/北京市房山區(qū)2025?2026學(xué)年上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則下列比例式正確的是（

）A． B． C． D．2．將二次函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．3．如果，那么的值是（

）A． B． C． D．4．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（－1，2） B．（－1，－2） C．（1，－2） D．（1，2）5．如圖，分別是的邊，上一點(diǎn)，則下列條件不能判定與相似的是（

）A． B．C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．7．如圖，是的中位線，與交于點(diǎn)．則與的面積比為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為，給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②（為任意實(shí)數(shù)）；③關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④連接，，若是等邊三角形，則．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④二、填空題9．若二次函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍是．10．如圖，直線，交于點(diǎn)O，．若，，，則的值為．11．在物理課上同學(xué)們?cè)鴮W(xué)過(guò)小孔成像（圖1）．如圖2，如果蠟燭火焰的高度為，倒立的像的高度為，小孔O到火焰的距離為，則小孔O到像的距離為，計(jì)算依據(jù)是．12．寫出一個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式，滿足：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則此函數(shù)表達(dá)式可以為（寫出一個(gè)即可）．13．拋物線上有一點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．在二次函數(shù)中，自變量x可以取任意實(shí)數(shù)，下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：x…012345…y…1.152.452.752.050.35…根據(jù)以上信息，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中，其中的一個(gè)根約等于（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；若拋物線上存在一點(diǎn)P，對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得以C，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．三、解答題17．如圖，與交于點(diǎn)O，，，，，求的長(zhǎng)．18．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）此二次函數(shù)圖象與x軸有________個(gè)交點(diǎn)．19．已知二次函數(shù)．（1）用配方法將其化為的形式；（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象（列表，描點(diǎn)，連線）；（3）這個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移運(yùn)動(dòng)，可以過(guò)原點(diǎn)．20．已知二次函數(shù)圖象如圖所示．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)________時(shí)，大于；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為________，最小值為________．21．如圖，中，平分，，，．（1）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求的長(zhǎng)．22．祈年殿是北京天壇的主體建筑（圖1）．曉宇和同學(xué)們?cè)趪?guó)慶放假期間，到天壇公園開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)．由于太陽(yáng)光近似于平行光線，所以他們計(jì)劃通過(guò)測(cè)量影子的方法來(lái)計(jì)算祈年殿的高度．如圖2所示，祈年殿的高為，測(cè)得其在地面上的影長(zhǎng)為37米．同一時(shí)刻，豎一根高度為1.9米的標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿的影長(zhǎng)為1.85米．（1）在圖中畫出此時(shí)在陽(yáng)光下的投影（提示：投影應(yīng)從點(diǎn)B開始，方向與標(biāo)桿影子一致）；（2）根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算祈年殿的實(shí)際高度．23．某學(xué)生在打羽毛球時(shí)、發(fā)現(xiàn)羽毛球在空中的飛行路線可看作拋物線的一部分（不考慮空氣阻力等因素），建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從點(diǎn)A處發(fā)球，羽毛球飛行過(guò)程中距離地面的高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下表：03690.702.052.502.05（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，羽毛球飛行過(guò)程中距離地面高度的最大值為________m；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式（不必求自變量x的取值范圍）；（3）當(dāng)對(duì)面另一名學(xué)生位于羽毛球正下方，羽毛球距離地面高度不大于他的最大擊球高度2.4m時(shí)，視為擊球成功．若對(duì)面這名學(xué)生位于羽毛球正下方時(shí)，，請(qǐng)問(wèn)他能否擊球成功？試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．24．如圖，點(diǎn)M是矩形的邊上一點(diǎn)，沿直線將翻折，使得點(diǎn)D落在邊上，記作點(diǎn)N．（1）求證：；（2）若與的相似比為，，求的長(zhǎng)．25．如圖，是的中線，E是上一點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．若，求的長(zhǎng)．26．在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若對(duì)于任意的，，總有，求m的取值范圍．27．在中，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，連接，直接寫出的大小，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．

