2025高中三年級(jí)數(shù)學(xué)春季卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.若集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|ax=1},則A∩B={1,2}的一個(gè)可能值是(A)a=1(B)a=-1(C)a=1/2(D)a=-1/22.復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2-i(i為虛數(shù)單位)，則|z|等于(A)√2(B)2(C)√5(D)√103.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于直線x=π/6對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是(A)f(x)的最小正周期為π(B)f(x)在區(qū)間[0,π/3]上單調(diào)遞增(C)f(x)的圖像可由y=sin(2x)的圖像向左平移π/3得到(D)f(x)在x=π/3處取得最大值4.“x>1”是“x2>1”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件5.從5名男生和4名女生中隨機(jī)選出3人參加活動(dòng)，則選出的3人中恰好有1名女生的概率為(A)5/12(B)1/2(C)5/8(D)3/86.已知向量a=(1,k),b=(-1,2)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為(A)-2(B)-1/2(C)2(D)1/27.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a等于(A)3(B)-3(C)2(D)-28.在等差數(shù)列{a?}中，a?=2,公差d=-1/2，則a?+a?等于(A)0(B)1(C)-1(D)-29.圓心為C(1,2)，半徑為r=√5的圓關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的圓的方程是(A)(x-2)2+(y-1)2=5(B)(x+2)2+(y+1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=5(D)(x+1)2+(y+2)2=510.在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，AA?=2，則直線A?C與平面ABC所成角的正弦值等于(A)√3/2(B)1/2(C)√2/2(D)1/√2二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.若x∈?且滿足x+|x|≥2，則x的取值范圍是__________。12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為__________。13.已知函數(shù)f(x)=e?+ln(x+1)，則f'(0)=__________。14.設(shè)橢圓C:x2/9+y2/4=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若|PF|=2，則點(diǎn)P到橢圓短軸端點(diǎn)的距離為__________。15.在數(shù)列{a?}中，a???=a?+2n(n∈?*，n≥1)，且a?=2，則a??的值為__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3，其中a∈?。(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若方程f(x)=0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有解，求a的取值范圍。17.(本小題滿分12分)已知向量a=(m,1),b=(1,2m-1)。(1)若a//b，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若a⊥b，求向量a+b的模長(zhǎng)。18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列，a?=6，a?=162。(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b?=log?(a?+1)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?。19.(本小題滿分14分)已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0。(1)求圓C的圓心和半徑；(2)直線l:y=kx-3與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且AB=2√3，求實(shí)數(shù)k的值。20.(本小題滿分15分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足2b=√3a+√3c。(1)求角B的大小；(2)若sinA=1/2，且△ABC的面積S=√3/2，求邊b的長(zhǎng)。21.(本小題滿分15分)已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中點(diǎn)。(1)證明：平面ABE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PC-D的余弦值。---試卷答案1.C2.B3.A4.A5.A6.C7.A8.B9.A10.B11.[1,+∞)12.1/1213.214.√515.249816.解析：(1)f(x)=(x-a)2+3-a2。對(duì)稱軸x=a。f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，需a≤1。故a的取值范圍是(-∞,1]。(2)方程f(x)=0在(-1,1)內(nèi)有解，即Δ=4a2-12≥0且-1<a<1或1<a<3或f(-1)>0且f(1)>0。解得-√3<a<-1或1<a<√3或(1-√3)(1+√3)>0且(1-a)2+3-a2>0。即-√3<a<-1或1<a<√3或0<a<2。綜上，a的取值范圍是(-√3,-1)∪(1,√3)∪(0,2)。17.解析：(1)a//b，則m(2m-1)-1×1=0，解得m=1或m=-1/2。(2)a⊥b，則m+(2m-1)=0，解得m=1/3。向量a+b=(m+1,2m)=(4/3,7/3)。|a+b|=√((4/3)2+(7/3)2)=√(16/9+49/9)=√(65/9)=√65/3。