面體ABCD中，若ABCD3，ACBD2，ADBC5，則四面體ABCD的外接球

的表面積為()

A．2B．4C．6D．8

解：如下圖所示，將四面體ABCD放在長方體AEBFGCHD內(nèi)，設該長方體

的長、寬、高分別為x、y、z，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球

AB2x2y23

222

直徑，設該長方體的外接球半徑為R，由勾股定理得ACxz4，上

222

ADyz5

述三個等式全加得2(x2y2z2)12，所以，該四面體的外接球直徑為

2Rx2y2z26，因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4R2(2R)26，故選：C．

【跟蹤訓練】

1.已知三棱錐SABC的四個頂點都在球O的球面上，且SABC2，

SBAC7，SCAB5，則球O的表面積是．

【答案】8π【詳解】將三棱錐SABC放入長方體中，設長方體的長寬高分別為a,b,c

a2b25

22

如圖所示：則ac7，則a2b2c28，因為球O的直徑即為長方體的體對角

22

bc4

a2b2c22

線，則球O的半徑為2，所以球O的表面積是4π28π.故答

2

案為：8π.

2.三棱錐ABCD中ABCD25，BCDA5，CADB33，則該三棱錐

ABCD外接球的表面積為.

【答案】36π【詳解】如圖，把三棱錐ABCD補成一個長方體EBFCAGDH，

EA2EC227

則該長方體的外接球即為三棱錐ABCD的外接球，由已知EA2EB220，所

22

EBEC25

以EA2EB2EC236，從而AFEA2EB2EC26，AF為長方體的對角線，

AF

即為其外接球的直徑，所以外接球半徑為R3，球面積為S=4πR2=36π，故答案為：36π．

2

題型05直棱柱外接球模型

解｜題｜策｜略

①側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.

②外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點.正棱柱外接球的球心是上下

底面中心連線的中點

h

③計算公式：設底面小圓的半徑為r，棱柱高為h，則Rr2()2.

2

【精選例題】

【例1】在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90且BB14，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接

球表面積的最小值為______．

解析：設BC的中點為D，B1C1的中點為D1，ABx,ACy，由題，得三棱柱外接球的

1

球心在線段DD的中點O處，由三棱柱的體積為2，得xy42，即xy1，

12

1

由題，得R2OB2OD2BD24x2y2，所以，外接球表面積

4

212222

S4R44xy16xy162xy18．故答案為：18

4

【例2】一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，這個正三棱柱的表面積為723，則這個球

的體積為．

3232

【答案】/【詳解】設球的半徑為R，根據(jù)球的對稱性可知，棱柱的高h2R，兩個底面正三角形

33

13

的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相同，設底邊邊長為a，則等邊三角形的內(nèi)切圓半徑滿足Ra，即a23R，

32

123

因為棱柱的表面積為723，所以323R2R223R723，解得：R2，所以球的體積

22

432π32

為π23.故答案為：π.

333

【變式訓練】

--

1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC60，側面BCC1B1的面積為23，則直三棱柱ABCA1B1C1外接球

的表面積的最小值為（）

A．4πB．8πC．43πD．83π

【答案】B

【詳解】如圖，設ABC的外接圓半徑為r，直三棱柱外接球的半徑為R．由正弦定

BC

理，得2r，所以，又因為側面BCC1B1的面積為23，所以

sin60BC3r

221

BCAA23，所以AA，而2R2r2AA，所以R2r22，當且

11r1rr2

21

僅當r，即r1時，R2取得最小值2，所以直三棱柱外接圓的表面積的最小值

r2

2

Smin4πR8π．故選：B．

-

2．已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體

積為3，AB2，AC1，BAC60，則此球的體積為.

82

【答案】π.【詳解】因為AB2，AC1，BAC60，所以

3

BC2AB2AC22ABACcosBAC3，所以BC3，所以ABC是直角三角形且AB為斜邊，又因為三

棱錐側棱垂直于底面，所以該三棱柱是直三棱柱，如圖所示，設D，D1分別是AB，A1B1的中點，O是DD1

133

中點，則O就是三棱柱外接球球心，而S21sin60，所以VShDD3，即DD12，

△ABC2221

4438282

所以ROAAD2DO212122，所以VπR3π2π，故答案為：π

3333

題型06三棱錐外接球墻角模型

解｜題｜策｜略

墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）

2222

方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)abc，即2Ra2b2c2，求出R

【精選例題】

【例1】已知P,A,B,C是球O面上的四個點，PA平面ABC，PA2BC6，BAC90，則該球的表

面積為（）

A．28B．45C．35D．25

解：因為PA平面ABC，所以PAAC，又BAC90，所以ABAC，

又PAABA，所以AC平面PAB；同理AB平面PAC，則AB,AC,AP

兩兩互相垂直，將三棱錐PABC補形成以AB,AC,AP為長寬高的長方體，

如下圖所示，又P,A,B,C是球O面上的四個點，所以球O的直徑為該長方

體的體對角線，又PA2BC6，BAC90，所以該長方體的體對角線

長為623245，即球O的直徑2R45，其中R是球O的半徑；所

以球O的表面積為4R245.故選:B.

【例2】在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC60，AB2，AC1，PA3，則三棱錐PABC

外接球的表面積為（）

13π1313

A．B．13πC．52πD．π

26

【答案】B【詳解】在ABC中，BAC60，AB2，AC1，由余弦定理得，

1

BC2AB2AC22ABACcosBAC412213，則AB2AC2BC2，所

2

以ACBC，因為PA平面ABC，三棱錐PABC補成長方體，如圖所示，PB為長方體對角線，所以三

棱錐PABC外接球的直徑為PB，又PBPA2AB29413，即外接球的直徑13，所以外接球

2

的表面積為13故選：

4π13π.B.

2

【跟蹤訓練】

236

1.三棱錐PABC的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是、、，則該三棱錐的外接球的體

222

積是（）

282

A．πB