2025年少年班考試題及答案一、數(shù)學能力測試（共4題，每題25分）1.已知函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)x，有f(x+1)f(x)=2x+3，且f(0)=1。設g(x)=f(x)·e^(-x)，求g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值之和。答案：首先求f(x)的表達式。由遞推關系f(x+1)f(x)=2x+3，可設f(x)為二次函數(shù)，設f(x)=ax2+bx+c。代入遞推式：f(x+1)f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c(ax2+bx+c)=2ax+a+b與原式2x+3比較，得2a=2，a+b=3，解得a=1，b=2。由f(0)=c=1，故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2。則g(x)=(x+1)2·e^(-x)，求導得g’(x)=2(x+1)e^(-x)(x+1)2e^(-x)=(x+1)(2x1)e^(-x)=(x+1)(1x)e^(-x)。令g’(x)=0，在[0,2]內(nèi)臨界點為x=1（x=-1不在區(qū)間內(nèi)）。計算端點和臨界點值：g(0)=(0+1)2·e^0=1g(1)=(1+1)2·e^(-1)=4/eg(2)=(2+1)2·e^(-2)=9/e2比較大?。?≈1，4/e≈1.47，9/e2≈1.22。故最大值為4/e，最小值為1，和為4/e+1。2.正四面體ABCD的棱長為√2，E為棱AB的中點，F(xiàn)為棱CD上的動點，求EF長度的最小值。答案：以正四面體頂點A為原點，AB所在直線為x軸，建立空間直角坐標系。設各點坐標：A(0,0,0)，B(√2,0,0)，E為AB中點，故E(√2/2,0,0)。正四面體棱長為√2，設C(x,y,z)，D(u,v,w)。由正四面體性質(zhì)，各頂點到原點距離均為√2，且任意兩點距離為√2。對C點：x2+y2+z2=2（到A距離），(x-√2)2+y2+z2=2（到B距離），相減得x=√2/2。同理，C、D到A、B距離均為√2，故C(√2/2,a,b)，D(√2/2,c,d)。由C到D距離√2，得(ac)2+(bd)2=2。正四面體高h=√((√2)2(√6/3)2)=√(22/3)=√(4/3)=2√3/3（正四面體高公式：h=√(2/3)a，a為棱長，此處a=√2，h=√(2/3×2)=√(4/3)=2√3/3）。底面BCD為正三角形，中心坐標為(√2/2,(a+c)/2,(b+d)/2)，該中心到A的距離應為高h，即(√2/2)2+[(a+c)/2]^2+[(b+d)/2]^2=(2√3/3)^2=4/3。解得[(a+c)/2]^2+[(b+d)/2]^2=4/31/2=5/6，即(a+c)^2+(b+d)^2=10/3。設F為CD上動點，參數(shù)化為F=tC+(1-t)D，t∈[0,1]，則F坐標(√2/2,ta+(1-t)c,tb+(1-t)d)。EF向量為(0,ta+(1-t)c,tb+(1-t)d)，長度平方為[ta+(1-t)c]^2+[tb+(1-t)d]^2=t2(a2+b2)+(1-t)2(c2+d2)+2t(1-t)(ac+bd)。由C到A距離√2，a2+b2=2(√2/2)^2=21/2=3/2；同理c2+d2=3/2。又ac+bd=[(a+c)^2+(b+d)^2(a2+b2+c2+d2)]/2=(10/33)/2=(1/3)/2=1/6。代入得長度平方=t2×3/2+(1-t)2×3/2+2t(1-t)×1/6=3/2(t2+12t+t2)+(tt2)/3=3/2(2t22t+1)+t/3t2/3=3t23t+3/2+t/3t2/3=(8t2/3)(8t/3)+3/2。求此二次函數(shù)最小值，對稱軸t=(8/3)/(2×8/3)=1/2。代入得最小值=8/3×(1/4)-8/3×(1/2)+3/2=2/3-4/3+3/2=(-2/3)+3/2=5/6。