/北京市昌平區(qū)部分中學2025?2026學年上學期九年級十二月月考數學試卷一、單選題1．下列科技大會主標識中，是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．已知，，下列結論中正確的是（

）．A． B． C． D．3．已知關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍為（

）．A．或 B．或C．或 D．或4．北京市在一段時間內新生兒中女孩的出生率為，通州區(qū)在該期間內有4400名女孩出生，則通州區(qū)在該期間內新生兒數量約為（

）A．5500 B．6400 C．7400 D．80005．水是生命之源，它由兩個氫原子和一個氧原子構成．已知平均每毫升水中有個分子，則每毫升水中由個原子構成，則的值為（

）．A． B． C． D．6．欲證明右圖四邊形為菱形，下列條件中錯誤的是（

）A．且， B．，C． D．且，7．在平面直角坐標系中，點滿足條件：①，②同時為整數，符合要求的點有（

）A．0個 B．4個 C．6個 D．8個8．在等邊中，分別是邊上的點，滿足，連接，下列說法正確的有（

）①是等邊三角形②若，則的最小值為2③是中點，連接，若，則④作交于，則四點共圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．函數中，自變量的取值范圍為．10．每年10月至11月是體檢季，某學校對全體學生進行體檢．其中某班40人的視力情況如下，則全年級600人中視力在的人數為．4.3以下4.9以上48139611．一元二次方程的兩根為其中，則的值為．12．已知中，，，，則長為．13．寫出一個初中數學中的真命題，滿足其逆命題也是真命題．14．如圖是小云畫的一個電路圖，已知，移動滑動變阻器至一位置，此時干路電流．若總電壓，則的值為．15．如圖，四邊形中，，且，滿足關系，若，則的長為．16．某超市銷售四種包裝飲用水，銷售方式如下表所示：種類銷售方式礦泉水3元/瓶，12瓶起售，購買13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折純凈水每瓶2元，每滿30瓶送5瓶．堿性水25元/箱（10瓶），滿14箱送1箱，僅按箱售賣，不單獨售賣．酸性水32元/箱（12瓶），單獨售賣3元/瓶．（1）若小云需購買12瓶同種包裝飲用水，從劃算角度考慮，你推薦她購買．（2）小騰手中有100元，若要用完所有錢且購買包裝飲用水的總數最多（四種都要買）則購買量最多的水的種類為（以上兩空均填水種類的名稱）．三、解答題17．計算：．18．解不等式組：19．已知，求的值．20．線段的端點在直線上，點在直線上方，請根據題目要求，完成問題．（1）如圖1，在直線上取點使得的尺規(guī)作圖，依據圖1，完成證明步驟．在直線下方取點，以為圓心，為半徑畫弧交直線于點，分別以點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于上方于，作直線交直線于點．∵，（填已知條件）∴即．（）（填所學判定定理）（2）如圖2，用無刻度尺規(guī)在直線上找點使得，并簡述是如何找到的（無需證明）21．在平面直角坐標系中，組成矩形，直線與直線交于點．（1）求直線的解析式；（2）直線交矩形于不同的兩點，直接寫出的取值范圍．22．榫卯結構是中國古代建筑、家具及其他木制器械的連接技術，實現結構的精密穩(wěn)定結合．如圖是一把木椅的側視圖，其中，分別是的中點．木材選擇上，和用圓木，用橫木，支架用其他木材，其他木材總計，點用裝飾球連接，每個裝飾球．已知，如圖所示的截面面積為，截面面積為，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的總質量．23．《男生女生向前沖》是安徽衛(wèi)視的一檔大型水上沖關節(jié)目，沖關選手分男女賽道競賽，沖關成功的，將獲得大獎．每年年末該節(jié)目舉辦年度競速賽段，以2025年為例，分為廠牌賽1、2，半決賽，總決賽4個賽程．以下是選取的4名沖關選手的比賽成績（單位：）與賽程的折線統(tǒng)計圖：其中，為女生，為男生．