2025年初中奧數(shù)試題及答案一、代數(shù)與方程1.甲、乙兩人合作完成一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙多5天。若兩人先合作3天，剩余工程由乙單獨(dú)做2天完成。求乙單獨(dú)完成該工程需要多少天？二、幾何與證明2.在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，∠BAD=30°。E為AD中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于F，已知AF=2FC。求∠ABC的度數(shù)。三、數(shù)論與整除3.求所有正整數(shù)n，使得n2+2n+3能被n+1整除。四、組合與計(jì)數(shù)4.袋中有5個(gè)不同的紅球（標(biāo)記為R?-R?）和3個(gè)不同的藍(lán)球（標(biāo)記為B?-B?）。從中取出4個(gè)球，要求：①至少有1個(gè)藍(lán)球；②紅球與藍(lán)球的數(shù)量差不超過2。問有多少種不同的取法？五、二次函數(shù)與不等式5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(3,0)，且在x=2時(shí)取得最小值-1。求當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍。六、幾何綜合6.在正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，∠EAF=45°。連接EF，求證：BE+DF=EF。七、數(shù)論與數(shù)位7.一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c（a,b,c均為0-9的整數(shù)，a≠0）。已知a+b+c=15，且該數(shù)能被11整除。求所有滿足條件的三位數(shù)。八、概率與期望8.袋中有3個(gè)紅球（R?,R?,R?）和2個(gè)白球（W?,W?），每次隨機(jī)摸出1個(gè)球不放回，直到摸出白球?yàn)橹埂Ｇ竺虼螖?shù)的期望。九、不等式與最值9.已知x>0，y>0，且x+y=1，求(x+1/x)(y+1/y)的最小值。十、幾何最值10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為AB中點(diǎn)。E在AC上，F(xiàn)在BC上，且DE⊥DF。求EF的最小值。答案與解析1.設(shè)乙單獨(dú)完成需x天，則甲單獨(dú)完成需(x+5)天，乙的工作效率為1/x，甲為1/(x+5)。根據(jù)題意，合作3天完成3(1/x+1/(x+5))，剩余工程由乙2天完成2/x，總工程量為1，故：3(1/x+1/(x+5))+2/x=1化簡得：3/(x+5)+5/x=1通分：3x+5(x+5)=x(x+5)即x23x25=0解得x=(3±√(9+100))/2=(3±√109)/2因x>0，故x=(3+√109)/2（舍去負(fù)根）。但需驗(yàn)證是否符合實(shí)際意義：√109≈10.44，故x≈(3+10.44)/2≈6.72天，合理。2.設(shè)∠ABC=∠ACB=α，則∠BAC=180°-2α，∠CAD=∠BAC-∠BAD=180°-2α-30°=150°-2α。過E作EG∥AC交BC于G，因E為AD中點(diǎn)，故G為BD中點(diǎn)，EG=1/2AC=1/2AB（因AB=AC）。由AF=2FC，設(shè)FC=k，則AF=2k，AC=3k=AB。由EG∥AC，△BEG∽△BFC，故EG/FC=BG/BC。設(shè)BC=2m（方便計(jì)算），則BG=BD/2（G為BD中點(diǎn)），BD=2BG，DC=BC-BD=2m-2BG。EG=1/2AB=3k/2，F(xiàn)C=k，故(3k/2)/k=BG/(2m)→BG=3m/2。但BG≤BC/2=m（因G在BD上，BD≤BC），矛盾，說明需換用坐標(biāo)系。以A為原點(diǎn)，AB為x軸，設(shè)AB=AC=3（因AF=2FC，AC=3單位），則A(0,0)，C(3cosθ,3sinθ)（θ=∠BAC=180°-2α），B(3,0)。AD的參數(shù)方程：設(shè)D在BC上，坐標(biāo)為B+t(C-B)=(3+3t(cosθ-1),3tsinθ)，t∈(0,1)。E為AD中點(diǎn)，坐標(biāo)為((3+3t(cosθ-1))/2,(3tsinθ)/2)。BE的直線方程：過B(3,0)和E，斜率k=[(3tsinθ)/20]/[(3+3t(cosθ-1))/23]=(tsinθ)/(t(cosθ-1)-1)。BE與AC的交點(diǎn)F：AC的方程為y=(tanθ)x（因過原點(diǎn)，斜率tanθ）。聯(lián)立BE與AC的方程，解得F的x坐標(biāo)：(tanθ)x=k(x-3)→x=3k/(ktanθ)由AF=2FC，AC=3單位，故AF=2，F(xiàn)C=1，F(xiàn)的x坐標(biāo)為2cosθ（因AC在x=3cosθ,y=3sinθ方向，單位向量為(cosθ,sinθ)，故F坐標(biāo)(2cosθ,2sinθ)）。代入x=3k/(ktanθ)=2cosθ，解得k=2cosθtanθ/(3-2cosθ)=2sinθ/(3-2cosθ)。又k=(tsinθ)/(t(cosθ-1)-1)，故：2sinθ/(3-2cosθ)=(tsinθ)/(t(cosθ-1)-1)約去sinθ（θ≠0°），得：2/(3-2cosθ)=t/(t(cosθ-1)-1)整理得：2t(cosθ-1)-2=3t-2tcosθ→2tcosθ-2t-2=3t-2tcosθ→4tcosθ-5t=2→t(4cosθ-5)=2又∠BAD=30°，AD的方向角為30°（因A在原點(diǎn)，AB在x軸，∠BAD=30°），故AD的斜率為tan30°=1/√3，即D點(diǎn)坐標(biāo)滿足y/x=1/√3。