故EF長度最小值為√(5/6)=√30/6。3.設n為大于1的正整數(shù)，且n滿足：存在正整數(shù)k，使得n^k≡-1(mod2025)。求所有這樣的n的個數(shù)（模2025互不同余的解的個數(shù)）。答案：2025=452=92×52=3?×52。根據(jù)中國剩余定理，n^k≡-1mod3?且n^k≡-1mod52。先分析模3?=81的情況：n^k≡-1mod81?n^(2k)≡1mod81，故n的階d整除2k但不整除k，因此d為偶數(shù)且d不整除k，即d中2的冪次高于k中2的冪次。又n^k≡-1?n^d≡1?(-1)^(d/k)≡1?d/k為偶數(shù)，即d=2m，m整除k，且n^m≡-1mod81。模81的乘法群是循環(huán)群嗎？不，3是素數(shù)，模3^s的乘法群當s≥3時同構(gòu)于Z/2Z×Z/3^(s-2)Z（當s≥3時，模3^s的乘法群結(jié)構(gòu)為{±1}×1+3Z/3^sZ，后者是循環(huán)群）。具體地，模81的乘法群階為φ(81)=54=2×33。其結(jié)構(gòu)為Z/2Z×Z/33Z。設n≡amod81，a∈(Z/81Z)^，則a^k≡-1mod81。兩邊平方得a^(2k)≡1mod81，故a的階d整除2k但不整除k，因此d中2的因子為2（因為-1的階是2）。在Z/2Z×Z/33Z中，元素可表示為(±1,b)，其中b∈Z/27Z。a^k=((-1)^k,b^k)≡(-1,0)mod(2,27)（這里0表示Z/27Z的單位元1？不，Z/27Z是加法群，實際乘法群中1+3Z/81Z同構(gòu)于Z/27Z加法群，乘法為(1+3x)(1+3y)=1+3(x+y)+9xy≡1+3(x+y)mod9，當提升到模81時，結(jié)構(gòu)為循環(huán)群，提供元為4（因為4^1=4,4^2=16,4^3=64,4^4=256≡256-3×81=256-243=13,4^5=52,4^6=208≡208-2×81=46,4^7=184≡184-2×81=22,4^8=88≡7,4^9=28,4^10=112≡31,4^11=124≡124-81=43,4^12=172≡172-2×81=10,4^13=40,4^14=160≡160-1×81=79,4^15=316≡316-3×81=316-243=73,4^16=292≡292-3×81=292-243=49,4^17=196≡196-2×81=34,4^18=136≡136-1×81=55,4^19=220≡220-2×81=58,4^20=232≡232-2×81=70,4^21=280≡280-3×81=280-243=37,4^22=148≡148-1×81=67,4^23=268≡268-3×81=268-243=25,4^24=100≡100-1×81=19,4^25=76,4^26=304≡304-3×81=304-243=61,4^27=244≡244-3×81=244-243=1mod81，故4的階為27，因此模81的乘法群同構(gòu)于Z/2Z×Z/27Z，其中Z/2Z由-1提供，Z/27Z由4提供）。要使a^k≡-1mod81，即((-1)^k,b^k)=(-1,1)（因為Z/27Z的單位元是1，乘法群中元素相乘對應指數(shù)相加，所以b^k=1mod27）。因此需(-1)^k=-1?k為奇數(shù)，且b^k≡1mod27。由于b∈Z/27Z（乘法群），其階d整除27（因為Z/27Z是循環(huán)群，階為27），所以b^k≡1?d|k。又k為奇數(shù)，故d必須為奇數(shù)，即b的階為奇數(shù)，因此b必須是Z/27Z中的奇數(shù)階元素，即b是3的冪次？不，Z/27Z是循環(huán)群，所有元素的階都是27的因數(shù)，即1,3,9,27。其中奇數(shù)階的元素是階為1,3,9,27（都是奇數(shù)），所以所有b∈Z/27Z都滿足b^k≡1當k為奇數(shù)且d|k（d為b的階）。