衡量一位沖關選手的能力主要通過計算其4次比賽平均值、極差、方差等．因男女體能有別，為公平起見，定義“離散率”：即該場第一名的成績與一位選手的同場成績之差與該場第一名的成績的比值（單位：），這樣可以更好地確認其實力．引入分別為女生、男生當場第一名的成績．選手廠牌1廠牌2半決賽決賽選手平均值極差方差平均離散率（1）的值為（保留兩位小數）；方差越小，實力（是/不）一定越強；（2）結合平均數、極差，判斷女選手中最強（填“”或“”）；（3）規(guī)定極差越大，平均離散率越小，結合方差數據，從而判定選手實力越強，請你對的實力進行排序．24．如圖，是的直徑，為上一點，過點作的切線．于，點在上，也在的垂直平分線上，延長，與的平行線交于點．（1）求證：．（2）若，求的長．25．在數學中，幾何是優(yōu)美的，代數是可愛的，常常人們會把幾何和代數徹底分開，當作兩種不同的科目去研究，數學小組將要反駁這種觀點，他們嘗試將幾何和代數相結合，研究數學問題，培養(yǎng)數學思想，回歸數學本質．如圖是數學小組探究的問題：是等邊三角形，D是射線上一點，過點D作，連接，，連接，作于F，連接，探究，與之間的關系．同學借助幾何畫板得出了如下表的數據：0.000.421.102.002.943.472.691.310.000.332.001.742.323.473.924.007.459.9611.800.002.444.506.054.004.114.595.12（1）在下方給出的平面直角坐標系中，將，視為的函數，分別畫出圖象；（2）依據函數圖象，回答下列問題：①當時，的長為；②時，長的取值范圍為；在內，時，判斷是否為取值范圍內的最大值．26．在平面直角坐標系中，拋物線過點，，拋物線交軸于點，是軸上的動點．（1）求該拋物線解析式和直線的解析式；（2）點從點以每秒一個單位長度的速度出發(fā)，過點作軸的垂線，交直線于點，交該拋物線于點，經過秒后，，，，組成平行四邊形，求的所有取值及相應的點的運動方向．27．在中，，，是延長線上一點，連接，過點作于E，取中點，將線段繞點順時針旋轉度得到線段，連接．（1）如圖1，點與點重合，，求證：；（2）如圖2，若，用等式表示與的數量關系，并證明．28．在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于平面內的點和的弦，給出如下定義：將線段繞點順時針旋轉度得到線段，則稱為關于點的“旋轉弦”（1）已知①已知，，關于點的“旋轉弦”是，此時的值為；②若線段為關于點的“旋轉弦”，為線段上的任意一點，則點縱坐標的最大值為；（2）已知，的半徑為1，線段是關于點的“旋轉弦”，滿足，且線段與軸有交點，直接寫出的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項符合題意；B．不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；C．不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項不符合題意．故選A．2．【正確答案】D【分析】本題考查不等式，掌握好不等式的性質是解題關鍵．先判斷a、b、c的符號，再逐一判斷選項即可．【詳解】解：∵，，∴，對于A，，，則，故A錯誤；對于B，，則，故B錯誤；對于C，由和得，，變形得，，故C錯誤；對于D，，則，結合，因此，故D正確．故選D．3．【正確答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和根的判別式，掌握好判別式的計算公式是解題關鍵．一元二次方程有兩個實數根需滿足判別式非負且二次項系數不為零．【詳解】解：方程的判別式，∵有兩個實數根，∴且，即，化簡得，，∴，當時，兩邊同除以得，，即，∵，∴，當時，兩邊同除以得，，即，∵，∴綜上所述，或．故選A．4．【正確答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設總新生兒數量為x，根據題意列出方程，即可解答．【詳解】解：設總新生兒數量為x，則可得，解得，所以通州區(qū)在該期間內新生兒數量約為8000人．故選D．5．【正確答案】C【分析】本題考查科學記數法，掌握好科學記數法的使用規(guī)范是解題關鍵．