2026屆湖南省長(zhǎng)沙市重點(diǎn)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變2．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.存在點(diǎn)，使得平面平面3．為保障食品安全，某監(jiān)管部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)一家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，現(xiàn)從其生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，并以產(chǎn)品的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù)，整理得到如下的樣本頻率分布直方圖．若質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，則該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為（）A.0.38 B.0.61C.0.122 D.0.754．“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在中，已知，則角（）A. B.C. D.或6．，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，，那么D.如果，，，那么7．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8．《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國(guó)古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.書中記載這樣一個(gè)問(wèn)題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問(wèn)為田幾何？”（一步=1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為A.135平方米 B.270平方米C.540平方米 D.1080平方米9．已知函數(shù)的上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為________12．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為______.13．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是____14．，的定義域?yàn)開___________15．設(shè)，向量，，若，則_______16．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知二次函數(shù)fx（1）當(dāng)對(duì)稱軸為x=-1時(shí)，（i）求實(shí)數(shù)a的值；（ii）求f（x）在區(qū)間-2,2上的值域.（2）解不等式fx18．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，Ⅰ若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；Ⅱ若，求實(shí)數(shù)的值；Ⅲ若是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．觀察以下等式：①②③④⑤（1）對(duì)①②③進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，并猜想出④⑤式子的值；（2）根據(jù)上述各式的共同特點(diǎn)，寫出一條能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明20．已知A（1，1）和圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光線從A發(fā)出，經(jīng)x軸反射后到達(dá)圓C（1）求光線所走過(guò)的最短路徑長(zhǎng)；（2）若P為圓C上任意一點(diǎn)，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值21．已知函數(shù)，其中，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】直接利用三角函數(shù)伸縮變換法則得到答案.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變.故選：B2、D【解析】對(duì)A,根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可.對(duì)B,利用平面幾何方法證明，再證明平面即可.對(duì)C,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.對(duì)D,根據(jù)與平面有交點(diǎn)判定即可.【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,因?yàn)?,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故C正確.在D中,與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系，考查棱錐的體積，考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，判斷線面垂直的方法主要有：

線面垂直的判定定理，直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；

面面垂直的性質(zhì)定理，若兩平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的垂直于另一個(gè)平面；

