計(jì)算機(jī)編程高手進(jìn)階：2026年算法題庫2026年算法題庫：動(dòng)態(tài)規(guī)劃專項(xiàng)（共5題，每題20分）題目1（20分）問題描述：給定一個(gè)由正整數(shù)組成的數(shù)組`nums`和一個(gè)正整數(shù)`target`，現(xiàn)需找到數(shù)組中不重疊的子數(shù)組，使得這些子數(shù)組的和之和最接近`target`。不重疊指任意兩個(gè)子數(shù)組的交集為空。返回最接近`target`的子數(shù)組和之和。如果有多個(gè)解，返回最小的和。示例：輸入：`nums=[1,2,3,4,5]`,`target=8`輸出：`9`解釋：可以選擇子數(shù)組`[2,3,4]`（和為9）和`[5]`（和為5），總和為14，但不如`[2,3,4]`和`[5]`的子數(shù)組總和9更接近8。要求：-時(shí)間復(fù)雜度：O(n2)-空間復(fù)雜度：O(n)題目2（20分）問題描述：在一個(gè)由`mxn`網(wǎng)格表示的城市中，每個(gè)格子有一個(gè)權(quán)值`grid[i][j]`?，F(xiàn)需找到一條從左上角`(0,0)`到右下角`(m-1,n-1)`的非降序路徑（即每一步只能向右或向下移動(dòng)，且路徑上的權(quán)值嚴(yán)格遞增）。返回所有可能路徑中的最大權(quán)值和。示例：輸入：`grid=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`輸出：`30`解釋：路徑`[1,2,3,6,9]`的權(quán)值和最大，為30。要求：-時(shí)間復(fù)雜度：O(mn2^k)，其中`k`為路徑長度-空間復(fù)雜度：O(mnk)題目3（20分）問題描述：給定一個(gè)字符串`s`和一個(gè)正整數(shù)`k`，現(xiàn)需將`s`分割成若干子串，每個(gè)子串的長度為`k`，且所有子串的字符頻率相同（即每個(gè)字符在所有子串中的出現(xiàn)次數(shù)相同）。返回最少需要分割的子串?dāng)?shù)量。如果無法分割，返回`-1`。示例：輸入：`s="aabbaa"`,`k=2`輸出：`3`解釋：可以分割為`["aa","bb","aa"]`，每個(gè)子串的字符頻率相同。要求：-時(shí)間復(fù)雜度：O(nk)-空間復(fù)雜度：O(k)題目4（20分）問題描述：給定一個(gè)由`0`和`1`組成的二維矩陣`mat`，現(xiàn)需找到一個(gè)不重疊的子矩陣，使得該子矩陣中`1`的數(shù)量最多。不重疊指任意兩個(gè)子矩陣的交集為空。返回最多`1`的數(shù)量。示例：輸入：`mat=[[1,0,1],[1,1,1],[0,1,0]]`輸出：`4`解釋：可以選擇子矩陣`[[1,1],[1,1]]`，`1`的數(shù)量為4。要求：-時(shí)間復(fù)雜度：O(mn64)，假設(shè)矩陣大小為mn-空間復(fù)雜度：O(mn)題目5（20分）問題描述：給定一個(gè)由正整數(shù)組成的數(shù)組`nums`和一個(gè)正整數(shù)`k`，現(xiàn)需找到一個(gè)不重疊的子數(shù)組，使得該子數(shù)組的最長連續(xù)遞增子數(shù)組的長度至少為`k`。返回該子數(shù)組的和。示例：輸入：`nums=[1,2,3,2,2,2,5,1,2]`,`k=3`輸出：`12`解釋：可以選擇子數(shù)組`[3,2,2,2,5]`，其中最長連續(xù)遞增子數(shù)組為`[3,2,2,2,5]`，長度為5>=3，且和為12。要求：-時(shí)間復(fù)雜度：O(n)-空間復(fù)雜度：O(1)答案與解析答案1解析：動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路：1.定義`dp[i][j]`表示前`i`個(gè)元素中不重疊子數(shù)組的和之和最接近`target`的值。2.遍歷所有可能的子數(shù)組，記錄不重疊的子數(shù)組和，并更新最接近`target`的值。3.使用前綴和優(yōu)化計(jì)算子數(shù)組和，避免重復(fù)計(jì)算。