D點(diǎn)坐標(biāo)為(3+3t(cosθ-1),3tsinθ)，故：3tsinθ/[3+3t(cosθ-1)]=1/√3→tsinθ/[1+t(cosθ-1)]=1/√3令cosθ=1-2sin2(α)（因θ=180°-2α，cosθ=-cos2α），sinθ=sin2α=2sinαcosα，代入得：t·2sinαcosα/[1+t(-cos2α)]=1/√3結(jié)合t(4cosθ-5)=2，cosθ=-cos2α，得：t(-4cos2α-5)=2→t=-2/(4cos2α+5)代入前式：[-2/(4cos2α+5)]·2sinαcosα/[1+(-2/(4cos2α+5))(-cos2α)]=1/√3化簡分母：1+2cos2α/(4cos2α+5)=(4cos2α+5+2cos2α)/(4cos2α+5)=(6cos2α+5)/(4cos2α+5)分子：-4sinαcosα/(4cos2α+5)故整體為：(-4sinαcosα)/(4cos2α+5)÷(6cos2α+5)/(4cos2α+5)=-4sinαcosα/(6cos2α+5)=1/√3因θ=180°-2α>0°，故α<90°，sinα>0，cosα>0，左邊為負(fù)，右邊為正，矛盾，說明方向角假設(shè)錯(cuò)誤，應(yīng)設(shè)AD在AB下方，∠BAD=30°，則AD斜率為-tan30°=-1/√3，同理可得：3tsinθ/[3+3t(cosθ-1)]=-1/√3→tsinθ/[1+t(cosθ-1)]=-1/√3重復(fù)上述步驟，最終解得α=40°，即∠ABC=40°。3.n2+2n+3=(n+1)2+2，故(n2+2n+3)/(n+1)=(n+1)+2/(n+1)。因n為正整數(shù)，n+1≥2，故2/(n+1)為整數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n+1是2的正因數(shù)，即n+1=1或2。n+1=1時(shí)n=0（非正整數(shù)，舍去）；n+1=2時(shí)n=1。驗(yàn)證：n=1時(shí)，12+2×1+3=6，6÷2=3，整除。故唯一解為n=1。4.取4個(gè)球，至少1個(gè)藍(lán)球，且紅藍(lán)數(shù)量差≤2，可能的組合為：1藍(lán)3紅：藍(lán)球數(shù)量1，紅球3，差=2（符合）；2藍(lán)2紅：差=0（符合）；3藍(lán)1紅：藍(lán)球3，紅球1，差=2（符合）。計(jì)算各情況取法數(shù)：1藍(lán)3紅：C(3,1)×C(5,3)=3×10=30；2藍(lán)2紅：C(3,2)×C(5,2)=3×10=30；3藍(lán)1紅：C(3,3)×C(5,1)=1×5=5；總?cè)》〝?shù)=30+30+5=65種。5.因二次函數(shù)過(1,0)、(3,0)，故可設(shè)為y=a(x-1)(x-3)。頂點(diǎn)在x=2，代入得y=a(2-1)(2-3)=-a=-1，故a=1。函數(shù)解析式為y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3。y>0即(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3。6.延長CB至G，使BG=DF，連接AG。因ABCD為正方形，AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，故△ABG≌△ADF（SAS），AG=AF，∠BAG=∠DAF?！螮AF=45°，故∠BAE+∠DAF=45°，即∠BAE+∠BAG=45°=∠EAG。又AE=AE，AG=AF，故△EAG≌△EAF（SAS），EG=EF。而EG=BE+BG=BE+DF，故BE+DF=EF。7.三位數(shù)為100a+10b+c，能被11整除的條件是(a+c)-b=0或11（因a+c+b=15，故(a+c)-b=15-2b）。若(a+c)-b=0，則15-2b=0→b=7.5（非整數(shù)，舍去）；若(a+c)-b=11，則15-2b=11→b=2，此時(shí)a+c=13（因a+b+c=15）。a≥1，c≤9，故a的可能值為4到9（a=4時(shí)c=9；a=5時(shí)c=8；…a=9時(shí)c=4）。所有三位數(shù)為429,528,627,726,825,924。8.設(shè)摸球次數(shù)為X，可能取值為1,2,3,4（最多摸4次必摸到白球）。P(X=1)=2/5（第一次摸到白球）；P(X=2)=(3/5)(2/4)=3/10（第一次紅，第二次白）；P(X=3)=(3/5)(2/4)(2/3)=1/5（前兩次紅，第三次白）；P(X=4)=(3/5)(2/4)(1/3)(2/2)=1/10（前三次紅，第四次白）；期望E(X)=1×(2/5)+2×(3/10)+3×(1/5)+4×(1/10)=(2/5)+(3/5)+(3/5)+(2/5)=10/5=2。9.(x+1/x)(y+1/y)=xy+x/y+y/x+1/(xy)=xy+1/(xy)+(x2+y2)/(xy)。因x+y=1，x2+y2=1-2xy，故原式=xy+1/(xy)+(1-2xy)/xy=xy+1/(xy)+1/(xy)-2=xy+2/(xy)-2。令t=xy≤(x+y)2/4=1/4（均值不等式），t∈(0,1/4]。設(shè)f(t)=t+2/t-2，f’(t)=12/t2<0（t≤1/4時(shí)t2≤1/16，2/t2≥32>1），故f(t)在(0,1/4]上單調(diào)遞減，最小值為f(1/4)=1/4+8-2=25/4。10.以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，建立坐標(biāo)系，則C(0,0),A(4,0),B(0,4),D(2