線面垂直的性質(zhì)定理，兩條平行線中有一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直；

面面平行的性質(zhì)定理，直線垂直于兩平行平面之一，必然垂直于另一個(gè)平面3、B【解析】利用頻率組距，即可得解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的概率故選：B4、A【解析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論【詳解】解：當(dāng)“ω＝2”時(shí)，“函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期為π”當(dāng)函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期為π”，故ω＝±2，故“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的充分不必要條件；故選：A5、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，解得：，，因?yàn)?，所?故選：C.6、D【解析】A.由面面垂直的判定定理判斷；B.由面面平行的性質(zhì)定理判斷；C.由線面平行的性質(zhì)定理判斷；D.由平面與平面的位置關(guān)系判斷；【詳解】A.如果，，，由面面垂直的判定定理得，故正確；B.如果，，由面面平行的性質(zhì)定理得，故正確；C.如果，，，由線面平行的性質(zhì)定理得，故正確；D如果，，，那么相交或平行，故錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了理解辨析和邏輯推理的能力，屬于中檔題.7、A【解析】判斷出三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，可求出，，并判斷，進(jìn)而可得到答案【詳解】因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，，所以；因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，恒成立，故的零點(diǎn)小于0，即；因?yàn)樵谏线f增，當(dāng)時(shí)，，故，故．故選：A．8、B【解析】直接利用扇形面積計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)扇形的面積公式，計(jì)算扇形田的面積為Slr45270（平方米）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，屬于簡(jiǎn)單題.9、C【解析】利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得，二次函數(shù)f（x）在其對(duì)稱軸左側(cè)的圖象下降，由此得到關(guān)于a的不等關(guān)系，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然適合題意，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】由奇偶性定義判斷對(duì)稱性，再根據(jù)解析式判斷、上的符號(hào)，即可確定大致圖象.【詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)镽，即為奇函數(shù)，排除C，D；當(dāng)時(shí)恒成立；，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；所以，時(shí)，時(shí)，排除B；故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】連接AC交BD于O點(diǎn)，設(shè)交面于點(diǎn)E，連接OE，則角CEO就是所求的線面角，因?yàn)锳C垂直于BD，AC垂直于，故AC垂直于面.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則OC=，OE=1，CE，此時(shí)正弦值為故答案為.點(diǎn)睛：求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值；高二時(shí)還會(huì)學(xué)到空間向量法，可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．面面角一般是要么定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，要么建系來(lái)做．12、【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得的值，再求三角函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，故答案為：.13、【解析】先畫出函數(shù)的圖象，把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，要先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，又由方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，且，則=，因?yàn)?，則，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14、【解析】由，根據(jù)余弦函數(shù)在的圖象可求得結(jié)果.【詳解】由得：，又，，即的定義域?yàn)?故答案為：.15、【解析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，得到，再由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，向量，，∴，∴，∵，∴故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)，涉及二倍角的正弦公式，熟記向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.16、.【解析】先求圓錐底面圓的半徑，再由直角三角形求得圓錐的高，代入公式計(jì)算圓錐的體積即可?！驹斀狻吭O(shè)圓錐底面半徑為r，則由題意得，解得.∴底面圓的面積為.又圓錐的高.故圓錐的體積.【點(diǎn)睛】此題考查圓錐體積計(jì)算，關(guān)鍵是找到底面圓半徑和高代入計(jì)算即可，屬于簡(jiǎn)單題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（i）-13；（ii）（2）答案見解析.【解析】（1）（i）解方程(a+1)2a=-1即得解；（（2）對(duì)a分類討論解不等式.【小問(wèn)1詳解】解：（i）由題得--(a+1)（ii）fx=-1所以當(dāng)x∈-2,2時(shí)，ff(x)所以f（x）在區(qū)間-2,2上的值域?yàn)閇-5【小問(wèn)2詳解】解：ax當(dāng)a=0時(shí)，-x+1≥0,∴x≤1；當(dāng)a>0時(shí)，(ax-1)(x-1)≥0,∴x當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式解集為{x|x≥1a或x≤1}當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|x≥1或x≤1當(dāng)a<0時(shí)，(ax-1)(-x+1)≤0,∴x所以不等式的解集為{x|1綜上，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤1}當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為{x|x≥1a或當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|x≥1或x≤1當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|118、(Ⅰ)-2；(Ⅱ)；(Ⅲ)，且【解析】Ⅰ根據(jù)三點(diǎn)共線，即可得出，并求出，從而得出，求出；Ⅱ根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出的值；Ⅲ根據(jù)是銳角即可得出，并且不共線，可求出，從而得出，且，解出的范圍即可【詳解】Ⅰ，B，P三點(diǎn)共線；；；；；Ⅱ；；；Ⅲ若是銳角，則，且不共線；；，且；解得，且；實(shí)數(shù)的取值范圍為，且【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，向量平行的定義，以及向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.19、（1）答案見解析；（2）；證明見解析.【解析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即得；（2）根據(jù)式子的特點(diǎn)可得等式，然后利用和差角公式及同角關(guān)系式化簡(jiǎn)運(yùn)算即得,【小問(wèn)1詳解】猜想：【小問(wèn)2詳解】三角恒等式為證明：=20、（1）；（2）最大值為11，最小值為﹣1【解析】(1)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上,當(dāng)反射光線從點(diǎn)經(jīng)軸反射到圓周的路程最短,最短為;(2)將式子化簡(jiǎn)得到,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到的距離,加減半徑,即可求得最值.【詳解】（1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圓心坐標(biāo)為C（﹣2，2），∴，即光線所走過(guò)的最短路徑長(zhǎng)為；（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圓C上一點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（1，2）的距離的平方，由題意，得，因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值為11，最小值為﹣1【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題,以及圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題;求最短路徑時(shí)作對(duì)稱點(diǎn),由兩點(diǎn)之間線段最短的原理確定長(zhǎng)度,將圓外一點(diǎn)距離的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離和半徑之間的關(guān)系.21、（1）條件選擇見解析，；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，.【解析】（1）利用三角