2026屆湖南省長沙市湖南師大附中博才實驗中學(xué)湘江校區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.2．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.3．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.13624．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.5．動點(diǎn)P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.6．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.7．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.28．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.4510．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.2611．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.12．在等差數(shù)列中，其前項和為.若，是方程的兩個根，那么的值為（）A.44 B.C.66 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過2021的第一個拐彎數(shù)是____________14．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則______15．已知數(shù)列的前項和為，則__________.16．我國民間剪紙藝術(shù)在剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規(guī)格相同的圖形，將其中之一進(jìn)行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個之一進(jìn)行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規(guī)格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規(guī)格相同.如果把次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最小值及此時的值.18．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值20．（12分）已知數(shù)列中，.（1）證明是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項和為，求使恒成立的最小的整數(shù)k.21．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點(diǎn)、.（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求線段的長（用表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請研究雙曲線的性質(zhì)（從對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個角度進(jìn)行研究）.22．（10分）已知曲線在處的切線方程為，且.（1）求的解析式；（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D2、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)發(fā)函數(shù)，然后可得導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，所以故選：B3、B【解析】觀察前4項可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B4、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項即可.【詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，，正確；D選項：，錯誤.故選：C.5、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B7、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.8、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】.故選：D.9、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.10、A【解析】可設(shè)出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點(diǎn)帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設(shè)缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得.故選：A11、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點(diǎn)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值.故選：D.12、D【解析】由，是方程的兩個根，利用韋達(dá)定理可知與的和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于，即可求出的值，然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【詳解】因為，是方程的兩個根，所以，而，所以，則,故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當(dāng)為奇數(shù)為；當(dāng)為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個數(shù)；第3個數(shù)；第5個數(shù)；第7個數(shù)；，所以當(dāng)為奇數(shù)為；同理可得：當(dāng)為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，所以超過2021第一個拐彎數(shù)是.故答案為：；.14、－1【解析】由已知及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式，列方程求基本量即可.【詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因為，所以，又因為，所以，可得，所以，所以.故答案為：.16、①.②.【解析】首先根據(jù)題意得到，再計算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結(jié)合，，成等比數(shù)列，列出方程求得，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由，得到時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】解：由數(shù)列的通項公式，令，即，解得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，取得最小值，最小值為.18、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】（1）因為，所以所以所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與19、（1）（2）證明見詳解.【解析】（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，故因為，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析，（2）4【解析】（1）由，得到，利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，然后利用錯位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，得，∴，∴數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，∴，即.【小問2詳解】由題意得.，兩式相減得：，因為，所以，所以使恒成立的最小的整數(shù)k為4.21、（1）；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離，進(jìn)而將式子化簡即可；（2）求出，進(jìn)而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問1詳解】由題意，.【小問2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點(diǎn)，則它關(guān)于直線對稱，還關(guān)于與垂直且過原點(diǎn)的直線對稱.，則，易得.綜上：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對稱，且關(guān)于直線對稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實軸，將代入雙曲線解得頂點(diǎn)：.于是實軸長為焦距為，則離心率.22、（1）；（2）.【解析】(1