但實際上，當k為奇數(shù)時，b^k≡1當且僅當b的階d|k，而d為奇數(shù)，所以存在k為奇數(shù)使得b^k≡1當且僅當b的階d為奇數(shù)，即b屬于Z/27Z的所有元素（因為27是奇數(shù)，循環(huán)群中所有元素的階都是奇數(shù)）。因此，模81下滿足條件的n是所有形如(-1,b)的元素，其中b∈Z/27Z，即n≡-cmod81，其中c是模81的原根提供的循環(huán)群中的元素？可能更簡單的方式是：模81下，n^k≡-1有解當且僅當n的階為偶數(shù)，且-1在n提供的子群中。由于乘法群是Z/2Z×Z/27Z，n可表示為(-1)^a×4^b，其中a∈{0,1},b∈{0,1,...,26}。則n^k=(-1)^{ak}×4^{bk}≡-1mod81?(-1)^{ak}=-1且4^{bk}≡1mod81。后者要求27|bk，前者要求ak≡1mod2。因為k存在，所以存在k使得ak≡1mod2（即a=1，k為奇數(shù)），且存在k為奇數(shù)使得27|bk。由于b和27互質(zhì)嗎？不，b可以是0到26任意數(shù)。若b=0，則4^0=1，此時n=(-1)^a×1，a=1時n=-1，n^k=(-1)^k=-1當k為奇數(shù)，成立。若b≠0，4^b的階為27/gcd(b,27)，要使4^{bk}≡1mod81，需27/gcd(b,27)|bk?27|bk×gcd(b,27)。設d=gcd(b,27)，b=d×b',27=d×27'，則條件為d×27'|d×b'×k?27'|b'×k。因為b'和27'互質(zhì)（d=gcd(b,27)），所以27'|k。取k=27'×m（m奇數(shù)），則ak=1×27'×m≡1mod2（因為27'是奇數(shù)，m奇數(shù)，乘積奇數(shù)），滿足。因此，模81下所有n≡-1×4^bmod81（b=0,1,...,26），共27個解。再分析模52=25的情況：n^k≡-1mod25?n^(2k)≡1mod25，故n的階d整除2k但不整除k，因此d為偶數(shù)且d/2不整除k。模25的乘法群是循環(huán)群，階為φ(25)=20=22×5。設提供元為g（如2，因為2^10=1024≡24≡-1mod25，2^20≡1mod25），則n=g^m，n^k=g^(mk)≡-1=g^10mod25?mk≡10mod20。存在k當且僅當gcd(m,20)|10。gcd(m,20)的可能值為1,2,4,5,10,20。其中g(shù)cd(m,20)|10的m滿足gcd(m,20)∈{1,2,5,10}。具體：若gcd(m,20)=1（m與20互質(zhì)），則方程mk≡10mod20有解k≡10m^{-1}mod20，存在k。若gcd(m,20)=2（m=2,6,14,18），則方程變?yōu)?m'k≡10mod20?m'k≡5mod10，gcd(m',10)=1（因為m=2m',gcd(m,20)=2?gcd(m',10)=1），故有解k≡5m'^{-1}mod10，存在k。若gcd(m,20)=5（m=5,15），則方程變?yōu)?m'k≡10mod20?m'k≡2mod4，gcd(m',4)=1（因為m=5m',gcd(m,20)=5?m'=1或3，gcd(m',4)=1），故有解k≡2m'^{-1}mod4，存在k。若gcd(m,20)=10（m=10），則方程變?yōu)?0m'k≡10mod20?m'k≡1mod2（m'=1），即k≡1mod2，存在k（如k=1）。若gcd(m,20)=4或20，方程mk≡10mod20無解（因為4不整除10，20不整除10）。因此，模25下滿足條件的m是gcd(m,20)∈{1,2,5,10}，對應的n=g^m的個數(shù)：gcd(m,20)=1：φ(20)=8個（m=1,3,7,9,11,13,17,19）gcd(m,20)=2：m=2,6,14,18，共4個gcd(m,20)=5：m=5,15，共2個gcd(m,20)=10：m=10，共1個總計8+4+2+1=15個解。根據(jù)中國剩余定理，模2025的解數(shù)為模81的解數(shù)×模25的解數(shù)=27×15=405個。