18.解析：(1)設(shè)公比為q。a?=a?q3=6q3。由a?=162，得6q3=162，解得q3=27，故q=3。a?=a?q=a?×3=6，得a?=2。通項(xiàng)公式a?=a?q??1=2×3??1=2×3??1。(2)b?=log?(a?+1)=log?(2×3??1+1)=log?(2×3??1+3?)。S?=b?+b?+...+b?=log?(2×3?+1)+log?(2×31+1)+...+log?(2×3??1+1)=log?[(2×3?+1)(2×31+1)×...×(2×3??1+1)]。令T?=(2×3?+1)(2×31+1)...(2×3??1+1)=(2+1)(2×3+1)...(2×3??1+1)。則(1/2)T?=(1+1/2)(1+1/3)...(1+1/3??1)。兩式相乘，得(1+1/2)T?=(2+1)(1+1/2)...(1+1/3??1)。(1/2)T?=3×(1/2)T??1。T?/T??1=6。T?=T?×6??1。T?=(2×3?+1)=3。T?=3×6??1。S?=log?(3×6??1)=log?(3)+log?(6??1)=1+n-1=n。19.解析：(1)圓C:(x-2)2+(y+3)2=16。圓心為(2,-3)，半徑為r=4。(2)將y=kx-3代入x2+y2-4x+6y-3=0，得x2+(kx-3)2-4x+6(kx-3)-3=0，即(1+k2)x2+(-4+6k)x+(-18+9k)=0。設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?)。由韋達(dá)定理，x?+x?=(4-6k)/(1+k2)，x?x?=(9k-18)/(1+k2)。|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√{[(4-6k)/(1+k2)]2-4(9k-18)/(1+k2)}=√(1+k2)√{[16-48k+36k2]/(1+k2)2-[36k-72]/(1+k2)}=√(1+k2)√{[16-48k+36k2-36k+72]/(1+k2)2}=√(1+k2)√[(36k2-84k+88)/(1+k2)2]=√(36k2-84k+88)/|k2+1|。由|AB|=2√3，得(36k2-84k+88)/(k2+1)=12。整理得24k2-84k+76=0，即12k2-42k+38=0。解得k=(21±√(441-4×12×38))/24=(21±√(441-1824))/24=(21±√(-1383))/24。此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。因此，不存在實(shí)數(shù)k使得直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且AB=2√3。20.解析：(1)由2b=√3a+√3c，兩邊平方得4b2=3(a2+c2+2ac√3cosB)。由余弦定理，a2+c2-2ac√3cosB=b2。代入上式得4b2=3[b2+2ac√3cosB]。4b2=3b2+6ac√3cosB。b2=6ac√3cosB。由正弦定理，b/sinB=a/sinA=c/sinC。設(shè)a/sinA=c/sinC=2k。則a=2ksinA，c=2ksinC。代入b2=6ac√3cosB得(2ksinB)2=6(2ksinA)(2ksinC)√3cosB。sin2B=12k2sinAsinCcosB。由sin(A+C)=sinB，得sin2B=12k2sinBsinCcosB(sinB≠0)。12k2sinCcosB=12k2cosB。sinC=cosB=sin(π/2-B)。A+C=π-B。π-B=2B(因?yàn)閟inC=sin(π-C))。B=π/3。故角B的大小為π/3。(2)sinA=1/2，得A=π/6或5π/6。若A=π/6，由B=π/3，得C=π-A-B=π-π/6-π/3=π/2?！鰽BC是直角三角形，a2+b2=c2。面積S=(1/2)ab。由sinA=1/2，得a=c/2。代入S=√3/2，得(1/2)(c/2)b=√3/2，即cb=2√3。由勾股定理，(c/2)2+b2=c2，即c2/4+b2=c2，得b2=3c2/4。代入cb=2√3得c(3c/4)^(1/2)=2√3，c(3/4)^(1/2)c^(1/2)=2√3，(3/4)^(1/2)c^(3/2)=2√3，(3/4)^(1/2)c^(3/2)=(4/4)^(1/2)2^(1/2)√3，(2/4)^(1/2)c^(3/2)=(2/4)^(1/2)2^(1/2)√3，(1/2)^(1/2)c^(3/2)=(1/2)^(1/2)2^(1/2)√3，c^(3/2)=2^(1/2)√3/(1/2)^(1/2)=2^(1/2)√3/2^(-1/2)=2^(1/2+1/2)√3=2√3。得c=(2√3)^(2/3)=2^(2/3)3^(1/3)2^(1/3)=2^(1/3)3^(1/3)2=2^(4/3)3^(1/3)。b2=3c2/4=3(2^(4/3)3^(1/3))2/4=3(2^(8/3)3^(2/3))/4=3×2^(8/3)3^(2/3)/22=3×2^(8/3-2)3^(2/3)=3×2^(2/3)3^(2/3)=3×6^(2/3)。b=√(3×6^(2/3))=√3×6^(1/3)。若A=5π/6，由B=π/3，得C=π-A-B=π-5π/6-π/3=-π/2。不合題意。故邊b的長(zhǎng)為√3×6^(1/3)。21.解析：(1)證明：取PC中點(diǎn)F，連接AF,EF。由PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，得PA⊥AB，AD⊥AB。AB⊥平面PAD，AB⊥PA。又AD⊥AB，AD⊥平面ABE。AF是PC的中線，AF⊥PC。又AD⊥平面ABE，AF?平面ABE。AF⊥平面PCD。EF是△PCD的中線，EF//CD。CD⊥平面PAD，EF//CD，EF⊥平面PAD。AF⊥平面PCD，EF⊥平面PAD，AF與EF所成角為∠FAE?！螰AE是二面角A-PC-D的平面角。在△PAF中，PA=2，PF=PC/2=1，AF=√(PA2+PF2)=√(22+12)=√5。由PA⊥PF，AF⊥平面PEF。在△FAE中，EF⊥平面PEF，AF⊥EF。∠FAE=90°。故平面ABE⊥平面PCD。(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PC于G，連接BG。由(1)知平面ABE⊥平面PCD，AG⊥PC，得AG⊥平面PCD?！螦BG是直線AB與平面PCD所成角。在△ABE中，AB=1，AE=√(AE2+EE2)=√(22+12)=√5。由(1)知平面ABE⊥平面PCD，AG⊥PC，EF//CD，EF⊥平面PAD，AF⊥EF