28．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P和圖形W，給出如下定義：Q為圖形W上一點(diǎn)，直線與圖形W交于點(diǎn)（點(diǎn)P，Q，互不重合）．若，則稱點(diǎn)P為圖形W的“k倍伙伴點(diǎn)”（1）已知點(diǎn)，，．①在點(diǎn)，，中，________是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”；②若點(diǎn)P是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”，則的最大值為________．（2）已知點(diǎn)，，，，，，若線段上存在點(diǎn)P是四邊形的“3倍伙伴點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，如果或，那么，即比例的內(nèi)項(xiàng)之積與外項(xiàng)之積相等；反之，如果，那么或（）．由已知等式直接推導(dǎo)出比例式，逐一判斷即可．【詳解】解：A．由得，原比例式錯(cuò)誤；B．由得，原比例式正確；C．由得，原比例式錯(cuò)誤；D．由無(wú)法推導(dǎo)出，原比例式錯(cuò)誤；故選B．2．【正確答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的法則，“上加下減”，向上平移時(shí)在函數(shù)值上加相應(yīng)的單位即可．【詳解】解：∵將二次函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，∴新函數(shù)表達(dá)式為，故選A．3．【正確答案】B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，由比例的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．由已知比例關(guān)系可得的值，再代入所給代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選B．4．【正確答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的特征計(jì)算即可；【詳解】∵拋物線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2）；故選B．5．【正確答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故A能判定與相似，不符合題意；∵，，∴，故B能判定與相似，不符合題意；∵，條件未給出，∴不能判定，故C不能判定與相似，符合題意；∵，，∴，故D能判定與相似，不符合題意；故選C．6．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，掌握函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．令，分別求出二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可知都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：令二次函數(shù)，得，解得，，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為和，令一次函數(shù)，得，解得，一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，二次函數(shù)與一次函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)為，根據(jù)各選項(xiàng)圖象，可知選項(xiàng)A符合題目要求．故選A．7．【正確答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線的性質(zhì)．根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明得出，，設(shè)，則，，進(jìn)而表示出的面積，即可求解．【詳解】解：∵是的中位線，∴，∴∴，∴設(shè)，則，∴∴故選D．8．【正確答案】D【分析】根據(jù)拋物線對(duì)稱軸、函數(shù)的最值、拋物線與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)、等邊三角形邊與高的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)逐一判斷即可．【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，即：①正確；∵圖象有最低點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，最?。划?dāng)時(shí)，；∴，即：，即：②錯(cuò)誤；∵圖象開口向上，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴直線與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，③正確；∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴即：，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，∵在的右側(cè)，∴，∵，∴，即：，∵，∴，即：④正確；綜上：①③④正確；故D．9．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象開口向下，得二次項(xiàng)系數(shù)小于零，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴，解得.10．【正確答案】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，，由平行線分線段成比例可得．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴.11．【正確答案】10；相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．由相似三角形判定可得利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得點(diǎn)O到的距離．【詳解】解：由題意，，∴，∴相似比為，∴兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的高的比為，∴點(diǎn)O到的距離，計(jì)算的依據(jù)為：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比12．【正確答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則拋物線開口向下，且對(duì)稱軸在軸上或者軸左邊，據(jù)此求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向下，且對(duì)稱軸在軸上或者軸左邊，此函數(shù)表達(dá)式可以為（答案不唯一）.13．【正確答案】【分析】本題考查拋物線對(duì)稱軸及軸對(duì)稱：先求拋物線的對(duì)稱軸，再利用對(duì)稱性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：拋物線（）的對(duì)稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，解得，縱坐標(biāo)不變，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．