4.設集合S={1,2,...,n}，n≥3，定義f(S)為S的所有非空子集的元素和的異或和（即所有非空子集的和進行異或運算的結(jié)果）。求f(S)的表達式（用n表示）。答案：首先計算n=3時，S={1,2,3}，非空子集和為1,2,3,1+2=3,1+3=4,2+3=5,1+2+3=6，異或和為1^2^3^3^4^5^6。注意到3^3=0，故剩余1^2^4^5^6=(1^2)=3,3^4=7,7^5=2,2^6=4。n=4時，S={1,2,3,4}，非空子集和包括：1,2,3,4,3,4,5,5,6,7,6,7,8,9,10。去重后和為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10？不，實際所有和為：單元素：1,2,3,4雙元素：3(1+2),4(1+3),5(1+4,2+3),6(2+4),7(3+4)三元素：6(1+2+3),7(1+2+4),8(1+3+4),9(2+3+4)四元素：10(1+2+3+4)所有和（含重復）：1,2,3,4,3,4,5,5,6,7,6,7,8,9,10。異或和需考慮每個和出現(xiàn)的次數(shù)奇偶性，因為異或中偶數(shù)次出現(xiàn)會抵消。觀察n=1時，f(S)=1（唯一非空子集和為1）n=2時，子集和為1,2,3，異或和1^2^3=0n=3時，和出現(xiàn)次數(shù)：1(1次),2(1次),3(2次),4(1次),5(1次),6(1次)，異或和為1^2^(3^3)^4^5^6=1^2^0^4^5^6=4（如前計算）n=4時，和出現(xiàn)次數(shù)：1(1),2(1),3(2),4(2),5(2),6(2),7(2),8(1),9(1),10(1)，異或和為1^2^(3^3)^(4^4)^(5^5)^(6^6)^(7^7)^8^9^10=1^2^0^0^0^0^0^8^9^10=1^2=3,3^8=11,11^9=2,2^10=8尋找規(guī)律：n=1:1=2^0n=2:0=0n=3:4=2^2n=4:8=2^3n=5時，推測可能為2^4=16。驗證：n=5，非空子集和的最小值1，最大值15?？紤]每個數(shù)k∈[1,15]出現(xiàn)的次數(shù)：對于k≤n，單元素子集出現(xiàn)1次；雙元素子集和為3到n+(n-1)=2n-1，次數(shù)為min(k-1,n)-(k-n)（當k≤n+1時次數(shù)為k-1，否則為2n+1-k）。但更簡單的方法是注意到當n≥2時，除了最大的和（即n(n+1)/2）和最小的和（1），中間的和出現(xiàn)次數(shù)多為偶數(shù)次（因為子集和s和總子集和T-s（T=n(n+1)/2）成對出現(xiàn)，當s≠T-s時，次數(shù)相同；當s=T-s時，即T為偶數(shù)，s=T/2，次數(shù)為奇數(shù)）。對于異或和，只有出現(xiàn)奇數(shù)次的和會保留。當n≥2時：當n=2，T=3，s=1和2各出現(xiàn)1次，s=3出現(xiàn)1次（單元素+雙元素？不，n=2時非空子集是{1},{2},{1,2}，和為1,2,3，各出現(xiàn)1次，異或和1^2^3=0）當n=3，T=6，s=1,2,4,5,6各出現(xiàn)1次，s=3出現(xiàn)2次（{1,2}和{3}），故異或和1^2^4^5^6=4=2^2當n=4，T=10，s=1,2,8,9,10各出現(xiàn)1次，中間s=3-7出現(xiàn)偶數(shù)次，異或和1^2^8^9^10=8=2^3當n=5，T=15，s=1,2,13,14,15各出現(xiàn)1次，中間s=3-12出現(xiàn)偶數(shù)次，異或和1^2^13^14^15=16=2^4規(guī)律：當n≥2時，f(S)=2^{n-2}當n≥3且n≠2，n=2時f(S)=0。驗證n=3:2^(3-2)=2，不對，之前計算n=3得4=2^2，n=4得8=2^3，n=5=16=2^4，故正確規(guī)律應為f(S)=2^{n-1}當n≥1？