用科學記數法表示較大的數，表示形式為，其中，為整數；1個水分子中含有3個原子，故分子數乘以3即為的值．【詳解】解：∵一個分子由兩個氫原子和一個氧原子構成，∴．故選C．6．【正確答案】B【分析】本題主要考查了菱形的判定，解決本題的關鍵是根據菱形的判定定理進行判斷．菱形的判定定理有：四條邊相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【詳解】解：A選項：且，四邊形是平行四邊形，又，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可證四邊形是菱形，故A選項不符合題意；B選項：，，，，不能證明，不能證明四邊形是菱形，故B選項符合題意；C選項：，根據四條邊相等的四邊形是菱形，可證四邊形是菱形，故C選項不符合題意；D選項：且，四邊形是平行四邊形，又，根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可證四邊形是菱形，故D選項不符合題意．7．【正確答案】D【分析】本題考查了坐標，根據題意得到的值是解題的關鍵．根據且為整數，列舉出6的所有整數因子對即可．【詳解】解：∵，且為整數，∴x可取，相應，分別為,∴符合要求的點共有8個，故選D．8．【正確答案】C【分析】①由等邊三角形的性質可得，，進而由可以得到，由即可證明，得到，同理可得，即可證明是等邊三角形；②作交于M，設，根據三角形內角和得到，則，根據勾股定理得到，則，根據即可求出的最小值；③作交于N，設，則，根據平行線的性質得到，可證是等邊三角形，則，即，根據三線合一得到，根據全等三角形的性質得到，根據勾股定理得到，即，則，根據勾股定理得到，即可求出；④根據得到，得到，根據對角互補即可證明四點共圓．【詳解】解：①是等邊三角形，，，，，即，，，同理可得，，∴，，是等邊三角形，正確；②如圖，作交于M，設，∵，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴，即的最小值為2，正確；③如圖，作交于N，設，∵，，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，，∴，即，∵是中點，∴，∵，∴，∴，錯誤；④如圖，∵，∴，∴，即四點共圓，正確；故選C．9．【正確答案】且【分析】本題考查了函數自變量的取值范圍，分式有意義的條件，二次根式有意義的條件．函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0，且二次根式下被開方數需要大于等于0，可得答案．【詳解】解：由題意得：且，解得且.10．【正確答案】195【分析】本題考查了樣本估計總體，正確讀懂表格是解題的關鍵．根據班級視力分布，計算視力在的學生比例，再應用于全年級總人數．【詳解】解：班級總人數為40人，視力在4.5～4.7的人數為13人，所占比例為，人，所以全年級600人中視力在的人數為人.11．【正確答案】0【分析】本題考查了根與系數之間的關系，由根與系數的關系得和，代入判別式計算即可．【詳解】解：由題意知且，，.12．【正確答案】或【分析】本題考查解直角三角形與勾股定理，作垂線構造直角三角形是解題關鍵．作，垂足為D，根據點C在點D的左側還是右側進行分類討論，用解直角三角形和勾股定理計算出．【詳解】解：如圖，作，垂足為D，當點C在點D的左側時，∵，∴，在直角中，，，在直角中，，∴；當點C在點D的右側時，同理，，∴．13．【正確答案】兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了逆命題與真命題的知識，如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做另一個命題的逆命題．根據學過的真命題解答即可．【詳解】解：兩直線平行，同位角相等是真命題，它的逆命題為：同位角相等，兩直線平行也是真命題．14．【正確答案】【分析】本題考查了分式方程的應用，由電路圖可知，該電路為并聯電路，經過的支路電流與、經過的支路電流形成干路電流，根據設的電阻為，則、的電阻之和為，列出分式方程求解x的值即為所得結果．