代碼核心：pythondefclosest_sum(nums,target):n=len(nums)prefix=[0](n+1)foriinrange(n):prefix[i+1]=prefix[i]+nums[i]dp=[float('inf')](n+1)dp[0]=0foriinrange(n):forjinrange(i+1,n+1):current_sum=prefix[j]-prefix[i]forkinrange(i,j):temp_sum=current_sum+dp[k-1]ifabs(temp_sum-target)<abs(dp[j]-target):dp[j]=temp_sumelifabs(temp_sum-target)==abs(dp[j]-target)andtemp_sum<dp[j]:dp[j]=temp_sumreturndp[n]答案2解析：動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路：1.定義`dp[i][j]`表示從`(0,0)`到`(i,j)`的非降序路徑的最大權(quán)值和。2.遍歷每個(gè)格子，根據(jù)只能向右或向下移動(dòng)的規(guī)則，更新`dp`數(shù)組。3.由于路徑必須嚴(yán)格遞增，需要記錄前一個(gè)格子的權(quán)值是否滿足遞增條件。代碼核心：pythondefmax_path_sum(grid):m,n=len(grid),len(grid[0])dp=[[0]nfor_inrange(m)]dp[0][0]=grid[0][0]foriinrange(m):forjinrange(n):ifi==0andj==0:continueifi>0andgrid[i][j]>grid[i-1][j]:dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]+grid[i][j])ifj>0andgrid[i][j]>grid[i][j-1]:dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j])returnmax(max(row)forrowindp)答案3解析：貪心+前綴和思路：1.統(tǒng)計(jì)字符串中每個(gè)字符的頻率，若無法整除，直接返回`-1`。2.使用前綴和方法記錄每個(gè)子串的字符頻率，確保所有子串的字符頻率相同。3.動(dòng)態(tài)調(diào)整分割點(diǎn)，最小化分割數(shù)量。代碼核心：pythonfromcollectionsimportCounterdefmin_partitions(s,k):count=Counter(s)total=len(s)//kifany(v%totalforvincount.values()):return-1freq=[0]kforcincount:freq[count[c]//total]+=1partitions=0foriinrange(k-1,-1,-1):iffreq[i]==0:continuepartitions+=freq[i]freq[i-1]+=freq[i]//2freq[i]%=2returnpartitions答案4解析：動(dòng)態(tài)規(guī)劃+哈希表思路：1.定義`dp[i][j]`表示以`(i,j)`為右下角的子矩陣中`1`的數(shù)量。2.使用哈希表記錄每個(gè)子矩陣的`1`的數(shù)量，避免重復(fù)計(jì)算。3.遍歷所有可能的子矩陣，更新最大`1`的數(shù)量。代碼核心：pythondefmax_ones_submatrix(mat):m,n=len(mat),len(mat[0])dp=[[0]nfor_inrange(m)]foriinrange(m):forjinrange(n):ifmat[i][j]==1:dp[i][j]=dp[i-1][j]+1ifi>0else1max_sum=0foriinrange(m):forjinrange(n):min_height=float('inf')forkinrange(i,-1,-1):ifdp[k][j]==0:breakmin_height=min(min_height,dp[k][j])max_sum=max(max_sum,min_height(i-k+1))returnmax_sum答案5解析：貪心+滑動(dòng)窗口思路：1.遍歷數(shù)組，記錄當(dāng)前連續(xù)遞增子數(shù)組的長度。2.若長度>=`k`，則計(jì)算當(dāng)前子數(shù)組的和，并更新最大和。3.若不滿足，則移動(dòng)窗口繼續(xù)遍歷。代碼核心：pythondefmax_sum_with_inc_subarray(nums,k):max_sum=0current_sum=0current_len=0start=0foriinrange(len(nums)):ifi>0andnums[i]