不，n=1時2^0=1正確，n=2時2^1=2但實際為0，n=3時2^2=4正確，n=4時2^3=8正確。觀察n=2時T=3（奇數(shù)），n=3時T=6（偶數(shù)），n=4時T=10（偶數(shù)），n=5時T=15（奇數(shù)）。當n(n+1)/2為偶數(shù)（即n≡0或3mod4），中間和s=T/2出現(xiàn)奇數(shù)次，否則成對出現(xiàn)。但異或和的關鍵在于最大的幾個和和最小的幾個和的出現(xiàn)次數(shù)。實際上，對于n≥3，非空子集和中，1和n(n+1)/2各出現(xiàn)1次，2和n(n+1)/2-1各出現(xiàn)1次，依此類推，直到中間的和。當n≥3時，除了n=2，異或和為2^{n-1}？不，n=3得4=2^2，n=4得8=2^3，n=5得16=2^4，故f(S)=2^{n-1}當n≥3，n=1時1=2^0，n=2時0。但更準確的推導：考慮二進制位。對于第k位（從0開始），判斷所有非空子集和中該位為1的次數(shù)的奇偶性。當k=0（個位）：子集和為奇數(shù)的次數(shù)。子集和為奇數(shù)當且僅當子集中有奇數(shù)個奇數(shù)元素。S中有m個奇數(shù)元素（m=?n/2?），偶數(shù)元素n-m個。奇數(shù)和的子集數(shù)為(2^{n-m})×(2^{m-1})=2^{n-1}（選擇任意偶數(shù)元素，奇數(shù)元素選奇數(shù)個）。當n≥2時，2^{n-1}是偶數(shù)，故個位為0。當k=1（十位）：考慮和中第二位為1的情況。對于n≥3，當n=3時，和為1(01),2(10),3(11),3(11),4(100),5(101),6(110)，二進制各位：個位：1,0,1,1,0,1,0→1出現(xiàn)次數(shù)：1,3,1,1→總次數(shù)1+3+1+1=6（偶數(shù)）十位：0,1,1,1,0,0,1→1出現(xiàn)次數(shù)：1,3,1→總次數(shù)1+3+1=5（奇數(shù)），故十位為1，即2^1=2，但之前計算n=3異或和為4=100，說明之前分析有誤。重新計算n=3的異或和：非空子集和：1,2,3,3,4,5,6異或運算：1^2=3;3^3=0;0^3=3;3^4=7;7^5=2;2^6=4。正確結(jié)果為4（100），即二進制第三位為1（2^2）。n=4時，和為1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,9,10異或過程：1^2=3;3^3=0;0^4=4;4^4=0;0^5=5;5^5=0;0^6=6;6^6=0;0^7=7;7^7=0;0^8=8;8^9=1;1^10=11？之前計算錯誤，正確異或和應為：1^2=3;3^3=0;0^4=4;4^4=0;0^5=5;5^5=0;0^6=6;6^6=0;0^7=7;7^7=0;0^8=8;8^9=1;1^10=11（1011），但這與之前推測不符，說明需要更系統(tǒng)的方法。實際上，當n≥1時，f(S)的規(guī)律為：n=1:1=1n=2:1^2^3=0n=3:1^2^3^3^4^5^6=1^2^4^5^6=(1^2)=3,3^4=7,7^5=2,2^6=4n=4:所有非空子集和的異或和為1^2^3^3^4^4^5^5^6^6^7^7^8^9^10=1^2^8^9^10=(1^2)=3,3^8=11,11^9=2,2^10=8n=5:和為1到15，其中和k與15-k成對出現(xiàn)（除了k=7.5不存在），故異或和為1^2^14^15^8（中間和8出現(xiàn)奇數(shù)次？不確定）通過數(shù)學歸納法，假設當n≥3時，f(S)=2^{n-1}當n為奇數(shù)，f(S)=0當n為偶數(shù)？但n=3（奇）得4=2^2，n=4（偶）得8=2^3，不符合。另一種觀察：n=3時結(jié)果為4=2^(3-1)，n=4時8=2^(4-1)，n=5時16=2^4，即f(S)=2^{n-1}當n≥3，n=1時1=2^0，n=2時0。驗證n=3:2^(3-1)=4正確，n=4:2^(4-1)=8正確，n=5:2^4=16正確。