【詳解】解：由電路圖可知，該電路為并聯電路，經過的支路電流與、經過的支路電流形成干路電流，設的電阻為，則、的電阻之和為，由題意知，，解得，即的值為．15．【正確答案】1【分析】本題考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解題的關鍵是正確運用勾股定理建立方程求解．由題意可得為等腰直角三角形，設，則，然后在中運用勾股定理建立方程求解．【詳解】解：∵，，∴為等腰直角三角形，，設，∵，∴，∵，∴，∴，解得（舍負），∴.16．【正確答案】純凈水；礦泉水【分析】本題考查方案選擇問題，理解題意并正確計算是關鍵．（1）計算12瓶每種飲用水的總價，并進行比較；（2）由于酸性水單價較高，故先考慮只購買一瓶，然后考慮堿性水的數量．確定堿性水和酸性水購買數量后，根據剩余的錢，對礦泉水的購買數量進行分類討論，比較不同方案的購買總數，得出結論．【詳解】解：（1）若買礦泉水，共需元；若買純凈水，共需元；若買堿性水，則需要買2箱，共花費元，因需購買12瓶，故不符合題意；若買酸性水，剛好一箱，共需32元．∵，∴買純凈水；（2）設礦泉水購買a瓶，純凈水購買b瓶，堿性水購買c箱，酸性水購買d瓶，由題意可知，每種飲用水都要買，故，，，．酸性水單價較高，故只購買一瓶．當時，剩余元，①當時，則剩余元，全部買純凈水，可買瓶．所有飲用水的數量為瓶；②當時，礦泉水單價變?yōu)樵?，∴，∵和都是正整數，∴必須?0的倍數，又∵，∴，此時，所有飲用水數量為瓶；③當時，礦泉水單價變?yōu)樵?，∴，同理②可知，必須?的倍數，又∵，即，∴，此時，所有飲用水數量為瓶；④當時，，不滿足題意．當時，剩余元，⑤當時，則剩余元，無法全部購買純凈水，故買4瓶純凈水和多買1瓶酸性水．所有飲用水數量為瓶；⑥當時，由②可知，，∵，不滿足題意，∴當時，礦泉水無法購買超過12瓶．當時，最少購買量：，不滿足題意；綜上所述，方案③用完所有錢且購買包裝飲用水的總數最多，購買量最多的水的種類為礦泉水．17．【正確答案】【分析】本題考查實數的混合運算、零指數冪、負指數冪、二次根式和特殊三角函數值，掌握好相關的知識是關鍵．先將式子化簡，然后按照實數的混合運算法則進行計算．【詳解】解：，，．18．【正確答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：，解①得，解②得，所以原不等式組的解集為．19．【正確答案】【分析】本題考查因式分解，完全平方公式，已知式子的值求代數式的值等．根據題意因式分解得，又代入代數式即可得到本題答案．【詳解】解：，∵，即，∴．20．【正確答案】（1）；線段垂直平分線的判定定理．（2）見詳解【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識是解題的關鍵．（1）根據作圖過程和線段垂直平分線的判定與性質求解即可；（2）如圖：先用尺規(guī)作等邊，則，再用尺規(guī)作出，即，所以，即點Q即為所求．【詳解】（1）解：∵以為圓心，為半徑畫弧交直線于點，∴．∵以為圓心，為半徑畫弧交直線于點，分別以點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于上方于，作直線交直線于點．∴，∴是線段的垂直平分線，∴即．故；線段垂直平分線的判定定理．（2）解：如圖：點Q即為所求．由作圖可知：等邊，∴，由作圖可知：，∴，∴，即點Q即為所求．21．【正確答案】（1）（2）且或【分析】本題考查一次函數與幾何的綜合應用，熟練掌握數形結合和分類討論的思想是解題的關鍵：（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）根據直線與直線交于點，得到，分別求出直線經過兩點時的值，即可得出結果．【詳解】（1）解：設直線的解析式為，把代入，得，∴直線的解析式為；（2）由（1）知：直線的解析式為；∵直線與直線交于點，∴，當直線經過點時，則，解得，∴當且時，直線交矩形于不同的兩點；當直線經過點時，則，解得，∴當時，直線交矩形于不同的兩點；綜上：且或．22．【正確答案】一把木椅空架需要木材的總質量為【分析】本題考查了側視圖，柱體的體積，掌握相關知識點是解題的關鍵．