安徽省馬鞍山市含山中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．（文科）已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),為圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是A.3 B.5C. D.4．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第十層球的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.1106．已知數(shù)列滿足，，令，若對(duì)于任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.8．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它的體積為（）A. B.C. D.9．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡(jiǎn)得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)10．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.6411．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績(jī)，回答者對(duì)說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線AD1與B1D所成角的余弦值為__.14．若，，都為正實(shí)數(shù)，，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______15．函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則___________.16．計(jì)算：________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：是等腰直角三角形.18．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)19．（12分）已知直線，直線，直線（1）若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形20．（12分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.21．（12分）從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，A是橢圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線AP的斜率為，若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)方程表示橢圓，且2，再判斷必要不充分條件即可.【詳解】解：方程表示橢圓滿足，解得，且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B2、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A3、A【解析】數(shù)形結(jié)合分析可得,當(dāng)時(shí)能夠取得的最小值,根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),結(jié)合圖象可知當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)能使點(diǎn)到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.4、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B5、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來，第層有個(gè)球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個(gè)球；第二層有個(gè)球；第三層有個(gè)球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個(gè)球設(shè)第層的小球個(gè)數(shù)為，則有：故第十層球的個(gè)數(shù)為：故選：6、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用裂項(xiàng)相消法，累加法求出，可得，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對(duì)于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D7、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時(shí)，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化8、C【解析】由幾何關(guān)系先求出一個(gè)正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，連接，由幾何關(guān)系知，，則正八面體體積為.故選：C9、D【解析】①：根據(jù)軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔儯源匠滩蛔?，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此本命題正確；④：，因?yàn)?，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A11、D【解析】求出函數(shù)在時(shí)值的集合，函數(shù)在時(shí)值的集合，再由已知并借助集合包含關(guān)系即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，于是得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D12、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.14、##【解析】利用等比中項(xiàng)及條件可得，進(jìn)而可得，再利用基本不等式即得.【詳解】∵，，都為正實(shí)數(shù)，，，成等比數(shù)列，∴，又，∴，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故答案為：.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點(diǎn)在切線上可得.【詳解】因?yàn)榍芯€的斜率為，所以，又切點(diǎn)在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理得，再的中點(diǎn)為，證明，進(jìn)而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因?yàn)椋驶蛟O(shè)，所以設(shè)向量，所以，所以，即，設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.所以，所以，所以是等腰直角三角形.18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（1）（2）0，，.【解析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)題意，分別討論與垂直，與垂直，與垂直求解，并檢驗(yàn)即可得答案【小問1詳解】解：因?yàn)榕c的傾斜角互補(bǔ)，所以，直線變形為，故所以，解得【小問2詳解】解：由題意，若和垂直可得：，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，構(gòu)不成三角形，當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故m的值為：0，，.20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn).所以且又因?yàn)?，，所以且，故四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)檎切?，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又，所以平?【小問2詳解】如圖，過作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，則平面因?yàn)椋?，，所?所以所求幾何體體積為21、（1）（2）18【解析】（1）易得，，進(jìn)而有，再結(jié)合已知即可求解；（2）由（1）易得直線AP的方程為，，設(shè)與直線AP平行的直線方程為，由題意，當(dāng)該直線與橢圓相切時(shí)，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時(shí)的面積取得最大值，將代入橢圓方程，聯(lián)立即可得與AP距離比較遠(yuǎn)的切線方程，從而即可求解.【小問1詳解】解：由題意，將代入橢圓方程，得，又∵，∴，化簡(jiǎn)得，解得，又，，所以，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】解：由（1）知，直線AP的方程為，即，設(shè)與直線AP平行的直線方程為，由題意，當(dāng)該直線與橢圓相切時(shí)，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時(shí)的面積取得最大值，將代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，由，即，解得，所以與AP距離比較遠(yuǎn)的切線