2026屆甘肅省天水市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.2．已知直線過(guò)點(diǎn)，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.24．若，則=（）A.244 B.1C. D.5．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)6．下列說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；③回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；④如果兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.7．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.9．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.11．中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則（）A. B.C. D.12．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.15．若x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.16．過(guò)點(diǎn)，且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；（2）過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來(lái)自甲班的概率.21．（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由）22．（10分）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率之積.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程；（2）若是上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A2、D【解析】根據(jù)題意和直線的點(diǎn)方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，由直線的點(diǎn)方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D3、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€與互相垂直，所以，故選：B4、D【解析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.5、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B6、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)的概念逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，①正確；對(duì)于②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；故②正確；對(duì)于③，線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，回歸直線不一定就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線，也可能不過(guò)任何一個(gè)點(diǎn)；③不正確；對(duì)于④，如果兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于；綜上，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是；故選：C.7、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則不等式不成立；對(duì)于B，若，則不等式不成立；對(duì)于C，若均為負(fù)值，則不等式不成立；對(duì)于D，不等號(hào)的兩邊同乘負(fù)值，不等號(hào)的方向改變，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.9、C【解析】先令函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由對(duì)稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當(dāng)；當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對(duì)稱性可知，.故選：C10、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.11、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.12、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍遥?，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈?，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝414、【解析】首先對(duì)求導(dǎo)，可得，令，解可得答案【詳解】解：由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.15、##【解析】作出可行域，進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最小值.聯(lián)立，則最小值為.故答案為：.16、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長(zhǎng)一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋以谔幦〉脴O值，所以，即，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，所以，得.【小問(wèn)2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時(shí)取得極大值為，在時(shí)取得極小值為，因?yàn)楫?dāng)大于0趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，所以當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有且只有三個(gè)零點(diǎn).18、（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令、解出對(duì)應(yīng)的解集，結(jié)合定義域即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)將不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)分別在、時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋之?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，即，令，有，，若，在上恒成立.則在上為減函數(shù)，所以有若，由，可得，則在上增，所以在上存在使得，與題意不符合綜上所述，.19、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線的方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（2）設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】由已知條件得直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，由直線的方程為可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足拋物線，則點(diǎn)是否在拋物線上；【小問(wèn)2詳解】設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來(lái)自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來(lái)自甲班的概率為21、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取得中點(diǎn)，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側(cè)棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側(cè)棱底面，，，平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，利用向量求線面角、柱體的定義應(yīng)用和表面積的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題22、（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知列式即可作答.(