【正確答案】3.1（答案不唯一）【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)觀察函數(shù)值符號(hào)變化確定根所在區(qū)間，并比較函數(shù)值的絕對(duì)值得到近似根。【詳解】解：從表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此方程的一個(gè)根在和之間，由于，所以根更接近，∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中，其中的一個(gè)實(shí)數(shù)根約等于.15．【正確答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，又∵，∴，∴∴∴∴∴∴∴16．【正確答案】；或或【分析】（1）令，代入拋物線求解可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）分情況討論，當(dāng)、、分別為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分列方程求解即可．本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)中平行四邊形存在問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分列方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）令，解得，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）令，解得或，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為；∵，∴設(shè)點(diǎn)，；當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，此時(shí)點(diǎn)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．17．【正確答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由，得，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，，，．18．【正確答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．熟悉利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）令，得到關(guān)于的方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）令，則，解得，∴此二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴此二次函數(shù)圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn).19．【正確答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）如：向左平移1個(gè)單位（答案不唯一）．【分析】（1）用配方法配方成頂點(diǎn)式即可；（2）寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算其與其它交點(diǎn)的坐標(biāo)，列表、描點(diǎn)，畫出圖象；（3）通過(guò)頂點(diǎn)式的平移的性質(zhì)，可解出答案，注意答案不唯一．【詳解】（1）解：（2）…………（3）①如果將二次函數(shù)上下平移，得到新的函數(shù)為：，將原點(diǎn)代入得：，，∴將二次函數(shù)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度；②如果將二次函數(shù)左右平移，得到新的函數(shù)為：，將原點(diǎn)代入得：，，，，∴將二次函數(shù)向左平移個(gè)或個(gè)單位長(zhǎng)度．故答案不唯一．20．【正確答案】（1）（2）或（3）；【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式．（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象，直接可以得出結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得：，解得：，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)圖象還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由圖象得：當(dāng)或時(shí)，，（3）∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴時(shí)，函數(shù)取得最大值為當(dāng)時(shí)，最小值為∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為，最小值為．21．【正確答案】（1），見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）由得，由平分得，故，可證；（2）由得，代入，解出的長(zhǎng)即可；本題主要考查了角平分線的定義和相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．證明：，，平分，，，．（2）解：，，，，，，．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）38米【分析】本題考查三角形相似的實(shí)際應(yīng)用：（1）過(guò)A作，交于C，即為所求；（2）根據(jù)寫出比例關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)A作，交于C，即為所求：（2）解：，，，，，，，即，（米），祈年殿的實(shí)際高度為38米．23．【正確答案】（1）2.50（2）（3）能擊球成功，見(jiàn)詳解【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性、待定系數(shù)法求解析式及函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的對(duì)稱性確定頂點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式．（1）利用拋物線對(duì)稱性確定對(duì)稱軸與頂點(diǎn)，得到最大高度；（2）設(shè)二次函數(shù)一般式，代入表格數(shù)據(jù)聯(lián)立方程，求出解析式；（3）將代入解析式計(jì)算值，與2.4比較判斷擊球是否成功．【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的對(duì)稱軸為（因和時(shí)值相等），故頂點(diǎn)在處，此時(shí)，即最大高度為．（2）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入表格數(shù)據(jù)：當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，即；當(dāng)時(shí)，，得，即．聯(lián)立方程解得：，，故函數(shù)表達(dá)式為：；（3）解：當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)表達(dá)式：，因，故能擊球成功．24．