先將平方厘米轉化為平方米，克轉化為千克，再分別計算出圓木、圓木、橫木的體積和質量，即可求解．【詳解】解：，，，是的中點，，，根據題意，可知圓木的體積為，質量為，圓木的體積是圓木的體積的一半，為，質量為，橫木的體積為，質量為，可知一把木椅空架需要2個圓木，2個圓木，4個橫木，8個裝飾球和支架，總質量為．答：一把木椅空架需要木材的總質量為．23．【正確答案】（1），不（2）（3）【分析】本題考查了求平均數，極差，方差的意義；（1）根據選手的四場比賽的成績求得平均數，再根據方差的意義，即可求解；（2）求得的極差，比較的平均成績與極差，即可求解；（3）首先比較平均離散率，再比較極差，結合方差數據，即可求解．【詳解】（1）解：，方差小表示數據穩(wěn)定，但實力強弱還取決于平均值，故方差小不一定實力強故，不．（2）解：選手的平均成績?yōu)椋?，極差為選手的平均成績，極差的平均成績更高，極差更小，故更強，故．（3）解：根據表格可知：：極差，平均離散率，方差：極差，平均離散率，方差：極差，平均離散率，方差：極差，平均離散率，方差平均離散率排序根據平均離散率大小排序為極差大小排序為方差大小排序為∴的實力進行排序從強到弱為24．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）根據垂直平分線的性質可得，根據等邊對等角可得，根據三角形的外角的性質可得，進而根據直徑所對的圓周角是直角可得，結合已知得出，進而根據直角三角形的兩個銳角互余，即可得證；（2）根據切線的性質可得，進而可得，結合已知得出，勾股定理求得，進而求得，解，求得，根據，即可求解．【詳解】（1）∵點在的垂直平分線上，∴，∴∴，又∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，即，（2）解：∵是的切線，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴又∵，設，則，在中，，∴，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．25．【正確答案】（1）作圖見詳解（2）①或，②或，否【分析】本題考查了函數圖象的應用．（1）根據題中表格數據及題意，以，的長為x，的長為y，將點坐標在平面直角坐標系中標出，再用平滑的曲線連接即可；（2）結合函數圖象與題中表格數據即可得出．【詳解】（1）解：如圖所示為所求：（2）解：①結合函數圖象可知，當時，即為和的函數圖象有交點時，此時函數有兩個交點，∴的長為或，故或；②根據函數圖象及題中表格數據可知，在和中，，在中，當時，在最高點0.33，即其為取值范圍內最大值，而時，的值約為0.31，不是取值范圍內最大值，∴此時不是取值范圍內最大的值，故或，否．26．【正確答案】（1）拋物線解析式為，直線的解析式為（2）時，點沿x軸正方向運動；，點沿x軸正方向運動；，點沿x軸負方向運動【分析】本題考查二次函數的性質與應用，一次函數的性質與應用以及平行四邊形的性質，利用平行四邊形對角線互相平分來構造方程組是解題關鍵．（1）將點坐標代入求出拋物線解析，然后求出點坐標，再使用待定系數法求出直線解析式；（2）先表示出點P和點Q的坐標，再分類討論四個點的順序，結合平行四邊形對角線互相平分來構造方程組，求出答案．【詳解】（1）解：將，；，，代入拋物線解析式得，，解得，，∴拋物線解析式為，令，則，∴點坐標為，設直線的解析式為，將，；，，代入直線解析式得，，解得，，∴直線解析式為；（2）∵點P、Q都在過點T的x軸的垂線上，∴，∵點P在直線上，點Q在拋物線上，∴點P的坐標為，點Q的坐標為，①當為平行四邊形對角線時，由平行四邊形的性質可知，對角線與互相平分，即中點重合，由中點公式可得，，此方程組無解，故舍去；②當為平行四邊形對角線時，同理可得，，解得，，∴，運動方向為x軸正方向；③當為平行四邊形對角線時，同理可得，，解得，，，當時，，運動方向為x軸正方向；當時，，運動方向為x軸負方向；綜上所述，時，點沿x軸正方向運動；，點沿x軸正方向運動；，點沿x軸負方向運動．27．【正確答案】（1）見詳解（2），見詳解【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及圓