因此結(jié)論：當n=1時f(S)=1；當n=2時f(S)=0；當n≥3時f(S)=2^{n-1}。二、物理能力測試（共3題，每題30分）1.某無人機在豎直平面內(nèi)沿拋物線軌跡y=0.1x2飛行（x為水平位移，y為豎直高度，單位：米），飛行過程中水平速度保持v?=5m/s不變。已知無人機質(zhì)量m=2kg，空氣阻力忽略不計，求：(1)無人機在x=10m處的加速度大??；(2)此時無人機所受升力的大小（升力方向垂直于速度方向）。答案：(1)無人機的運動可分解為水平和豎直方向。水平速度v?=5m/s，故x=v?t?t=x/v?。豎直方向位移y=0.1x2=0.1v?2t2，故豎直速度v_y=dy/dt=0.2v?2t，豎直加速度a_y=d2y/dt2=0.2v?2=0.2×25=5m/s2。水平加速度a_x=0，故合加速度a=√(a_x2+a_y2)=5m/s2。(2)速度方向的斜率k=dy/dx=0.2x，當x=10m時，k=2，故速度方向與水平方向夾角θ滿足tanθ=2，θ=arctan2。速度大小v=√(v?2+v_y2)，v_y=0.2v?2t=0.2×25×(10/5)=10m/s，故v=√(25+100)=5√5m/s。無人機的加速度為a=5m/s2豎直向上。升力F垂直于速度方向，重力mg豎直向下，合力F合=ma=10N豎直向上。將力分解到速度方向和垂直速度方向：速度方向：合力的切向分量=mgsinθF切向（但空氣阻力不計，切向加速度為0，故F切向=mgsinθ）垂直速度方向：F升力mgcosθ=ma法向，其中a法向是加速度在垂直速度方向的分量。加速度a=5m/s2豎直向上，其法向分量a_n=acos(90°-θ)=asinθ（因為速度方向與水平夾角θ，豎直方向與速度方向夾角為90°-θ）。sinθ=2/√5，故a_n=5×2/√5=2√5m/s2。垂直方向合力：F升力mgcosθ=ma_ncosθ=1/√5，mg=20N，故F升力=20×(1/√5)+2×2√5=4√5+4√5=8√5≈17.89N。2.如圖所示（想象：兩平行金屬板水平放置，板長L=0.2m，間距d=0.1m，上板帶正電，下板帶負電，勻強電場E=1000V/m。一電子以初速度v?=1×10^7m/s沿兩板中線水平射入，電子質(zhì)量m=9.1×10^-31kg，電荷量e=1.6×10^-19C）。求電子射出極板時的偏轉(zhuǎn)距離和速度大小。答案：電子在水平方向做勻速直線運動，運動時間t=L/v?=0.2/(1×10^7)=2×10^-8s。豎直方向受電場力F=eE，加速度a=F/m=eE/m=1.6×10^-19×1000/9.1×10^-31≈1.758×10^14m/s2。偏轉(zhuǎn)距離y=?at2=0.5×1.758×10^14×(2×10^-8)^2=0.5×1.758×10^14×4×10^-16=0.5×7.032×10^-2=0.03516m≈3.52cm（小于d/2=5cm，未打板）。豎直速度v_y=at=1.758×10^14×2×10^-8=3.516×10^6m/s。速度大小v=√(v?2+v_y2)=√[(1×10^7)^2+(3.516×10^6)^2]≈1.06×10^7m/s。3.一定質(zhì)量的理想氣體經(jīng)歷如圖循環(huán)（想象：A→B等壓膨脹，B→C絕熱膨脹，C→A等溫壓縮），已知A狀態(tài)p?=1atm，V?=1L，T?=300K；B狀態(tài)V?=2L；C狀態(tài)p?=0.5atm。求循環(huán)效率η（η=W/Q?，W為凈功，Q?為吸熱總量）。答案：首先確定各狀態(tài)參數(shù)：A(p?=1atm,V?=1L,T?=300K)B(p?=p?=1atm,V?=2L)，由等壓過程，T?=T?×V?/V?=600KB→C絕熱膨脹，pV^γ=常數(shù)（γ=5/4對單原子氣體，假設為單原子），或用pVT關系：p?V?^γ=p?V?^γ，T?V?^(γ-1)=T?V?^(γ-1)。已知p?=0.5atm，p?=1atm，V?=2L，γ=5/4，故(1)(2)^(5/4