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）15【分析】本題考查圖形翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理等：（1）證明即可；（2）設(shè)，根據(jù)相似比求出，從而可以表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，沿翻折得到，，，，，，；（2）解：設(shè)，∵矩形性質(zhì)可知，由翻折的性質(zhì)可知，∵與的相似比為，，得，，在中，，，解得，．25．【正確答案】2【分析】本題主要考查中線定義、線段和差關(guān)系、平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．過(guò)D作交于點(diǎn)G，根據(jù)是中線，可以推出，運(yùn)用平行線分線段成比例定理推出，可以求出的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，．是中線，，．設(shè)，則，，，，．，，．26．【正確答案】（1），（2）或【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）把代入函數(shù)解析式，求出二次函數(shù)解析式，再令得一元二次方程，求出方程的解即可解答問(wèn)題；（2）根據(jù)題意求出，再分和兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線為，令，則，解得：，，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）解：由可知，拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線與x軸交點(diǎn)為，．，．．①若，如圖，拋物線開口向上，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．，，，，應(yīng)有，解得，又，在對(duì)稱軸右側(cè)，且在x軸上方，應(yīng)有，解得，；②若，如圖，拋物線開口向下，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．，必有，則有，，解得，又，．綜上所述：m的取值范圍是或．27．【正確答案】（1），見(jiàn)詳解（2）①見(jiàn)詳解；②，見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求解．（2）①根據(jù)題意畫出圖形，即可求解；②連接，取中點(diǎn)G，連接，，，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，進(jìn)而根據(jù)證明，結(jié)合，證明，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例，即可得證．【詳解】（1）證明：∵將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．∴，，（2）①補(bǔ)全圖形如圖：②證明：連接，取中點(diǎn)G，連接，，同理點(diǎn)G為中點(diǎn)28．【正確答案】（1）①，；②（2）或【分析】本題考查對(duì)新定義的理解，平行線分線段成比例定理，兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義．（1）①根據(jù)“2倍伙伴點(diǎn)”的定義、平行線分線段成比例定理和兩點(diǎn)之間的距離，即可求解；②若要取最大值，則點(diǎn)在正方形上離點(diǎn)O最遠(yuǎn)，即為點(diǎn)B，此時(shí)點(diǎn)O即為點(diǎn)Q，此時(shí)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可；（2）分類討論，找出臨界狀態(tài)：①當(dāng)線段在正方形的左下方，第一個(gè)臨界狀態(tài)是：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，點(diǎn)Q與在邊上，交與點(diǎn)；②當(dāng)線段在正方形的內(nèi)部，第二個(gè)臨界狀態(tài)是：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)Q與在邊上，直線交與點(diǎn)；③當(dāng)線段在正方形的內(nèi)部，第三個(gè)臨界狀態(tài)是：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，點(diǎn)Q與在邊上，直線交與點(diǎn)；④當(dāng)線段在正方形的右上方，第四個(gè)臨界狀態(tài)是：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)Q與在邊上，直線交與點(diǎn)．【詳解】（1）解：①如圖所示，，當(dāng)點(diǎn)Q為正方形的邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外）時(shí)，與交于點(diǎn)，∵，，∴，即點(diǎn)總是的中點(diǎn)，∴∴是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”；，當(dāng)點(diǎn)Q為正方形的邊上且與交于點(diǎn)時(shí)∵，，∴，∴，∵此時(shí)不符合題意，且為最大值了，當(dāng)點(diǎn)Q為正方形的邊上時(shí)，更不符合題意了，∴不是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”；此點(diǎn)在正方形內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)Q在上且點(diǎn)在或者點(diǎn)Q在上且點(diǎn)在時(shí)，∵，且正方形邊長(zhǎng)為1，∴，∴，∴是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”.綜上：、是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”.②如圖所示，若點(diǎn)P是正方形的“2倍伙伴點(diǎn)”，若要取最大值，則點(diǎn)在正方形上離點(diǎn)O最遠(yuǎn)，即為點(diǎn)B，此時(shí)點(diǎn)O即為點(diǎn)Q此時(shí)，如圖所示，∵，∴.（2）解：∵，，，，∴，，∴，∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為即，的中點(diǎn)坐標(biāo)為即，∴與互相平分，又∵，∴四邊形是正方形，且正方形的邊長(zhǎng)為，∵、，點(diǎn)E、點(diǎn)H的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)E、點(diǎn)H在直線上，即直線解析式為，∵，，，∴直線解析式為，直線解析式為，∵，，又∵，∴點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，線段上存在點(diǎn)P是四邊形的“3倍伙伴點(diǎn)”，我們不妨來(lái)尋找臨界狀態(tài)，①當(dāng)線段在正方形的左下方，第一個(gè)臨界狀態(tài)是：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，點(diǎn)Q在邊上，交與點(diǎn)，如圖所示：過(guò)N點(diǎn)作交y軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與y軸交于點(diǎn)I，∵直線解析式為，∴∵，∴