2025年統(tǒng)計專業(yè)考研試題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.某電子元件廠生產(chǎn)的元件壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)λ未知?，F(xiàn)隨機抽取10個元件，測得平均壽命為1200小時。若用矩估計法估計λ，則λ的估計值為（）A.1/1200B.1200C.10/1200D.1200/102.設(shè)隨機變量X~N(μ,σ2)，Y=2X-3，則Y的分布為（）A.N(2μ-3,2σ2)B.N(2μ-3,4σ2)C.N(μ-3,4σ2)D.N(2μ,4σ2)3.假設(shè)檢驗中，若原假設(shè)H?為真，但拒絕H?，此為（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.正確決策D.無法判斷4.對于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，ε~N(0,σ2)，最小二乘估計的β?滿足（）A.Σ(Y?-??)=0B.ΣX?(Y?-??)=0C.Σ??=0D.ΣX?=05.時間序列AR(2)模型X?=0.5X???-0.3X???+ε?的平穩(wěn)條件是（）A.|0.5|+|?0.3|<1B.特征方程1?0.5z+0.3z2=0的根絕對值均大于1C.特征方程1?0.5z+0.3z2=0的根絕對值均小于1D.0.52+0.32<1二、填空題（每題4分，共20分）1.設(shè)總體X~B(n,p)，n已知，p未知，基于樣本X?,X?,…,X?，p的極大似然估計量為______。2.從正態(tài)總體N(μ,4)中抽取容量為9的樣本，樣本均值為5，則μ的95%置信區(qū)間為______（Z?.???=1.96）。3.設(shè)X?,X?,…,X?為來自總體X~P(λ)（泊松分布）的樣本，則樣本方差S2=1/(n?1)Σ(X??X?)2是λ的______估計（填“無偏”或“有偏”）。4.方差分析中，總離差平方和SST=SSA+SSE，其中SSA表示______，SSE表示______。5.若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：X\Y|0|10|0.2|0.31|0.1|0.4則Cov(X,Y)=______。三、簡答題（每題10分，共40分）1.簡述中心極限定理的核心內(nèi)容及其在統(tǒng)計推斷中的作用。2.比較矩估計法與極大似然估計法的基本思想，并說明各自的優(yōu)缺點。3.什么是假設(shè)檢驗的p值？如何根據(jù)p值進行決策？4.簡述一元線性回歸中判定系數(shù)R2的定義與意義。四、計算題（每題15分，共45分）1.設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)=θx^(θ?1),0<x<1，θ>0，X?,X?,…,X?為樣本。（1）求θ的矩估計量；（2）求θ的極大似然估計量；（3）判斷（1）中矩估計是否為無偏估計。2.某公司聲稱其產(chǎn)品的平均使用壽命不低于5000小時?，F(xiàn)隨機抽取25件產(chǎn)品，測得平均壽命為4800小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為600小時。假設(shè)產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布，α=0.05，檢驗該公司的聲稱是否成立（t?.??(24)=1.711）。3.為研究廣告投入（X，萬元）與銷售額（Y，萬元）的關(guān)系，收集到10組數(shù)據(jù)，計算得：ΣX?=50，ΣY?=800，ΣX?2=300，ΣY?2=70000，ΣX?Y?=4500。（1）求一元線性回歸方程?=β??+β??X；（2）計算判定系數(shù)R2，并說明其含義；（3）檢驗回歸系數(shù)β??的顯著性（α=0.05，t?.???(8)=2.306）。五、證明題（每題10分，共20分）1.設(shè)X?,X?,…,X?為來自總體X的簡單隨機樣本，E(X)=μ，Var(X)=σ2，證明樣本均值X?是μ的無偏估計，且Var(X?)=σ2/n。2.在一元線性回歸模型Y?=β?+β?X?+ε?中，ε?~N(0,σ2)且相互獨立，證明殘差和Σê?=0，其中ê?=Y????。答案一、選擇題1.A（指數(shù)分布E(X)=1/λ，矩估計λ?=1/X?=1/1200）2.B（Y=2X-3，均值2μ-3，方差4σ2）3.A（第一類錯誤為“棄真”）4.B（最小二乘估計滿足正規(guī)方程ΣX?(Y????)=0）5.B（AR(p)模型平穩(wěn)條件為特征方程所有根的絕對值大于1）二、填空題1.X?/n（B(n,p)的E(X)=np，極大似然估計p?=X?/n）2.(5?1.96×2/3,5+1.96×2/3)=(3.707,6.293)（σ已知，置信區(qū)間X?±Zα/2×σ/√n）3.無偏（泊松分布方差等于均值，樣本方差是總體方差的無偏估計）4.組間離差平方和；組內(nèi)離差平方和（SSA反映組間差異，SSE反映隨機誤差）5.0.08（E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5，E(Y)=0×0.3+1×0.7=0.7，E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.3+1×0×0.1+1×1×0.4=0.4，Cov(X,Y)=0.4?0.5×0.7=0.05？需重新計算：聯(lián)合分布中，X=0時Y=0概率0.2，Y=1概率0.3；X=1時Y=0概率0.1，Y=1概率0.4。則P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.5；P(Y=0)=0.3，P(Y=1)=0.7。E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5；E(Y)=0×0.3+1×0.7=0.7；E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.3+1×0×0.1+1×1×0.4=0.4；Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0.4?0.5×0.7=0.4?0.35=0.05，原計算錯誤，正確答案應(yīng)為0.05）三、簡答題1.核心內(nèi)容：獨立同分布的隨機變量序列，若其均值和方差存在，則當(dāng)樣本量n→∞時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)化變量趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。作用：為大樣本下非正態(tài)總體的均值推斷提供理論依據(jù)（如構(gòu)造置信區(qū)間、假設(shè)檢驗）。2.矩估計法：用樣本矩估計總體矩，思想是“樣本矩近似總體矩”。優(yōu)點：計算簡單，不依賴分布形式；缺點：可能丟失部分信息，效率較低。極大似然估計法：尋找使樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值，思想是“概率最大的參數(shù)最合理”。優(yōu)點：充分利用分布信息，漸近最優(yōu)；缺點：計算復(fù)雜，可能存在多個解。3.p值是在原假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)當(dāng)前樣本或更極端樣本的概率。決策規(guī)則：若p值≤α（顯著性水平），拒絕原假設(shè)；否則不拒絕。p值越小，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強。4.R2=SSR/SST=1?SSE/SST，其中SSR為回歸平方和，SST為總平方和。意義：表示因變量Y的變異中能被回歸模型解釋的比例，取值在[0,1]，R2越接近1，模型擬合效果越好。四、計算題1.（1）E(X)=∫?1x·θx^(θ?1)dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令X?=θ/(θ+1)，解得θ?_矩=X?/(1?X?)。（2）似然函數(shù)L(θ)=Πθx?^(θ?1)=θ?(Πx?)^(θ?1)，取對數(shù)得lnL=nlnθ+(θ?1)Σlnx?。求導(dǎo)得d(lnL)/dθ=n/θ+Σlnx?=0，解得θ?_MLE=?n/Σlnx?。（3）E(θ?_矩)=E[X?/(1?X?)]。由于X?=θ/(θ+1)+o(1/n)（依概率收斂），但嚴(yán)格計算E[X?/(1?X?)]≠θ，故矩估計是有偏的。2.假設(shè)H?:μ≥5000，H?:μ<5000（單側(cè)檢驗）。檢驗統(tǒng)計量t=(X??μ?)/(S/√n)=(4800?5000)/(600/5)=?200/120≈?1.667。臨界值t?.??(24)=?1.711（左側(cè)檢驗）。由于?1.667>?1.711，不拒絕H?，即認為公司聲稱成立。3.（1）β??=(nΣX?Y??ΣX?ΣY?)/(nΣX?2?(ΣX?)2)=(10×4500?50×800)/(10×300?502)=(45000?40000)/(3000?2500)=5000/500=10。β??=??β??X?=800/10?10×(50/10)=80?50=30?；貧w方程：?=30+10X。（2）SST=Σ(Y???)2=ΣY?2?(ΣY?)2/n=70000?8002/10=70000?64000=6000。SSR=β??2[ΣX?2?(ΣX?)2/n]=102×(300?250)=100×50=5000。R2=SSR/SST=5000/6000≈0.833，說明銷售額變異的83.3%可由廣告投入解釋。（3）SSE=SST?SSR=1000，MSE=SSE/(n?2)=1000/8=125。β??的標(biāo)準(zhǔn)差s(β??)=√[MSE/(ΣX?2?nX?2)]=√[125/500]=√0.25=0.5。t=β??/s(β??)=10/0.5=20>2.306，拒絕H?:β?=0，回歸系數(shù)顯著。五、證明題1.E(X?)=E[(X?+…+X?)/n]=(1/n)(E(X?)+…+E(X?))=(1/n)(nμ)=μ，故無偏。Var(X?)=Var[(X?+…+X?)/n]